中考数学压轴题1.已知:如图,抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴、y 轴分别相交于点A （-1，0）、B （0，3）两点，其顶点为 D. （1）求该抛物线的解析式；（2）若该抛物线与x 轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE 的面积；（3）△AOB 与△BDE 是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由.（注：抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)的顶点坐标为ab ac a b 44,22）2. 如图，在Rt ABC △中，90A ，6AB ，8AC ，D E ，分别是边AB AC ，的中点，点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQBC 于Q ，过点Q 作QR BA ∥交AC 于R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设BQx ，QRy ．（1）求点D 到BC 的距离DH 的长；（2）求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）是否存在点P ，使PQR △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由．3在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，M 是AB 上的动点（不与A ，B 重合），过M点作MN ∥BC 交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 内作内接矩形AMPN ．令AMABCD ERPH Q＝x ．（1）用含x 的代数式表示△ＭNP 的面积S ；（2）当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？（3）在动点M 的运动过程中，记△ＭNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ，试求y 关于x的函数表达式，并求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？4.如图1，在平面直角坐标系中，己知ΔAOB 是等边三角形，点A 的坐标是(0，4)，点B 在第一象限，点P 是x 轴上的一个动点，连结AP ，并把ΔAOP 绕着点A 按逆时针方向旋转.使边AO 与AB 重合.得到ΔABD.（1）求直线AB 的解析式；（2）当点P 运动到点（3，0）时，求此时DP 的长及点D 的坐标；（3）是否存在点P ，使ΔOPD 的面积等于43，若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.5如图，菱形ABCD 的边长为2，BD=2，E 、F 分别是边AD ，CD 上的两个动点，且满足AE+CF=2.（1）求证：△BDE ≌△BCF ；（2）判断△BEF 的形状，并说明理由；（3）设△BEF 的面积为S ，求S 的取值范围.ABCMNP 图3OABC MND 图2OABCMNP图1O6如图，抛物线21:23L y xx交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于M 点.抛物线1L 向右平移2个单位后得到抛物线2L ，2L 交x 轴于C 、D 两点.（1）求抛物线2L 对应的函数表达式；（2）抛物线1L 或2L 在x 轴上方的部分是否存在点N ，使以A ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形.若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P 是抛物线1L 上的一个动点（P 不与点A 、B 重合），那么点P 关于原点的对称点Q 是否在抛物线2L 上，请说明理由.7.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝7，CD ＝1，AD ＝BC ＝5．点M ，N 分别在边AD ，BC 上运动，并保持MN ∥AB ，ME ⊥AB ，NF ⊥AB ，垂足分别为E ，F ．（1）求梯形ABCD 的面积；（2）求四边形MEFN 面积的最大值．（3）试判断四边形MEFN 能否为正方形，若能，求出正方形MEFN 的面积；若不能，请说明理由．8.如图，点A （m ，m ＋1），B （m ＋3，m －1）都在反比例函数xk y的图象上．C D ABEF NM（1）求m ，k 的值；（2）如果M 为x 轴上一点，N 为y 轴上一点，以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN 的函数表达式．（3）选做题：在平面直角坐标系中，点P 的坐标为（5，0），点Q 的坐标为（0，3），把线段PQ 向右平移4个单位，然后再向上平移2个单位，得到线段P 1Q 1，则点P 1的坐标为，点Q 1的坐标为．9.如图16，在平面直角坐标系中，直线33y x与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线223(0)3y axx c a经过A B C ，，三点．（1）求过A B C ，，三点抛物线的解析式并求出顶点F 的坐标；（2）在抛物线上是否存在点P ，使ABP △为直角三角形，若存在，直接写出P 点坐标；若不存在，请说明理由；（3）试探究在直线AC 上是否存在一点M ，使得MBF △的周长最小，若存在，求出M 点的坐标；若不存在，请说明理由．10.如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO 在x 轴的负半轴上，边OC 在y轴的正半轴上，且1AB ，3OB ，矩形ABOC 绕点O 按顺时针方向旋转60后得到矩形EFOD ．点A 的对应点为点E ，点B 的对应点为点F ，点C 的对应点为点D ，抛物A O xyBFC图16xOyAB友情提示：本大题第（1）小题4分，第（2）小题7分．