提公因式法（基础）【学习目标】1. 了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系；2． 能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法将多项式分解因式.【要点梳理】要点一、因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.要点诠释：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.要点二、公因式多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.要点诠释：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.要点三、提公因式法把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．要点诠释：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即 .（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.【典型例题】类型一、因式分解的概念1、观察下列从左到右的变形：⑴； ⑵ ⑶； ⑷其中是因式分解的有 （填序号）【思路点拨】根据因式分解的定义是将多项式形式变成几个整式的积的形式，从对象和结果两方面去判断． m m ()()3322623a b a bab -=-()ma mb c m a b c -+=-+()22261266x xy y x y ++=+()()22323294a b a b a b +-=-【总结升华】因式分解是将多项式变成积的形式，所以等式的左边必须是多项式，将单项式拆成几个单项式乘积的形式不能称为因式分解．等式的右边必须是整式因式积的形式． 举一反三：【变式】（20•海南）下列式子从左到右变形是因式分解的是（ ）A.a +4a ﹣21=a （a+4）﹣21B.a +4a ﹣21=（a ﹣3）（a+7）C.（a ﹣3）（a+7）=a +4a ﹣21D.a +4a ﹣21=（a+2）﹣25类型二、提公因式法分解因式2、(1)多项式的公因式是________；(2)多项式的公因式是________；(3)多项式的公因式是________；(4)多项式的公因式是________．【总结升华】确定公因式一定要从系数、字母及指数三方面入手，公因式可以是一个数，也可以是一个单项式，还可以是一个多项式，互为相反数的因式可变形为公因式．举一反三：【变式】下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是（ ）A ．B ．C ．D ．3、若，则E 是（ ）A ．B ．C ．D ．【总结升华】观察等式的右边，提取的是，故可把变成，即左边222222363x xy -+324168mn m m --()()()x b c a y b c a a b c +--+----2(3)(3)x x x -+-2x y -22x x +2x y 2+2x xy y 2-+()()()232p q q p q p E ---=-1q p --q p -1p q +-1q p +-()2q p -()2p q -()2q p -＝.注意偶次幂时，交换被减数和减数的位置，值不变；奇次幂时，交换被减数和减数的位置，应加上负号．举一反三：【变式】把多项式提取公因式后，余下的部分是（ ）A ．B ．C ．2D ．4、（20春•新沂市期中）分解因式：3x （a ﹣b ）﹣6y （b ﹣a ）.【总结升华】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．举一反三：【变式】用提公因式法分解因式正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．类型三、提公因式法分解因式的应用5、若，求的值.【总结升华】条件求值要注意观察代数式的结构，，这样就能由已知整体代入求值了.()()21q p p q -+-()()()111m m m +-+-()1m -1m +2m 2m +()222129343abc a b c abc ab -=-()2233632x y xy y y x x y -+=-+()2a ab ac a a b c -+-=--+()2255x y xy y y x x +-=+0232=-+x x x x x 46223-+()3222623x x x x x +=+【提公因式-巩固练习】一.选择题1. 下列各式变形中，是因式分解的是（ ）A. B. C. D. 2.（20•东营区校级期末）多项式6ab c ﹣3a 2bc+12a b 的公因式是（ ）A.abcB.3a bC.3a b cD.3ab 3. 多项式分解因式的结果是（ ） A. B. C. D.4. 分解因式的结果是（ ）A. B.C. D.5. 下列因式分解正确的是（ ）A.B.C.D.6. 把提公因式得（ ）A ．B ．C ．D ．二.填空题7. 因式分解是把一个______________化为______________的形式.8. 的公因式是___________；的公因式是__________. ()222211a ab b a b -+-=--2212221x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭()()2224x x x +-=-()()()421111x x x x -=++-2222222232n n n a aa +-+()321n a a a-+()22n n a a a -+()221n n a a a -+()31n n a a a -+()()2552x y x -+-()()251x y -+()()251x y --()()521x y -+()()521x y --()()()m a b n a b a b mn -+-=-()()()()m x y n y x x y m n ---=--()()1mn x y mn x y mn ++=++()()()()232232y x x y x y x y -+-=---3223284x y x y xy ++2232(42)x x xy y ++32232(42)x y x y xy ++222(42)xy x xy y ++22(4)xy x xy +,,ax ay ax -236,2,4mn m n mn -9. 