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中考数学(相似提高练习题)压轴题训练附详细答案

一、相似真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.如图所示,△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,AD⊥BC,DE⊥AC,△CDE沿直线BC翻折到△CDF,连结AF交BE、DE、DC分别于点G、H、I.(1)求证:AF⊥BE;(2)求证:AD=3DI.【答案】(1)证明:∵在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D是BC的中点,∴AD=BD=CD,∠ACB=45°,∵在△ADC中,AD=DC,DE⊥AC,∴AE=CE,∵△CDE沿直线BC翻折到△CDF,∴△CDE≌△CDF,∴CF=CE,∠DCF=∠ACB=45°,∴CF=AE,∠ACF=∠DCF+∠ACB=90°,在△ABE与△ACF中,,∴△ABE≌△ACF(SAS),∴∠ABE=∠FAC,∵∠BAG+∠CAF=90°,∴∠BAG+∠ABE=90°,∴∠AGB=90°,∴AF⊥BE(2)证明:作IC的中点M,连接EM,由(1)∠DEC=∠ECF=∠CFD=90°∴四边形DECF是正方形,∴EC∥DF,EC=DF,∴∠EAH=∠HFD,AE=DF,在△AEH与△FDH中,∴△AEH≌△FDH(AAS),∴EH=DH,∵∠BAG+∠CAF=90°,∴∠BAG+∠ABE=90°,∴∠AGB=90°,∴AF⊥BE,∵M是IC的中点,E是AC的中点,∴EM∥AI,∴,∴DI=IM,∴CD=DI+IM+MC=3DI,∴AD=3DI【解析】【分析】(1)根据翻折的性质和SAS证明△ABE≌△ACF,利用全等三角形的性质得出∠ABE=∠FAC,再证明∠AGB=90°,可证得结论。

(2)作IC的中点M,结合正方形的性质,可证得∠EAH=∠HFD,AE=DF,利用AAS证明△AEH与△FDH全等,再利用全等三角形的性质和中位线的性质解答即可。

2.如图,抛物线y= x2+bx+c 与x轴交于点A和点B,与y轴交于点C,点B坐标为(6,0),点C坐标为(0,6),点D是抛物线的顶点.(1)求抛物线的解析式及点D的坐标;(2)如图1,抛物线的对称轴与x轴交于点E,连接BD,点F是抛物线上的动点,当∠FBA=∠BDE时,求点F的坐标;(3)如图2,若点M是抛物线上的动点,过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N,点P在x轴上,点Q在坐标平面内,以线段MN为对角线作正方形MPNQ,求点Q的坐标.【答案】(1)解:把B(6,0),C(0,6)代入y= x2+bx+c,得解得 ,抛物线的解析式是y= x2+2x+6, 顶点D的坐标是(2,8)(2)解:如图1,过F作FG⊥x轴于点G,设F(x, x2+2x+6),则FG= ,∵∠FBA=∠BDE,∠FGB=∠BED=90°,∴△FBG∽△BDE,∴,∵B(6,0),D(2,8),∴E(2,0),BE=4,DE=8,OB=6,∴BG=6-x,∴当点F在x轴上方时,有,∴x=-1或x=6(舍去),此时F1的坐标为(-1,),当点F在x轴下方时,有,∴x=-3或x=6(舍去),此时F2的坐标为(-3,),综上可知F点的坐标为(-1,)或(-3,)(3)解:如图2,不妨M在对称轴的左侧,N在对称轴的左侧,MN和PQ交于点K,由题意得点M,N关于抛物线的对称轴对称,四边形MPNQ为正方形,且点P在x轴上∴点P为抛物线的对称轴与x轴的交点,点Q在抛物线的对称轴上 ,∴KP=KM=k,则Q(2,2k),M坐标为(2-k,k),∵点M在抛物线y= x2+2x+6的图象上,∴k= (2-k)2+2(2-k)+6解得k1= 或k2=∴满足条件的点Q有两个,Q1(2,)或Q2(2,).【解析】【分析】(1)根据点B、C的坐标,利用待定系数法建立关于b、c的方程组,求解就可得出函数解析式,再求出顶点坐标。

(2)过F作FG⊥x轴于点G,设出点F的坐标,表示出FG的长,再证明△FBG∽△BDE,利用相似三角形的性质建立关于x的方程,当点F在x轴上方时和当点F在x轴下方时,求出符合题意的x的值,求出点F的坐标。

(3)由点M,N关于抛物线的对称轴对称,可得出点P为抛物线的对称轴与x轴的交点,点Q在抛物线的对称轴上,设Q(2,2k),M坐标为(2-k,k),再由点M在抛物线上,列出关于k的方程,求解即可得出点Q的坐标。