对完成第（2）小题有困难的同学可以做下面的（3）选做题．选做题2分，所得分数计入总分．但第（2）、（3）小题都做的，第（3）小题的得分不重复计入总分．x Oy 1 2 31 QP2 P 1Q 1线2y axbxc 过点A E D ，，．（1）判断点E 是否在y 轴上，并说明理由；（2）求抛物线的函数表达式；（3）在x 轴的上方是否存在点P ，点Q ，使以点O B P Q ，，，为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC 面积的2倍，且点P 在抛物线上，若存在，请求出点P ，点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．11.已知：如图14，抛物线2334yx 与x 轴交于点A ，点B ，与直线34yx b 相交于点B ，点C ，直线34yx b 与y 轴交于点E ．（1）写出直线BC 的解析式．（2）求ABC △的面积．（3）若点M 在线段AB 上以每秒1个单位长度的速度从A 向B 运动（不与A B ，重合），同时，点N 在射线BC 上以每秒2个单位长度的速度从B 向C 运动．设运动时间为t 秒，请写出MNB △的面积S 与t 的函数关系式，并求出点M 运动多少时间时，MNB △的面积最大，最大面积是多少？12.在平面直角坐标系中△ABC 的边AB 在x 轴上，且OA>OB,以AB 为直径的圆过点C 若y xODEC FA BC 的坐标为(0,2),AB=5, A,B 两点的横坐标X A ,X B 是关于X 的方程2(2)10x m x n 的两根:(1)求m ，n 的值(2)若∠ACB 的平分线所在的直线l 交x 轴于点D ，试求直线l 对应的一次函数的解析式(3)过点D 任作一直线`l 分别交射线CA ，CB （点C 除外）于点M ，N ，则11CMCN的值是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由13.已知:如图,抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴、y 轴分别相交于点A （-1，0）、B （0，3）两点，其顶点为 D.(1)求该抛物线的解析式；(2)若该抛物线与x 轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE 的面积；(3)△AOB 与△BDE 是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由.（注：抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)的顶点坐标为abac a b 44,22）14.已知抛物线c bxaxy232，ACO BNDML`（Ⅰ）若1b a ，1c ，求该抛物线与x 轴公共点的坐标；（Ⅱ）若1b a ，且当11x 时，抛物线与x 轴有且只有一个公共点，求c 的取值范围；（Ⅲ）若0c b a ，且01x 时，对应的01y ；12x 时，对应的02y ，试判断当10x 时，抛物线与x 轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．15.已知：如图①，在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，AC ＝4cm ，BC ＝3cm ，点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为1cm/s ；点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度为2cm/s ；连接PQ ．若设运动的时间为t （s ）（0＜t ＜2），解答下列问题：（1）当t 为何值时，PQ ∥BC ？（2）设△AQP 的面积为y （2cm ），求y 与t 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使线段PQ 恰好把Rt △ACB 的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由；（4）如图②，连接PC ，并把△PQC 沿QC 翻折，得到四边形PQP ′C ，那么是否存在某一时刻t ，使四边形PQP ′C 为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．P图②A Q CPB图①AQCPB16.已知双曲线kyx与直线14y x相交于A、B两点.第一象限上的点M（m，n）（在A点左侧）是双曲线kyx上的动点.过点B作BD∥y轴于点 D.过N（0，－n）作NC∥x轴交双曲线kyx于点E，交BD于点 C.（1）若点D坐标是（－8，0），求A、B两点坐标及k的值.（2）若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式.（3）设直线AM、BM分别与y轴相交于P、Q两点，且MA＝pMP，MB＝qMQ，求p－q的值.DBC ENOAMyx压轴题答案1. 解：（1）由已知得：310cb c解得c=3,b=2∴抛物线的线的解析式为223y xx (2)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）所以对称轴为x=1,A,E 关于x=1对称，所以E(3,0)设对称轴与x 轴的交点为 F 所以四边形ABDE 的面积=ABODFEBOFDS S S梯形=111()222AO BO BO DF OF EF DF =11113(34)124222=9 （3）相似如图，BD=2222112BG DG BE=22223332BO OE DE=22222425DFEF所以2220BDBE, 220DE即：222BD BEDE ,所以BDE 是直角三角形所以90AOB DBE ,且22AO BO BDBE,所以AOBDBE .2 解：（1）RtA ，6AB ，8AC ，10BC ．点D 为AB 中点，132BD AB ．90DHBA，B B ．BHD BAC △∽△，DH BDAC BC，3128105BDDHAC BC．