因式分解＝_________________.10. 多项式的公因式是______________.11.（20•澄海区一模）分解因式：m （x ﹣y ）+n （y ﹣x ）=_____________________.12. 因式分解＝_____________________.三.解答题13. 应用简便方法计算：（1）； （2）14. 已知，求和的值.15.（2014春•常州期中）分解因式：6a （b ﹣1）﹣2（1﹣b ）．32a a b -33222339a b a b a b --243210515m n m n m n -+-1098222--16 3.148 3.1426 3.14⨯+⨯+⨯1,3a b ab +==-22a b ab +3322a b ab +22平方差公式（基础） 知识讲解【学习目标】1. 能运用平方差公式把简单的多项式进行因式分解.2. 会综合运用提公因式法和平方差公式把多项式分解因式；3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯.【要点梳理】要点一、公式法——平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.（3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.要点二、因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）． 要点三、因式分解注意事项（1）因式分解的对象是多项式；（2）最终把多项式化成乘积形式；（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．【典型例题】类型一、公式法——平方差公式1、下列各式中能用平方差公式分解因式的有________（填序号）．①；②；③；④；⑤；⑥．【总结升华】能否运用平方差公式分解因式，应紧紧抓住平方差公式的特点进行判断．分别从项数、符号、平方项等方面来判断．2、分解因式：（1）； （2）； （3）； （4）．()()22a b a b a b -=+-a b a b 22a b --224a b -224x y --2291a b -+22()()x y y x -+-41x -229a b -22251x y -22168194a b -+214m -+【总结升华】（1）可以利用加法的交换律把负平方项交换放在后面．（2）“1”是平方项，可以写成“”．（3）一定要把两项写成的形式，再套用平方差公式．举一反三：【变式1】分解因式：（1）； （2）．【变式2】（20春•泗阳县期末）下列各式能用平方差公式计算的是（ ）A.（2a+b ）（2b ﹣a ）B.（﹣x+1）（﹣x ﹣1）C.（a+b ）（a ﹣2b ）D.（2x ﹣1）（﹣2x+1）类型二、平方差公式的应用3、（20春•开江县期末）计算20152﹣2014×2016的结果是（ ）A.﹣2B.﹣1C.0D.1【总结升华】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．举一反三：【变式1】如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪成一个矩形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式是（ ）A. B. C. D.2122a b -212516m -22(2)16(1)x x -++-a b )(b a >()()22a b a b a b -=+-()2222a b a ab b +=++()2222a b a ab b -=-+()()2222a b a b a ab b +-=+-【变式2】用简便方法计算：（1）；（2）.4、已知大正方形的周长比小正方形的周长长96厘米，它们的面积相差960平方厘米．求两个正方形的边长．【巩固练习】一.选择题1. 下列各式中,不能用平方差公式分解因式的是( ).A. B. C. D. 2. 一个多项式分解因式的结果是，那么这个多项式是（）． A ． B ． C ． D ．3. 有一个因式是,则另一个因式为( )A. B. C. D.4． 在一个边长为12.75的正方形内挖去一个边长为7.25的正方形，则剩下的面积应当是（ ）A ．B ．C ．D ．5. （20•赤峰模拟）已知a+b=4，a ﹣b=3，则a 2﹣b 2=（ ）A.4B. 3C.12D.16. 下列分解因式结果正确的是（ ）A. B. C. D. 2199919982000-⨯2253566465⨯-⨯249y -2149x -44m n --()2194p q +-)2)(2(33b b -+46-b 64b -46+b 46--b ()22a b c --a b c +-a b c --a b c ++a b c +-a b c -+cm cm 220cm 2200cm 2110cm 211cm ()223633x y xy xy x y +=+()()()()222233x y x y x y x y +-+=++()()422111x x x -=+-()()3312322x x x x x -=+-二.填空题7. 分解因式：___________，____________. 8. 利用因式分解计算：__________，____________.9. 分解因式：___________，______________. 10.（201•杭州模拟）若a+2b=﹣3，a 2﹣4b 2=24，则a ﹣2b+1= ．11. 若多项式能用平方差公式分解因式，那么单项式M ＝_______.（写出一个即可）12. 用公式简算：＝________________.三. 解答题13. 把下列各式因式分解（1） （2）（3） （4）.14. 已知，. (1)求的值; (2)求和的值.15.（2014春•牟定县校级期末）新实验中学校园正在进行绿地改造，原有一正方形绿地，现将它每边都增加3米，面积则增加了63平方米，问原绿地的边长为多少？原绿地的面积又为多少？224x y -=223a b -=22401599-=2211387-=42x x -=()()244b a a -+-=24a M +22200820082009+-2249a b -4481m n -622123a a b -()2231a b b b -+-23x y +=22415x y -=-2x y -x y完全平方公式（基础）【学习目标】1. 