第一章分解因式【知识要点】1 .分解因式(1)概念：把一个化成几个的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。

(2 )注意：①分解因式的实质是一种恒等变形，但并非所有的整式都能因式分解。

②分解因式的结果中，每个因式必须是整式。

③分解因式要分解到不能再分解为止。

2•分解因式与整式乘法的关系整式乘法是_____________________________________________________ ___分解因式是_____________________________________________________ ___所以，分解因式和整式乘法为________ 系。

3•提公因式法分解因式(1 )公因式：几个多项式____________ 因式。

(2 )步骤：①先确定____________,②后____________________ 。

(3)注意：①当多项式的某项和公因式相同时，提公因式后该项变为1。

②当多项式的第一项的系数是负数时，通常先提出“”号。

4•运用公式法分解因式(1 )平方差公式：_____________________________(2 )完全平方公式：____________________________注：分解因式还有诸如十字相乘法、分组分解法等基本方法，做为补充讲解内容。

【考点分析】考点一：利用提公因式法分解因式及其应用【例1】分解因式：【随堂练习】1 .分解因式：,、小34“23小22（1） 2x y 10x y 2x y32(1) 4m 16m 26 m(2) 2x(y z) 3(y z)2(3)x(x y)(x y) x(x y)(4)(3a 4b)(7a 8b) (11a 12b)(7a 8b)号，再提公因式 2m ；（ 2）题的公因式为 y z ；(3) 题的公因式为 x(x y) ;答案：(1) 2m(2m 28 »m13)；(3)2xy(x y);【例:2】(1 ）已知x y 5, xy 6 ,(2 ?）已知ba 6,ab7,解析：(1) 题：2x2y 2 x y 22xy(x（2）题：a|2bab2a b(a答案：(1) 60(2)42（4）题的公因式为7a 8b 。

（2）（y z ）（2x 3）；2（4）2（7a 8b ）。

求2x 2y 2xy 2的值。

求a2b ab 2的值。

y ），所以考虑整体代入求该代数式的值; (2) (m n)(m n) (n m)(m 2n)解析：（1）题先提一个解析：（1）题：原式从整体看符合平方差公式，所以整体套用平方差公式;2 2 2 2（2）题：p q （p ） （q ），所以符合平方差公式，此题注意分解完全。

2 2答案：(1) (4x 1)(2x 3); (2) (p q )(p q)(p q)。

(3) (2x 3y)(a b) (3x 2y)(a b)3 2 2 2 2(4) x (x 2) x (2 x) x (x 2)2 •不解方程组2x2y 12，求(2x y)3(2x y)2(x 3y)的值x 2y 11注：（1）公因式应按“系数大（最大公约数），字母同，指数低”的原则来选取。

（2） 当多项式的某项和公因式相同时，提公因式后该项 变为1，而不是没有。

（3） 当多项式的第一项的系数是负数时，通常先提岀 “ ”号。

（4） 利用分解因式 整体代入往往应用于代数式的求值问题。

考点二：利用平方差公式分解因式及其应用 【例3】分解因式:(1) (3x 1)2 (x 2)24 4(2) p q(1(2) 20082 2007 2009 9992.同的情况，再利用提取公因式法和平方差公式进行因式分解，最后凑出除数。

7122 712141212 2121136 6(6 ) 66 6 6 (6 1) 6 g35 6 gl40712所以36 6能被140整除。

【随堂练习】1 .分解因式:2 2(2) 9x (a b) y (b a)2•利用分解因式说明：257 512能被60整除.解析：（1）题：原式中每一个因式符合平方差公式, 可以借助分解因式简化计算。

原式 （1 1 5)(1 6 5 5 61 5)(1 7 1 1 -)(1 ) (1 6 6 199 201 200 200 （2）题：先化简， 再使用平方差公式。

原式 20082(2008 1)(2008 1)(20082 1) 9992 220082 129992(1 999)(1 999)答案：（1）鬻；(2) 998000。

【例5】利用因式分解说明:解析：对于符号相反的二项式,1 )(1 200 5 200 9992 99800071236 6能被140整除。

我们考虑使用平方差公式。

1200)201 250 此种题型应先将两项化为底数相(1) ax 4a注：（1）平方差公式的结构特征是：二项式，两项都是平方项，且两项符号相反;（2） 公式中的a,b 可以是具体数，也可以是代数式；（3） 在运用平方差公式的过程中，有时需要变形。

考点三：利用完全平方公式分解因式及其应用 【例6】（1）分解因式：abx22abxy aby 21 2（2） 已知一x 2bx 36是完全平方式，求 b 的值。

4（3） 计算：9999 9999 19999.解析： （1）题：原式要先提取公因式，再利用完全平方差公式进行分（2）题：此种题型考察完全平方公式的特征，中间项是首尾两项底数积的2倍（或其相反数）x 3y 3，整体代入求值。

【随堂练习】1 . (1)分解因式： 2(a b) (a b)21（2）若多项式a 2（k 1）ab 9b 2能运用完全平方差公式进行因式分解，求k 的值。

(3)题：9999 99992 19999 9999 2 9999 12(9999 1)108。

2答案：（1） ab （x8(3) 101 12 【例7】（四川•成都）已知y -x 1，那么—x 23 3 22xy 3y 2的值是____________ 1(x3y ）2，再将y -x 1变形为3(3)1999 1999 2000 19992. （1）已知：a b 5, ab 3，求代数式 a b 2a b ab 。

1 2 2（2）当s t —时，求代数式s 2st t 的值。

2注：（1 ）完全平方公式的结构特征是：三项式，首尾两项分别为两个数的平方，中间项是两个底数积的2倍（或其相反数）；（2）公式中的a,b 可以是具体数，也可以是代数式；考点四：综合利用各种方法分解因式及其应用【例8】分解因式:解析：（1 ）、（2 ）题都应先利用完全平方公式，再利用平方差公式进行因式分解。