（2）QR AB ∥，90QRCA．C C ，RQC ABC △∽△，yxD EABFOGRQ QC ABBC，10610y x ，即y 关于x 的函数关系式为：365yx ．（3）存在，分三种情况：①当PQPR 时，过点P 作PM QR 于M ，则QMRM ．1290，290C，1C ．84cos 1cos 105C，45QM QP，1364251255x ，185x．②当PQ RQ 时，312655x ，6x ．③当PR QR 时，则R 为PQ 中垂线上的点，于是点R 为EC 的中点，11224CR CE AC．tan QR BAC CR CA ，366528x ，152x．综上所述，当x 为185或6或152时，PQR △为等腰三角形．3解：（1）∵MN ∥BC ，∴∠AMN =∠B ，∠ANM ＝∠C ．∴△AMN ∽△ABC ．∴AM AN AB AC ，即43x AN ．∴AN ＝43x ．……………2分∴S =2133248MNPAMNSS x x x ．（0＜x ＜4）……………3分（2）如图2，设直线BC 与⊙O 相切于点D ，连结AO ，OD ，则AO =OD =21MN ．在Rt △ABC 中，BC ＝22ABAC =5．ABCD ERPH QM 2 1 ABCDERP HQABCD E RPHQABCMNP图1O A由（1）知△AMN ∽△ABC ．∴AM MN ABBC ，即45x MN ．∴54MN x ，∴58ODx ．…………………5分过M 点作MQ ⊥BC 于Q ，则58MQ ODx ．在Rt △BMQ 与Rt △BCA 中，∠B 是公共角，∴△BMQ ∽△BCA ．∴BM QM BCAC．∴55258324x BMx ，25424AB BM MAx x ．∴x ＝4996．∴当x ＝4996时，⊙O 与直线BC 相切．…………………………………7分（3）随点M 的运动，当P 点落在直线BC 上时，连结AP ，则O 点为AP 的中点．∵MN ∥BC ，∴∠AMN =∠B ，∠AOM ＝∠APC ．∴△AMO ∽△ABP ．∴12AM AO ABAP．AM ＝MB ＝2．故以下分两种情况讨论：①当0＜x ≤2时，2Δ83x S y PMN．∴当x ＝2时，2332.82y 最大……………………………………8分②当2＜x ＜4时，设PM ，PN 分别交BC 于E ，F ．∵四边形AMPN 是矩形，∴PN ∥AM ，PN ＝AM ＝x ．又∵MN ∥BC ，∴四边形MBFN 是平行四边形．∴FN ＝BM ＝4－x ．∴424PF x x x ．又△PEF ∽△ACB ．∴2PEF ABCS PF ABS ．∴2322PEFSx ．………………………………………………9分ABCMNP 图4OE FABCMN P 图3OMNPPEF y SS ＝222339266828xx xx ．……………………10分当2＜x ＜4时，29668yxx 298283x ．∴当83x时，满足2＜x ＜4，2y 最大．……………………11分综上所述，当83x时，y 值最大，最大值是2．…………………………12分4 解：（1）作BE ⊥OA ，∴ΔAOB 是等边三角形∴BE=OB ·sin60o=23，∴B(23,2)∵A(0,4),设AB 的解析式为4ykx ,所以2342k ,解得33k,以直线AB 的解析式为343yx （2）由旋转知，AP=AD,∠PAD=60o, ∴ΔAPD 是等边三角形，PD=PA=2219AOOP如图，作B E ⊥AO,DH ⊥OA,GB ⊥DH,显然ΔGBD 中∠GBD=30°∴GD=12BD=32,DH=GH+GD=32+23=532,∴GB=32BD=32,OH=OE+HE=OE+BG=37222∴D(532,72)(3)设OP=x,则由（2）可得D(323,22x x )若ΔOPD 的面积为：133(2)224x x 解得：23213x所以P(23213,0)5yxH G E DBA OP67解：（1）分别过D ，C 两点作DG ⊥AB 于点G ，CH ⊥AB 于点H ．……………1分∵AB ∥CD ，∴DG ＝CH ，DG ∥CH ．∴四边形DGHC 为矩形，GH ＝CD ＝1．∵DG ＝CH ，AD ＝BC ，∠AGD ＝∠BHC ＝90°，∴△AGD ≌△BHC （HL ）．∴AG ＝BH ＝2172GHAB＝3．………2分∵在Rt △AGD 中，AG ＝3，AD ＝5，∴DG ＝4．∴174162ABCDS 梯形．………………………………………………3分（2）∵MN ∥AB ，ME ⊥AB ，NF ⊥AB ，∴ME ＝NF ，ME ∥NF ．∴四边形MEFN 为矩形．∵AB ∥CD ，AD ＝BC ，∴∠A ＝∠B ．∵ME ＝NF ，∠MEA ＝∠NFB ＝90°，∴△MEA ≌△NFB （AAS ）．∴AE ＝BF ．……………………4分设AE ＝x ，则EF ＝7－2x ．……………5分∵∠A ＝∠A ，∠MEA ＝∠DGA ＝90°，∴△MEA ∽△DGA ．∴DG MEAGAE ．∴ME ＝x 34．…………………………………………………………6分∴6494738)2(7342xx x EFME S MEFN矩形．……………………8分C DABE FNM G H C D ABE FNMG H当x ＝47时，ME ＝37＜4，∴四边形MEFN 面积的最大值为649．……………9分（3）能．……………………………………………………………………10分由（2）可知，设AE ＝x ，则EF ＝7－2x ，ME ＝x 34．若四边形MEFN 为正方形，则ME ＝EF ．即34x 7－2x ．解，得1021x．……………………………………………11分∴EF ＝21147272105x ＜4．∴四边形MEFN 能为正方形，其面积为251965142MEFN S 正方形．8解：（1）由题意可知，131m mm m ．解，得m ＝3．………………………………3分∴A （3，4），B （6，2）；∴k ＝4×3=12．……………………………4分（2）存在两种情况，如图：①当M 点在x 轴的正半轴上，N 点在y 轴的正半轴上时，设M 1点坐标为（x 1，0），N 1点坐标为（0，y 1）．