能运用完全平方公式把简单的多项式进行因式分解.2. 会综合运用提公因式法和公式法把多项式分解因式；3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯.【要点梳理】要点一、公式法——完全平方公式两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即，. 形如，的式子叫做完全平方式.要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.（4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.要点二、因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）． 要点三、因式分解注意事项（1）因式分解的对象是多项式；（2）最终把多项式化成乘积形式；（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．【典型例题】类型一、公式法——完全平方公式1、 下列各式是完全平方式的是（ ）．A ．B ．C ．D ．【总结升华】形如，的式子叫做完全平方式.举一反三：【变式】（20春•临清市期末）若x 2+2（m ﹣3）x+16是完全平方式，则m 的值是（ ）A ．﹣1B ． 7C ． 7或﹣1D ． 5或1()2222a ab b a b ++=+()2222a ab b a b -+=-222a ab b ++222a ab b -+a b a b 412+-x x 21x +1++xy x 122-+x x 222a ab b ++222a ab b -+2、分解因式：（1）； （2）； （3）； （4）．【总结升华】本题的关键是掌握公式的特征，套用公式时要注意把每一项同公式的每一项对应． 举一反三：【变式】分解因式：（1）； （2）；（3）； （4）．3、分解因式：（1）；（2）；（3）．21449x x ++29124x x -+214a a ++22111162a b ab -+29()12()4a b a b +-++222()()a a b c b c ++++21025a a --22()4()()4()x y x y x y x y +++-+-2234162x y xy y ++4224168a a b b -+222(3)(1)x x x +--【总结升华】分解因式的一般步骤：一“提”、二“套”、三“查”，即首先有公因式的提公因式，没有公因式的套公式，最后检查每一个多项式因式，看能否继续分解．举一反三：【变式】分解因式：（1）．（2）． （3）； （4）；（5）；类型二、配方法4、（20•江都市期末）已知：x+y=3，xy=﹣8，求：（1）x 2+y 2（2）（x 2﹣1）（y 2﹣1）．【总结升华】要先观察式子的特点，看能不能将式子进行变形，以简化计算. 举一反三：【变式】已知为任意有理数，则多项式－1－的值为（ ）． A ．一定为负数 B ．不可能为正数 C ．一定为正数 D ．可能为正数，负数或0224()12()()9()x a x a x b x b ++++++22224()4()()x y x y x y +--+-2244x y xy --+322344x y x y xy ++()()2222221x x x x -+-+x x 142x【完全平方-巩固练习】 一.选择题1. 将224144a a ++因式分解，结果为( ).A.()()188a a ++B.()()1212a a +-C.()212a +D.()212a -2．2()nm x y -是下列哪一个多项式分解的结果（ ）A ．22nm x y - B ．2n n m m x x y y -+ C ．222nn m m xx y y -+ D ．2n n m m x x y y --3. （20•邵阳）已知a+b=3，ab=2，则a 2+b 2的值为（ ） A ． 3 B ． 4 C ． 5D ．64. 如果222536a mab b ++可分解为()256a b -,那么m 的值为( ). A.30 B.－30 C.60 D.－60 5. 如果229x kxy y ++是一个完全平方公式，那么k 是（ ） A.6 B.－6 C.±6 Ｄ.18 6. 下列各式中，是完全平方式的是（ ）A.2991x x -- B.2691y y -++ Ｃ.2169y y -- D.2931y y --二.填空题7. 若()22416-=+-x mx x ，那么________m =．8. 因式分解:()()225101a b a b -+-+＝____________. 9. 分解因式：214m m ---＝_____________. 10.（20春•萧山区期末）将4x 2+1再加上一项，使它成为（a+b ）2的形式（这里a 、b 指代的是整式或分式），则可以添加的项是 ． 11. 分解因式：()()154a a +++ ＝_____________. 12. （1）()()225=a a -+；（2）()()22412m mn -+=.三.解答题 13. 若13x x +=，求221x x+的值.14.（20春•万州区期末）已知x ﹣y=1，x 2+y 2=25，求xy 的值．15. 把()()3322x y x y x xy y +=+-+称为立方和公式，()()3322x y x y x xy y -=-++称为立方差公式，据此，试将下列各式因式分解: (1)38a +； (2)3271a -.十字相乘法及分组分解法（基础）【学习目标】1. 熟练掌握首项系数为1的形如型的二次三项式的因式分解.2. 基础较好的同学可进一步掌握首项系数非1的简单的整系数二次三项式的因式分解.3. 对于再学有余力的学生可进一步掌握分数系数；实数系数；字母系数的二次三项式的因式分解.(但应控制好难度)4. 掌握好简单的分组分解法. 【要点梳理】pq x q p x +++)(2要点一、十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式，若存在 ，则要点诠释：（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号（2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止.