住房的合理定价问题摘要房价的合理性已成为当今社会的热门话题。
本文依照题中所给出的数据，对3个问题分别建立模型并求解。
针对问题1，首先利用Excel 建立图表，绘制出历年房价走势图。
然后，对原始数据进行拟合，得出指数型及多项式型拟合方程，并在原图上绘制出趋势线。
同时，求出确定性系数2R ，依据2R 是否接近于1判断拟合程度好坏，即检验拟合方程的有效性。
计算得出的指数型及二阶多项式型拟合方程：0.12811()678.81i x i e =、22()12.5950.274716.38x i i i =++，由此预测出2010年房价分别为4080元/平米、3888元/平米。
为了增加预测的可靠性，再结合二次指数平滑法对2010年房价进行预测。
通过比较实际值与预测值的平均偏差值ME 的大小，选择出合适的α。
预测出2010年的房价为3800元/平米。
最后，建立三元线性回归模型，将上述三种方法对历年房价的预测值分别作为自变量1x 、2x 、3x 的原始数据，以实际房价()P i 作为因变量，用Matlab 软件拟合出多元线性方程：1123()0.02020.1389() 1.1319()0.0084()f P i x i x i x i ∧=--⨯+⨯+⨯。
代入相关数据，求出历年的最终房价预测值为3866元/平米。
针对问题2，通过Excel 绘制出历年平均房价与人均GDP 的关系走势图，且自动生成对原始数据进行拟合后的指数型和自变量为2阶、3阶、4阶的多项式型拟合方程及各自的确定性系数2R 。
2R 的值分别为：0.8673；0.9929；0.9982；0.9986。
由此判断，因2阶多项式型拟合方程的2R 不仅十分接近于1，且相对于3阶、4阶的多项式方程更为简便，故选择：2()(706)[()]0.3236()177.06P i E G i G i ∧=--⨯+⨯-为平均房价与人均GDP 的关系方程。
最后，在联系当下实际状况的基础上对建立的模型进行研究，分析出平均房价与人均GDP 的关系。
针对问题3，首先从政府、人民、房地产商三方面分析其各自对房价的要求。
然后，利用Excel ，并依据前两个问题的解决方法求出最合理的历年人均GDP 和平均收入走势的拟合方程，分别为：2()135.36659.734486.8G i i i ∧=-+；2()57.978390.524715.8I i i i ∧=++。
由此预测出2010年的人均GDP 值为21781元、平均年收入为21547元。
利用Matlab 软件拟合出以历年人均GDP 和平均年收入的实际值作为自变量1x ，2x ；以历年平均房价的实际值作为因变量的二元线性回归方程，将已经预测出的2010年人均GDP 和平均收入值代入拟合方程3()48.45990.0492()0.1348()f P i G i I i ∧=-++，得到2010年平均房价的预测值3928元/平米。
最后，再结合房价收入比等相关数据改善模型。
本文最大的特色在于采用多种方法解决问题并对其结果拟合得到最佳答案。
同时结合国家政策，社会现状等实际因素改善模型，增强模型的实用性。
关键词：二次指数平滑、多项式、线性回归、房价收入比1.问题的提出电视剧《蜗居》的热播不是一个偶然。
它的成功，正是在于其所反映的“房奴”问题激发了广大老百姓的共鸣。
当今社会，房价的急速上涨让人们不知所措。
房价太高，而需房者收入又太低，使得国内的房地产业面临前所未有的困境。
如何遏制房价过快上涨势头，使百姓买得起房，房地产商有钱可赚，国家的支柱性产业得以健康地发展是放在我们面前的一大难题。
以上述背景为基础，根据某地区各年的平均房价、人均GDP、职工平均年收入等数据（见表1）解决关于住房的合理定价问题:表1 某地区1997~2009年房价、GDP、职工收入数据表（1）根据该地区历年的平均房价建立模型预测2010年的平均房价。
（2）研究该地区人均GDP与房价的关系。
（3）试建立2010年该地区的合理房价模型使得百姓、房地产商、政府都比较满意。
2.基本假设1．表1中所提供的1997至2009年的平均房价、人均GDP、平均收入值真实有效。
2．在2010年内，无地震、洪灾、瘟疫等重大自然灾害及战争、动乱等人为灾难发生。
3．在2010年内，国内经济以固有趋势稳步发展，无金融危机冲击，人均GDP保持稳定上涨趋势。
4. 针对第1个问题，假设政府没有出台任何有关住房的新政策。
3.符号说明4.问题分析和模型的建立与求解问题1：1）问题分析Step1:利用Excel软件，作出1997至2009年的平均房价走势图，并添加指数型及二阶多项式型趋势线。
经观察可知，添加的趋势线与原平均房价的走势线较为吻合。
故使软件自动生成指数型及二阶多项式型拟合方程，和它们各自的确定性系数2R。
如下图：图1添加指数型趋势线的该地区历年房价走势图图2 添加二次多项式型趋势线的该地区历年房价走势图因2R分别为0.9980和0.9989，十分接近于1，故两拟合方程的拟合程度均很高。
利用它们进行2010年，即第14年的平均房价预测具有可很高的参考性。
Step2:为了增加预测的可靠性，再利用二次平滑指数法对2010年平均房价进行预测。
首先，要确定α的值。
选取不同的α进行计算，通过由不同α值得出的预测数据再进行实际值与偏差值的平均偏差大小ME 计算。