∵四边形AN 1M 1B 为平行四边形，∴线段N 1M 1可看作由线段AB 向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到的（也可看作向下平移2个单位，再向左平移3个单位得到的）．由（1）知A 点坐标为（3，4），B 点坐标为（6，2），∴N 1点坐标为（0，4－2），即N 1（0，2）；………………………………5分M 1点坐标为（6－3，0），即M 1（3，0）．………………………………6分设直线M 1N 1的函数表达式为21x k y ，把x ＝3，y ＝0代入，解得321k ．∴直线M 1N 1的函数表达式为232xy ．……………………………………8分②当M 点在x 轴的负半轴上，N 点在y 轴的负半轴上时，设M 2点坐标为（x 2，0），N 2点坐标为（0，y 2）．∵AB ∥N 1M 1，AB ∥M 2N 2，AB ＝N 1M 1，AB ＝M 2N 2，∴N 1M 1∥M 2N 2，N 1M 1＝M 2N 2．∴线段M 2N 2与线段N 1M 1关于原点O 成中心对称．∴M 2点坐标为（-3，0），N 2点坐标为（0，-2）．………………………9分设直线M 2N 2的函数表达式为22x k y ，把x ＝-3，y ＝0代入，解得322k ，∴直线M 2N 2的函数表达式为232xy ．所以，直线MN 的函数表达式为232x y 或232xy．………………11分（3）选做题：（9，2），（4，5）．………………………………………………2分9解：（1）直线33yx与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ．(10)A ，，(03)C ，··················································································1分xO yABM 1N 1M 2N 2点A C ，都在抛物线上，23033a cc333a c 抛物线的解析式为2323333y xx······················································3分顶点4313F ，·······················································································4分（2）存在 ·····································································································5分1(03)P ，···································································································7分2(23)P ，···································································································9分（3）存在 ··································································································· 10分理由：解法一：延长BC 到点B ，使B C BC ，连接B F 交直线AC 于点M ，则点M 就是所求的点．·············································································· 11分过点B 作B HAB 于点H ．B 点在抛物线2323333yxx 上，(30)B ，在Rt BOC △中，3tan 3OBC，30OBC，23BC，在Rt BB H △中，1232B HBB ，36BHB H，3OH，(323)B ， ············································· 12分设直线B F 的解析式为ykx b233433k bkb 解得36332kb33362y x······················································································· 13分A OxyBFC图9HBM3333362y x yx解得371037x y，310377M，在直线AC 上存在点M ，使得MBF △的周长最小，此时310377M，． ······ 14分解法二：过点F 作AC 的垂线交y 轴于点H ，则点H 为点F 关于直线AC 的对称点．连接BH 交AC 于点M ，则点M 即为所求． ······························· 11分过点F 作FGy 轴于点G ，则OB FG ∥，BC FH ∥．90BOCFGH，BCO FHGHFGCBO同方法一可求得(30)B ，．在Rt BOC △中，3tan 3OBC，30OBC ，可求得33GH GC，GF 为线段CH 的垂直平分线，可证得CFH △为等边三角形，AC 垂直平分FH ．即点H 为点F 关于AC 的对称点．5303H ，·········································· 12分设直线BH 的解析式为y kx b ，由题意得03533k b b解得539533k b553393y······················································································ 13分55339333y x yx解得371037xy310377M，在直线AC 上存在点M ，使得MBF △的周长最小，此时310377M，． 