2 2答案：（1） （3m 2n ） （3m 2n ） ； （2） （a 2 c ）（a 2 c ）。

一 1 2 1 2 1 2【例9】（福建•漳州）给出三个多项式： x 2 2x 1,— x 2 4x 1 - x 2 2x ，请选择你2 2 2最喜欢的两个多项式进行加减运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解。

解析：本题是一道开放题，只要所得整式可以因式分解。

本题可任取两个多项式进行加法运1 2 1 2 2(1)81m472m 2n 216n 42 2(2) a 4a 4 c算再因式分解。

如：2x 1) ( x 4x 1) x 6x x(x 6)【例10】已知a,b,c分别是三角形ABC的三边，试证明(a2 b2 c2) 4a2b2 0解析：已知a,b,c分别是三角形ABC的三边，可以想到利用三角形的三边关系，再由不等式的左边是平方差形式，可想到利用平方差公式分解因式。

/2「2 2、/2「2/2「2 2 2 . 2 2(a b c ) 4a b (a b c 2ab)(a b c 2ab)2 2 2 2a b c a b c(a b c)(a b c)(a b c)(a b c)由三角形三边关系可知，上式的前三个因式大于0,而最后一个因式小于0,则有:/ 2 ,2 2 Z 2(a b c ) 4a b 0【随堂练习】1 .分解因式：2 2、2 2 2 4 2(1) (x y ) 4x y (2) a 6a 272. (2009，吉林)在三个整式：x2 2xy, y2 2xy, x2中，请你任意选出两个进行加(或减)法运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解。

注：分解因式的一般步骤可归纳为：“一提、二套、三查”。

一提：先看是否有公因式，如果有公因式，应先提取公因式；二套：再考察能否运用公式法分解因式；运用公式法，首先观察项数，若为二项式，则考虑用平方差公式；若为三项式，则考虑用完全平方公式。

三查：分解因式结束后，要检查其结果是否正确，是否分解彻底【巩固提高】 」、选择题1 .下列从左到右的变形中，是分解因式的有（2•下列多项式能分解因式的是（3•下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（2 2 24. a 、b c 是△ABC 的三边，且a b cA 、直角三角形B 、等腰三角形C 、等腰直角三角形D 、等边三角形25 •如果9 xkx 25是一个完全平方式，那么 k 的值是（） A 、15 B 、5 C 、30 D 、3026 .已知多项式2x bx c 分解因式为2（x 3）（ x 1），则b,c 的值为（ ）A 、b 3,c1 B 、b 6, c2 C 、b 6, c4 D 、b 4, c 622x y7 •已知2x3xy y 0（ xy 0），贝U 的值是（）y x1 1 12①(x 1)(x 2) x x 2 ②9 (3 x)(3 x)③ ab a b 1 (a 1)(b 1)2④ a 4 a (a 2)(a 2)⑥(y 1)(y 3)(3 y)(y 1)⑦1 = a(a 丄)aA 、x 2yB 、x 21 D 、x 24xx 2 2xy yC 、a 2 14ab 49b 2 ab ac bc ，那么△ ABC 的形状是（A、2或2B、2C、2D、 2 或22 2 22 3 28 •若(p q) (q p) (q p) E ，则 E 是()A 、1 q pB 、qp C 、1 p q D 、1 q p 9.已知二次三项式x 2bx c 可分解为两个一次因式的积 （x）（x ），下面说法中错误的是（)A 、若 b 0,c 0,则、 同取正号；B 、若 b 0,c 0,则、 同取负号；C 、若 b 0,c 0,则、 异号，且负的一个数的绝对值较大；D 、若 b 0,c 0,则、异号，且负的一个数的绝对值较大。

10 •已知 a 2002x 2003 , b 2002x 2004 , c 2002x 2005 ,则多项式 a 2 b 2 c 2ab beca 的值为（）A 、0B 、1C 、2D 、3二、填空题511.分解因式：m 4m = ___________________________ . 12 •在括号前面填上“ + ”或“―”号，使等式成立：（y x ）2 _（x y ）2213 •若x mx 9是一个完全平方式，则 m 的值是 ____________________ ；222a b 14 .已知：ab 0,a ab 2b 0，那么 ---------------- 的值为_______________ .2a b4 2 2 2 2 415 . △KBC 的三边满足a b c a c b 0 ,则AABC 的形状是 _______________________ .16.观察图形，根据图形面积的关系，不需要连其他的线，便可以得到一个用来分解因式的公式，这个公式是 _____________________ ....2 217 .右 x yx y (x y) A ，贝U A = ____________n2 n 118 •分解因式：x a b y(b a)_______________________ .（第16题图）2 219 •若a 2a b 6b 10 0,2 2 2 2 2.y )(x y 1)12,则(x y )13 2 213220 •若(x三、解答题21.分解因式:(1) 8a 3b 212ab 3c 6a 3b 2c(2) 8a(x a) 4b(a x) 6c(x a)5 3 3 5(3) x y x y(4) 4(a b)2 16(a b)24 4 (5) m 16n 2 2(6) 9(m n) 16(m n)3(7) 5m(x y)210n(y x)3(8) 2x 22xa b 2，ab 2，求一a b a b ab 的值22 •先分解因式，再求值：已知222 2 2 2 2 223 •设 a i 3 1 , a 2 5 3 , , a n (2n 1) (2n 1) (n 为大于零的自然数)探究a n 是否为8的倍数，并用文字语言表达你所得到的结论。