3.如图,夜晚,小亮从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B(A,B两点到路灯正下方的距离相等),他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化.(1)求y与x之间的函数关系式;(2)作出函数的大致图象.【答案】(1)解:如图①:作CO⊥AB于O,①当小亮走到A'处(A'位于A与O之间)时,作出他的影子A'C'.小亮从点A到达点O的过程中,影长越来越小,直到影长为0;从点O到达点B的过程中,影长越来越大,到点B达到最大值.设小亮的身高MA'=l,CO=h,AO=m,影长C'A'=y,小亮走过的距离AA'=x,由图易得C'A=x-y,∵MA'⊥AB,CO⊥AB,∴△MC'A'∽△CC'O,∴,即 = ,∴y= x- (0≤x≤m),(此时m,l,h为常数),②当小亮走到A″处(A″位于O与B之间)时;同理可得y=- x+ (m<x≤2m).(2)解:如图②所示:【解析】【分析】(1)如图①:作CO⊥AB于O,①当小亮走到A'处(A'位于A与O之间)时,作出他的影子A'C';根据中心投影的特点可知影长随x的变化情况.设小亮的身高MA'=l,CO=h,AO=m,影长C'A'=y,小亮走过的距离AA'=x,由图易得C'A=x-y,根据相似三角形的判定和性质可得y与x的函数解析式.②当小亮走到A″处(A″位于O与B之间)时;同理可得y=- x+ (m<x≤2m).(2)根据(1)的函数解析式可画出图像.4.如图,抛物线y=x2+bx+c经过B(-1,0),D(-2,5)两点,与x轴另一交点为A,点H是线段AB上一动点,过点H的直线PQ⊥x轴,分别交直线AD、抛物线于点Q、P.(1)求抛物线的解析式;(2)是否存在点P,使∠APB=90°,若存在,求出点P的横坐标,若不存在,说明理由;(3)连接BQ,一动点M从点B出发,沿线段BQ以每秒1个单位的速度运动到Q,再沿线段QD以每秒个单位的速度运动到D后停止,当点Q的坐标是多少时,点M在整个运动过程中用时t最少?【答案】(1)解:把B(﹣1,0),D(﹣2,5)代入,得:,解得:,∴抛物线的解析式为:(2)解:存在点P,使∠APB=90°.当y=0时,即x2﹣2x﹣3=0,解得:x1=﹣1,x2=3,∴OB=1,OA=3.设P(m,m2﹣2m﹣3),则﹣1≤m≤3,PH=﹣(m2﹣2m﹣3),BH=1+m,AH=3﹣m,∵∠APB=90°,PH⊥AB,∴∠PAH=∠BPH=90°﹣∠APH,∠AHP=∠PHB,∴△AHP∽△PHB,∴,∴PH2=BH•AH,∴[﹣(m2﹣2m﹣3)]2=(1+m)(3﹣m),解得m1= ,m2= ,∴点P的横坐标为:或(3)解:如图,过点D作DN⊥x轴于点N,则DN=5,ON=2,AN=3+2=5,∴tan∠DAB= =1,∴∠DAB=45°.过点D作DK∥x 轴,则∠KDQ=∠DAB=45°,DQ= QG.由题意,动点M运动的路径为折线BQ+QD,运动时间:t=BQ+ DQ,∴t=BQ+QG,即运动的时间值等于折线BQ+QG的长度值.由垂线段最短可知,折线BQ+QG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段.过点B作BH⊥DK于点H,则t最小=BH,BH与直线AD的交点,即为所求之Q点.∵A(3,0),D(﹣2,5),∴直线AD的解析式为:y=﹣x+3,∵B点横坐标为﹣1,∴y=1+3=4,∴Q(﹣1,4).【解析】【分析】(1)把点B,D的坐标代入二次函数中组成二元一次方程组,解方程组即可得到抛物线的解析式;(2)先按照存在点P使∠APB=90°,先根据抛物线的解析式求得点A,B的坐标,设出点P的坐标,根据点P的位置确定m的取值范围,再证△AHP∽△PHB,从而得到PH2=BH•AH,即可列出关于m的方程,解方程即可得到m即点P的横坐标,且横坐标在所求范围内,从而说明满足条件的点P存在;(3)先证明∠DAB=45°,从而证得DQ= 2 QG,那么运动时间t值等于折线BQ+QG的长度值,再结合垂线段最短确定点Q的位置,再求得点Q的坐标即可.5.如图,在等腰△ABC中,AB=BC,以BC为直径的⊙O与AC相交于点D,过点D作DE⊥AB交CB延长线于点E,垂足为点F.(1)判断DE与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)若⊙O的半径R=5,tanC= ,求EF的长.【答案】(1)解:DE是⊙O的切线,理由如下:如图,连接OD,BD,∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=∠90°,∴BD⊥AC.∵AB=BC,∴AD=DC.∵OC=OB,∴OD∥BA,∵DE⊥BC,∴DE⊥OD,∴直线DE是⊙O的切线.(2)解:过D作DH⊥BC于H,∵⊙O的半径R=5,tanC= ,∴BC=10,设BD=k,CD=2k,∴BC= k=10,∴k=2 ,∴BD=2 ,CD=4 ,∴DH= =4,∴OH= =3,∵DE⊥OD,DH⊥OE,∴OD2=OH•OE,∴OE= ,∴BE= ,∵DE⊥AB,∴BF∥OD,∴△BFE∽△ODE,∴,即,∴BF=2,∴EF= = .【解析】【分析】(1)DE是⊙O的切线,理由如下:如图,连接OD,BD,根据直径所对的圆周角的直角得出∠ADB=∠90°,根据等腰三角形的三线合一得出AD=DC,连接三角形两边中点的线段是三角形的中位线,又三角形的中位线平行于第三边,得出OD∥BA,又DE⊥BC,根据平行线的性质得出DE⊥OD,从而得出结论:直线DE是⊙O的切线;(2)过D作DH⊥BC于H,根据正切函数的定义,由tanC=,可以设BD=k,CD=2k,根据勾股定理表示出BC,再根据BC=10,列出方程,求解得出k的值,进而得出CD,BD的长,根据面积法即可算出DH的长,再根据勾股定理算出OH的长,然后判断出△ODH与△ODE 相似,根据相似三角形对应边成比例即可得出OD2=OH•OE,根据等积式算出OE,的长,从而根据线段的和差算出BE的长,再判断出△BFE∽△ODE,根据相似三角形对应边成比例得出,根据比例式即可算出BF,最后根据勾股定理算出FE的长。

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