1AOxyBF C 图10H M G10解：（1）点E 在y 轴上···············································································1分理由如下：连接AO ，如图所示，在Rt ABO △中，1AB ，3BO，2AO 1sin 2AOB，30AOB 由题意可知：60AOE 306090BOEAOBAOE点B 在x 轴上，点E 在y 轴上． ·································································3分（2）过点D 作DMx 轴于点M1OD ，30DOM在Rt DOM △中，12DM ，32OM点D 在第一象限，点D 的坐标为3122，················································································5分由（1）知2EOAO ，点E 在y 轴的正半轴上点E 的坐标为(02)，点A 的坐标为(31)，··················································································6分抛物线2yaxbxc 经过点E ，2c 由题意，将(31)A ，，3122D，代入22y axbx 中得33213312422a b ab解得89539a b所求抛物线表达式为：2853299yxx·················································9分（3）存在符合条件的点P ，点Q ． ································································ 10分理由如下：矩形ABOC 的面积3AB BO 以O B P Q ，，，为顶点的平行四边形面积为23．由题意可知OB 为此平行四边形一边，又3OBOB 边上的高为 2 ······················································································· 11分依题意设点P 的坐标为(2)m ，点P 在抛物线2853299y xx 上28532299mm 解得，10m ，2538m 1(02)P ，，25328P ，以O B P Q ，，，为顶点的四边形是平行四边形，PQ OB ∥，3PQOB ，当点1P 的坐标为(02)，时，点Q 的坐标分别为1(32)Q ，，2(32)Q ，；当点2P 的坐标为5328，时，点Q 的坐标分别为313328Q ，，43328Q ，． ·········································· 14分（以上答案仅供参考，如有其它做法，可参照给分）11解：（1）在2334yx中，令0y 23304x 12x ，22x (20)A ，，(20)B ，··············································1分y xO DECFA B MyC又点B 在34y x b 上302b32bBC 的解析式为3342yx ·······································································2分（2）由23343342yx yx，得11194x y 2220x y ·················································4分914C，，(20)B ，4AB ，94CD ·······················································································5分1994242ABC S △··················································································6分（3）过点N 作NP MB 于点P EO MB NP EO∥BNP BEO △∽△ ······················································································7分BN NPBE EO·································································································8分由直线3342yx 可得：302E ，在BEO △中，2BO，32EO，则52BE 25322t NP ，65NP t ···············································································9分16(4)25S t t 2312(04)55S t t t ············································································· 10分2312(2)55S t ····················································································· 11分此抛物线开口向下，当2t 时，125S 最大当点M 运动2秒时，MNB △的面积达到最大，最大为125．12解：(1)m=-5,n=-3 (2)y=43x+2 (3)是定值.因为点D 为∠ACB 的平分线，所以可设点D 到边AC,BC 的距离均为h ，设△ABC AB 边上的高为H, 则利用面积法可得：222CM h CN h MN H （CM+CN ）h=MN ﹒HCMCNMNH h又 H=CM CN MN化简可得 (CM+CN)﹒1MN CM CN h故111CM CN h13解：（1）由已知得：310cb c解得c=3,b=2∴抛物线的线的解析式为223y xx (2)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）所以对称轴为x=1,A,E 关于x=1对称，所以E(3,0)设对称轴与x 轴的交点为 F 所以四边形ABDE 的面积=ABODFEBOFDS S S梯形=111()222AO BOBO DF OFEF DF=11113(34)124222=9 （3）相似如图，BD=2222112BG DG BE=22223332BO OE DE=22222425DFEFyxDEABFOG。