《全等三角形》证明题题型归类训练题型1:全等+等腰性质1、如图,在△ABE 中,AB =AE,AD =AC,∠BAD =∠EAC, BC 、DE 交于点O. 求证:(1) △ABC ≌△AED ; (2) OB =OE .2、已知:如图,B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上,AB =DC ,BE =CF ,∠B =∠C . 求证:OA =OD .题型2:两次全等1、AB=AC ,DB=DC ,F 是AD 的延长线上的一点。
求证:BF=CFFDCBA2、已知如图,E 、F 在BD 上,且AB =CD ,BF =DE ,AE =CF ,求证:AC 与BD 互相平分O C E BDAA B E O F D C3、如图,在四边形ABCD 中,AD ∥BC ,∠ABC=90°DE ⊥AC 于点F ,交BC 于点G ,交AB 的延长线于点E ,且AE=AC.求证:BG=FG题型3:直角三角形全等(余角性质)1、如图,在等腰Rt △ABC 中,∠C =90°,D 是斜边上AB 上任一点,AE ⊥CD 于E ,BF ⊥CD 交CD 的延长线于F ,CH ⊥AB 于H 点,交AE 于G . 求证:BD =CG .2、如图,将等腰直角三角形ABC 的直角顶点置于直线l 上,且过A ,B 两点分别作直线的垂线,垂足分别为D ,E ,请你在图中找出一对全等三角形,并写出证明它们全等的过程.3、如图,∠ABC =90°,AB =BC ,D 为AC 上一点,分别过A 、C 作BD 的垂线,垂足分别为E 、F 求证:EF =CF -AEAFCBDEGBC FD E4、在△ABC中,︒=∠90ACB,BCAC=,直线MN经过点C,且MNAD⊥于D,MNBE⊥于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证:①ADC∆≌CEB∆;②BEADDE+=;(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,(1)中的结论还成立吗若成立,请给出证明;若不成立,说明理由.5、如图:BE⊥AC,CF⊥AB,BM=AC,CN=AB。
求证:(1)AM=AN;(2)AM⊥AN。
FMNE1234题型4:连接法(构造全等三角形)1、已知:如图所示,AB=AD,BC=DC,E、F分别是DC、BC的中点,求证:AE=AF。
2、如图,直线AD与BC相交于点O,且AC=BD,AD=BC.求证:CO=DO.AODCBAFE3、如图 11-30,已知AB =AE ,∠B =∠E ,BC =ED ,点F 是CD 的中点.求证:AF ⊥CD.FEB4、在正ABC ∆内取一点D ,使DA DB =,在ABC ∆外取一点E ,使DBE DBC ∠=∠,且BE BA =,求BED ∠.5、如图所示,BD=DC,DE ⊥BC,交∠BAC 的平分线于E ,EM ⊥AB,EN ⊥AC,求证:BM=CN6、如图,在△ABD 和△ACD 中,AB=AC ,∠B=∠C .求证:△ABD ≌△ACD .ADCBAC NEM BDDE CB A题型5:全等+角平分线性质1、如图,AD 平分∠BAC ,DE ⊥AB 于E ,DF ⊥AC 于F ,且DB=DC ,求证:EB=FC2、已知:如图所示,BD 为∠ABC 的平分线,AB=BC ,点P 在BD 上,PM ⊥AD 于M ,PN ⊥CD 于N ,判断PM 与PN 的关系.题型6:倍长中线(线段)造全等前言:要求证的两条线段AC 、BF 不在两个全等的三角形中,因此证AC=BF 困难,考虑能否通过辅助线把AC 、BF 转化到同一个三角形中,由AD 是中线,常采用中线倍长法,故延长AD 到G ,使DG=AD ,连BG ,再通过全等三角形和等线段代换即可证出。
1、已知:如图,AD 是△ABC 的中线,BE 交AC 于E ,交AD 于F ,且 AE=EF ,求证:AC=BFA C EF2、已知在△ABC 中,AD 是BC 边上的中线,E 是AD 上一点,且BE=AC ,延长BE 交AC 于F ,求证:AF=EFFE3、已知,如图△ABC 中,AB=5,AC=3,则中线AD 的取值范围是_________.P D ACBM ND CBA4、在△ABC中,AC=5,中线AD=7,则AB边的取值范围是( )A、1<AB<29B、4<AB<24C、5<AB<19D、9<AB<195、已知:AD、AE分别是△ABC和△ABD的中线,且BA=BD,求证:AE=21ACCE6、如图,△ABC中,BD=DC=AC,E是DC的中点,求证:AD平分∠BAE.ED CBA7、已知CD=AB,∠BDA=∠BAD,AE是△ABD的中线,求证:∠C=∠BAECE8、如图23,△ABC中,D是BC的中点,过D点的直线GF交AC于F,交AC的平行线BG于G点,DE⊥DF,交AB于点E,连结EG、EF.⑴求证:BG=CF⑵请你判断BE+CF 与EF 的大小关系,并说明理由。
9、如图,AD 为ABC ∆的中线,DE 平分BDA ∠交AB 于E ,DF 平分ADC ∠交AC 于F. 求证:EF CF BE >+第 14 题图DF CBEA10、如图,△ABC 中,E 、F 分别在AB 、AC 上,DE ⊥DF ,D 是中点,试比较BE+CF 与EF 的大小.EDFCBA11、已知:如图,在ABC ∆中,AC AB ≠,D 、E 在BC 上,且DE=EC ,过D 作BA DF // 交AE 于点F ,DF=AC.求证:AE 平分BAC ∠ABFDEC题型7:截长补短A D BC E1、已知,四边形ABCD 中,AB ∥CD ,∠1=∠2,∠3=∠4。