选取ME 值较小的α作为参加计算的平滑系数。
Step3:建立三元线性回归模型，将上述三种方法对历年房价的预测值分别作为自变量1x 、2x 、3x 的原始数据，以实际房价()P i 作为因变量，用Matlab 软件拟合出三元线性回归方程,使我们所需要的2010平均房价预测值更为精确。
2）模型的建立与求解 Step1：指数型拟合方程：0.12811()678.81i x i e =其确定性性系数2R 0.998= 二阶多项式型拟合方程：22()12.5950.274716.38x i i i =++其确定性性系数2R 0.9989= 经计算可得：1()x i ∈（772，877 ，997，1133，1288，1464，1664，1892，2150，2444，2778，3158，3589）；2()x i ∈（779，867，981，1119，1283，1471，1685，1924，2189，2478，2793，3133，3489）；i ∈（1，2，3…13）利用以下公式进行误差检验：()()i E P i x i =-1nii EME n==∑其中n=13;可得10.5X ME =-；20.6X ME =由此判断该拟合方程误差很小，预测数据具有有效性。
其中，1(14)4080x =；2(14)3888x =即，用指数型及二阶多项式型拟合方程对2010年的房价预测值分别为4080元/平米；3888元/平米。
Step2:指数平滑法的预测关系式为:11()()(1)(1)P i P i P i αα∧∧=+--利用上式进行两次平滑值的计算；再将第一次平滑值和第二次平滑值代入以下公式：112()(()())i a P i P i P i ∧∧∧=+-12(()())1i b P i P i αα∧∧=--确定待定系数,i i a b 的值；最后将,i i a b 代入公式3()i i x i a b T =+⨯求出预测值。
当求出所有年份的预测值后，利用以下公式进行误差检验：1()()i E P i x i =-1nii EME n==∑其中n=12。
比较ME 大小，选ME 较小的α值。
①α取值为0.5；1()P i ∧的初始值为767表2α为0.5时的计算数据表178ME =②α取值为0.3；1()P i ∧的初始值为767表3 α为0.3时的计算数据表2228ME =因为12ME ME <，所以将α的取值定为0.5.则3()x i ∈（767，895，1027，1173，1340，1538，1764，2107，2442，2902，3136，3405），i ∈（2，3，4，5…13）其中3(14)3800x =即，采用二次指数平滑法对2010年房价的预测值为3800元/平米。
Step3:建立三元线性回归方程：10112233()()()()f P i c c x i c x i c x i ∧=+⨯+⨯+⨯利用Matlab 软件解上式； 可得：1123()0.02020.1389() 1.1319()0.0084()f P i x i x i x i ∧=--⨯+⨯+⨯将1(14)4080x =，2(14)3888x =，3(14)3800x =代入上式； 得1(14)3866f P ∧=；即，2010年平均房价的最终预测值是3866元/平米。
图3 对三元线性回归模型的误差分析图从图中可看出确定性系数2R0.998791，拟合程度相当高。
因此根据此式得出的2010年平均房价预测值具有很大的参考价值。
问题2：1）问题分析及模型的建立建立如下图表：图4 添加指数型趋势线的房价与人均GDP关系走势图图5 添加二次多项式型趋势线的房价与人均GDP关系走势图图6 添加三次多项式型趋势线的房价与人均GDP关系走势图图7 添加四次多项式型趋势线的房价与人均GDP关系走势图由图4—图7可看出，指数型和自变量为2阶、3阶、4阶的多项式型拟合方程及各自的确定性系数2R。
2R的值分别为：0.8673；0.9929；0.9982；0.9986。
因为二次多项式的2R 值既比指数型拟合方程的2R 更接近于1，且其方程形式比三次，四次多项式的拟合方程更为简便。
故用它反应历年人均GDP 与平均房价的关系。
如下式：22()706[()]0.3236()177.06f P i E G i G i ∧=--+-2）模型的求解根据建立的模型，即上式，研究分析该地区平均房价与人均GDP 的关系。
因为该式的二次项系数小于1，则此方程的图形为开口向下的抛物线，必有一个最高点。
因而，随着人均GDP 的不断增长，平均房价也在不断增长（如当下的情况），当人均GDP 继续增长到某一值时，平均房价达到最高点，且此后随着人均GDP 的不断增长，房价呈下降趋势。
最近，国家出台了一系列新的政策，如：在商品价格过高、上涨过快、供应紧张的地区，商业银行可根据风险状况，暂停发放购买第三套及以上住房贷款；对不能提供1年以上当地纳税证明或社会保险缴纳证明的非本地居民暂停发放购买住房贷款；二套房首付款不得低于50%，贷款利率不得低于基准利率的1.1倍（工商银行已于2010年4月16日率先实行此政策）。
而当这些政府调控楼市的政策出台之后不久，、上海纷纷出现楼市投资者抛盘的情况，更有浙江投资者将上亿元的在京楼市投资抛售而出。