要点二、首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即.要点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间”（2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.要点三、分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.要点诠释：分组分解法分解因式常用的思路有：2x bx c ++pq cp q b=⎧⎨+=⎩()()2x bx c x p x q ++=++2x bx c ++c 0c >p q 、0c <p q 、b p q 、2x bx c ++b c 、c b 2ax bx c ++a a 12a a a =c 12c c c =1212a a c c ，，，1221a c a c +2ax bx c ++b 1221a c a c b +=11a x c +22a x c +()()21122ax bx c a x c a x c ++=++a把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形.添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法. 【典型例题】 类型一、十字相乘法1、将下列各式分解因式： （1）； （2）； （3）【总结升华】常数项为正，分解的两个数同号；常数项为负，分解的两个数异号. 二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上. 举一反三：【变式1】分解因式：（1）； （2）； （3）【变式2】（20春•苏州期末）因式分解：m 2n ﹣5mn+6n.21016x x -+2310x x --1072++x x 822--x x 2718x x --+2、将下列各式分解因式： （1）；（2）（3）； （4）.【总结升华】十字相乘法的方法简单点来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数.注意观察式子结构，能够看作整体的看作整体.举一反三：【变式】将下列各式分解因式：（1）；（2）；（3）；（4）..22355x x +-25166x x ++22616x xy y --21136x x -+251124a a --10722+-xy y x ()()342++-+b a b a3、将下列各式分解因式： （1）； （2）【总结升华】十字相乘法的方法简单点来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数. 举一反三：【变式】分解因式：（1）； （2）；（3）；类型二、分组分解法4、（20•重庆校级期中）先阅读下列材料，然后回答后面问题： 将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．能分组分解的多项式通常有四项或六项，一般的分组分解有四种形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法及“3+3”分法等．如“2+2”分法：ax+ay+bx+by=（ax+ay ）+（bx+by ）=a （x+y ）+b （x+y ）=（x+y ）（a+b ）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题： （1）分解因式：x 2﹣y 2﹣x ﹣y ；（2）分解因式：45am 2﹣20ax 2+20axy ﹣5ay 2；（3）分解因式：4a 2+4a ﹣4a 2b ﹣b ﹣4ab+1．2314x x +-2344x x --+2631105x x +-如“3+1”分法： 2xy+y 2﹣1+x 2=x 2+2xy+y 2﹣1 =（x+y ）2﹣1 =（x+y+1）（x+y ﹣1）【总结升华】此题主要考查了提取公因式法分解因式以及分组分解法分解因式，正确分组是解题关键． 举一反三：【变式】分解因式：【巩固练习】 一.选择题1. 将因式分解，结果是( ) A. B.C. D. 2.（20•保定二模）下列因式分解正确的是（ ） A ． x 2﹣7x+12=x （x ﹣7）+12B ． x 2﹣7x+12=（x ﹣3）（x+4）C ． x 2﹣7x+12=（x ﹣3）（x ﹣4） D ． x 2﹣7x+12=（x+3）（x+4）3. 如果，那么等于( )A. B.C. D.4. 若，则的值为( ) A.－9 B.15 C.－15 D.95. 如果，则为 ( )A ．5B ．－6C ．－5D ．6 6．把进行分组，其结果正确的是（ ） A. B. C. D. 二.填空题7. 若，则＝ .8. 因式分解___________．9．（20•吴江市模拟）因式分解：4a 2+4a ﹣15= ． 10. 因式分解：＝_______________； 11. 因式分解＝ . 12.分解因式：＝________.22244a b ab c +--21016a a ++()()28a a -+()()28a a +-()()28a a ++()()28a a --()()2x px q x a x b -+=++p ab a b +ab -a b --()()236123x kx x x +-=-+k b 2222a b c bc --+222()(2)a c b bc ---222()2a b c bc --+222()(2)a b c bc ---222(2)a b bc c --+()()21336m m m a m b -+=++a b -22a b ac bc -++ax bx cx ay by cy +++++()2064x x -+321a a a +--三.解答题13.若多项式可以分解成两个一次因式的积，其中、均为整数，请你至少写出2个的值．14.（20秋•宣武区校级期末）因式分解：2x 2+x ﹣3．15.分解因式：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）.236x px ++()()x a x b ++a b p 268x x -+21024x x +-215238a a -+22568x xy y -++225533a b a b --+。