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§7-8 几种简单的平面势流
一、均匀等速流 流线平行且流速相等的流动
y
v vx0i vy0 j
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一、涡线、涡管、涡束和旋涡强度
涡量的定义： 2 V
xi y j zk
x

vz y

v y z
y

vx z

vz x
z

理想正压性流体在有势的质量力作用下，沿任何封闭 流体周线的速度环量不随时间变化
dΓ 0 dt
涡旋不会自行产生，也不会自行消失
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在流场中任取一由流体质点组成的封闭周线K
dΓ d
dt dt
(vxdx vydy vzdz)

[vx
d dt
(dx)

vy
d dt
(dy)

vz
d dt
(dz)]
(dvx dx dvy dy dvz dz)
dt dt
dt
d dt
(dx)

dvx
d dt
(dy)

dv
y
d dt
(dz)

dvz
vx
d dt
dx
vy
d dt
dy
vz
d dt
dz

vxdvx vy dvy vz dvz
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2．亥姆霍兹（Helmholtz）定理 亥姆霍兹第一定理：在理想正压性流体的有旋流场中，同一涡 管各截面上的旋涡强度相同。
Γ Γ Γ Γ Γ 0 a1a2b2b1a1
a1a2
a2b2
b2b1
b1a1
Γ a1a2 Γ b2b1 0
Γ Γ a2b2
2 2
0
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三、速度势函数和流函数的关系
对于不可压缩流体的平面无旋流动， 速度势函数和流函数都是调和函数
vx


x


y
vy


y


x
柯西—黎曼（Cauchy—Riemen）条件
0
x x y y
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vydx vxdy
0
dx dy vx vy
——流线微分方程
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2. 流体通过两流线间单位高度的体积流量等于 两条流线的流函数之差。
qV

B vn
A
ndl

B A
vx cos
vy
sin
dl y
dl cos dy
dl sin dx

d

vx2

vy2 2

vz2


d

v2 2

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(dvx dx dvy dy dvz dz)
dt
dt
dt
1 p
1 p
1 p

[(
fx


)dx x
(
fy


)dy y
( fz


)dz] z

[(
fxdx
图 7—12
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【例7-3】已知二维流场的速度分布为vx=-3y，
vy=4x，试求绕圆 x2+y2=R2的速度环量。
【解】 采用极坐标
x r cos
y r sin
vr vx cos vy sin
v vy cos vx sin

2 0
v Rd
2 (4R cos2 3R sin2 )rd R2 2 (4 cos2 3sin2 )d
0
0
6R2 R2 2 cos2 d 6R2 R2 7R2 0
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三、汤姆孙定理、亥姆霍兹定理 1．汤姆孙（Thomson）定理
2
边界条件： r rb , p pb , v vb rb
C

pb


2
vb 2

p
vb 2
p

p

1 2
v 2

vb 2

p

1 2
2r 2

2rb 2
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速度分布为
v
压强分布
p p∞ pb
pc
pb

pc

p

pb

1 2
vb 2
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§7-7 速度势和流函数
一、速度势函数 无旋流动也称为有势流动，简称势流
vxdx+vydy+vzdz成为某一函数 x, y, z,t 的全微分
的充要条件 ：
vz v y y z
vx vz z x
V 0
v y vx x y
亥姆霍兹第三定理（涡管强度守恒定理）
理想正压性流体在有势的质量力作用下，任一涡 管强度不随时间变化。
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§7-6 二维旋涡的速度和压强分布
rb
ω
涡核区
rb
环流区
ω
二维旋涡
Γ J 2 rb2
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涡核区： 有旋流 环流区： 无旋流 一、在环流区内
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d


x
dx


y
dy


z
dz

v x dx

vy dy

vz dz
vx


x
，v
y


y
，v
z


z
v vxi vy j vzk


i


j


k



grad
x y z
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vds
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2．沿任一曲线切向速度的线积分等于曲线两端点速度势之差
Γ AB

B
A (vxdx vydy vzdz)
B
( dx A x


y
dy


z
dz)

B

A
对于封闭周线： Γ (vxdx vydy vzdz) d 0
速度势的特性
1．流线与等势面相垂直
等势面的方程为 x, y, z,tdr

dxi

dyj

dzk

v dr vxi vy j vzk dxi dyj dzk
vxdx vydy vzdz d 0
3．对于不可压缩流体，速度势是调和函数，满足拉普拉斯方程。
不可压缩流体连续性方程
V 0
0
2 0
2 2 2 2 0
x2 y2 z 2
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柱坐标系下 ：
vr


r
v

1 r
vz


vy x

vx y


0
x


x


y


y


0
2 2 2 0
x2 y2
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柱坐标系下 ：
vr

1 r

v



r
2

2
r 2
1
r r

1 r2
vx y vy x
2 (xdx ydy) 1 (p dx p dy) x y
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dp 2d ( x2 y 2 )
2
p 1 2 (x 2 y 2 ) C
2
1 2r 2 C
2
1 v 2 C
规定绕行的正方向为逆时针方向，即沿封闭轴线前进时，封闭 周线所包围的面积总在绕行前进方向的左侧；封闭周线所包围 曲面的法线正方向与绕行的正方向符合右手螺旋系统。
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2．斯托克斯定理
在涡量场中，沿任意封闭周线的速度环量等于通过该周 线所包围曲面面积的旋涡强度，即 ：
v dl d A 2 ndA J

vb2
2
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二、在涡核区内 1. 速度分布为
vr 0
v r
r rb
2. 压强分布
由欧拉运动微分方程
vx
vx x
vy
v x y
1

p x
vx
v y x
vy
v y y
1

p y
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vr 0
v r 2 x 1 p x 2 y 1 p y
v
vr
r

1. 速度分布为
vr 0
v