求证:BC =AB +CD 。
2、如图,AD ∥BC ,点E 在线段AB 上,∠ADE=∠CDE ,∠DCE=∠ECB.求证:CD=AD+BC.3、已知:如图,在△ABC 中,∠C =2∠B ,∠1=∠2.求证:AB=AC+CD.4、如图,在△ABC 中,∠BAC=60°, AD 是∠BAC 的平分线,且AC=AB+BD ,求∠ABC 的度数D CB A5、如图,已知在△ABC 中,∠B=60°,△ABC 的角平分线AD,CE 相交于点O ,求证:OE=ODDCB A 12DCBA6、已知ABC ∆中,60A ∠=,BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠,BD 、CE 交于点O ,试判断BE 、CD 、BC 的数量关系,并加以证明.7、如图,已知在ABC 内,060BAC ∠=,040C ∠=,P ,Q 分别在BC ,CA 上,并且AP ,BQ分别是BAC ∠,ABC ∠的角平分线。
求证:BQ+AQ=AB+BPCBA8、如图在△ABC 中,AB >AC ,∠1=∠2,P 为AD 上任意一点,求证;AB-AC >PB-PCBA9、如图,点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外),作D O ECBA60DMN∠=︒,射线MN与DBA∠外角的平分线交于点N,DM与MN有怎样的数量关系题型8:角平分线上的点向角两边引垂线段1、如图,在四边形ABCD中,BC>BA,AD=CD,求证:∠BAD+∠C=180°DCBA2、如图,四边形ABCD中,AC平分∠BAD,CE⊥AB于E,AD+AB=2AE,则∠B与∠ADC互补.为什么3、如图,在△ABC中,∠ABC=100°,∠ACB=20°,CE平分∠ACB,D是AC上一点,若∠CBD=20°,求∠ADE的度数.4、已知,AB>AD,∠1=∠2,CD=BC。
求证:∠ADC+∠B=180°。
DBEACNEBMAD图十一4321A BC图九21CBAD5、如图,在△ABC 中∠ABC,∠ACB 的外角平分线交P.求证:AP 是∠BAC 的角平分线6、如图,∠B=∠C=90°,AM 平分∠DAB,DM 平分∠ADC 求证:点M 为BC 的中点题型9:作平行线1、已知△ABC ,AB=AC ,E 、F 分别为AB 和AC 延长线上的点,且BE=CF ,EF 交BC 于G .求证:EG=GF .AFC GBE2、如图,在△ABC 中,AB=AC ,BD 平分∠ABC ,DE ⊥BD 于D ,交BC 于点E .求证:CD=1BE 题型10:延长角平分线的垂线段1、如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC ,CE ⊥AD 于E .求证:∠ACE=∠B+∠ECD .AF DCBE2、如图,△ABC 中,∠BAC=90度,AB=AC ,BD 是∠ABC 的平分线,BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ,直线CE 交BA 的延长线于F .求证:BD=2CE .FE DCB A3、如图:∠BAC=90°,CE ⊥BE ,AB=AC ,BD 是∠ABC 的平分线,求证:BD=2ECB4、已知,如图34,△ABC 中,∠ABC=90o ,AB=BC ,AE 是∠A 的平分线,CD ⊥AE 于D .求证:CD=21AE . CEBAD题型11:面积法1、如图所示,已知D 是等腰△ABC 底边BC 上的一点,它到两腰AB 、AC 的距离分别为DE 、DF,CM ⊥AB,垂足为M,请你探索一下线段DE 、DF 、CM 三者之间的数量关系, 并给予证明.E DCBAMF2、己知,△ABC 中,AB=AC ,CD ⊥AB ,垂足为D ,P 是BC 上任一点,PE ⊥AB ,PF ⊥AC 垂足分别为E 、F ,求证:① PE+PF=CD PE – P F=CD.题型12:旋转型F EDC ABGPFEDAB GP1、如图,正方形ABCD 的边长为1,G 为CD 边上一动点(点G 与C 、D 不重合), 以CG 为一边向正方形ABCD 外作正方形GCEF ,连接DE 交BG 的延长线于H 。
求证:① △BCG ≌△DCE② BH ⊥DE2、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置,图2是由它抽象出的几何图形,B ,C ,E 在同一条直线上,连结DC .(1)请找出图2中的全等三角形,并给予证明(说明:结论中不得含有未标识的字母); (2)证明:DC ⊥BE .3、(1)如图,点O 是线段AD 的中点,分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ,连结AC 和BD ,相交于点E ,连结BC .求∠AEB 的大小;(2)如图,ΔOAB 固定不动,保持ΔOCD 的形状和大小不变,将ΔOCD 绕着点O 旋转(ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠),求∠AEB 的大小.4、如图所示,已知AE ⊥AB ,AF ⊥AC ,AE=AB ,AF=AC 。