长沙市一中高二理科数学考试卷时量:115分钟 满分:150分 命题人:胡雪文 校审人:江楚珉一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.选对的得5分,错选或不答得0分.) 1.若直线a ,b ,c 满足a ∥b ,b 与c 不平行,则( ) A .a 与c 平行B .a 与c 不平行C .a 与c 是否平行不能确定D .a 与c 是异面直线2.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,下列结论正确的是( ) A .A 1C 1与A 1D 成90°角 B .A 1C 1与AC 是异面直线 C .AC 与DC 1成45°角D .A 1C 1与B 1C 成60°角3.下列命题正确的是( )A .一条直线与一个平面平行,它就和这个平面内的任意一条直线平行B .平行于同一个平面的两条直线平行C .与两个相交平面的交线平行的直线,必平行于这两个平面D .平面外的两条平行直线中的一条与一个平面平行,则另一条直线也与此平面平行 4.空间四边形ABCD 的四边相等,则它的两对角线AC 、BD 的关系是( ) A .垂直且相交B .相交但不一定垂直C .垂直但不相交D .不垂直也不相交5.空间四边形OABC 中,OA = a ,OB = b ,OC = c ,点M 是在OA 上且OM = 2MA ,N 为BC 的中点,则MN 等于( ) A .12a 23-b +12cB .23-a +12b +12cC .12a +12b 23-cD .23a +23b 12-c6.若直线l 与平面α所成角为3π,直线a 在平面α内,且与直线l 异面,则直线l 与直线a 所成的角的取值范围是( ) A .2[0,]3πB .2[,)33ππC .2[,]33ππD .[,]32ππ7.长方体的一个顶点处的三条棱长之比为1:2:3,它的表面积为88,则它的对角线长为( )A .12B .24C .D .8.设地球半径为R ,若甲地位于北纬45°东经120°,乙地位于南纬75°东经120°,则甲、乙两地的球面距离为( )AB.6RπC.56RπD.23Rπ9.如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,P是侧面BB1C1C内一动点,若P到直线BC与直线C1D1的距离相等,则动点P的轨迹所在曲线是()A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线10.过双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的右焦点F,作渐近线by xa=的垂线与双曲线左、右两支都相交,则双曲线的离心率e的取值范围是()A.1<e<2 B.1<eC.eD.e>2二、填空题(每小题5分,共20分)11.若A (1, –1, 1),B (–2, 0, 3),则||AB= .12.过抛物线y2 = 8x的焦点,倾斜角为45°的直线的方程是.13.方程221259x ym m+=-+表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是.14.正四面体A—BCD的棱长为1,则A到底面BCD的距离为. 15.已知正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长相等,M是BB1的中点,则面AC1M与面ABC成的锐二面角是. AD C1MB1C1A1B AC湖南省长沙市第一中学考试答卷一、选择题(每小题5分,共50分)二、填空题(每小题5分,共25分)11. 12. 13. 14. 15.三、解答题(75分)16.(12分)如图,在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,∠ACB = 90°,点D 是AB的中点.(1)求证:AC ⊥BC 1;(2)求证:AC 1∥平面CDB 1.17.(12分)△ABC 的两个顶点A 、B 的坐标分别是(–6, 0),(6, 0),边AC 、BC 所在直线的斜率之积等于常数λ(λ≠0,λ∈R ),讨论顶点C 的轨迹是什么?18.(12分)在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,AB = AD = AA 1= 1,∠A 1AB =∠A 1AD =∠DAB = 60°. (1)求对角线AC 1的长;(2)求异面直线AC 1与B 1C 的夹角.19.(12分)已知三棱锥A —BCD 的侧棱AB ⊥底面BCD ,BC = CD ,∠BCD = 90°,∠ADB= 30°,E 、F 分别是侧棱AC 、AD 的中点. (1)求证:平面BEF ⊥平面ABC ; (2)求平面BEF 和平面BCD 所成的角.20.(13分)抛物线212y x =-上有两点A (x 1, y 1),B (x 2, y 2),且OA OB ⋅= 0,又知点M (0, –2). (1)求证:A 、M 、B 三点共线; (2)若2MA MB =-,求AB 所在的直线方程.E DF ABA B CDA 1D 1C 1B 121.(14分)如图,在棱长为4的正方体ABCD—A1B1C1D1中,O是正方形A1B1C1D1的中心,点P在棱CC1上,且CC1 = 4CP.(1)求直线AP与平面BCC1B1所成角的大小;(结果用反三角函数值表示)(2)设O点在平面D1AP上的射影是H,求证:D1H⊥AP;(3)求点P到平面ABD1的距离.湖南省长沙市第一中学高二数学期末考试参考答案(理)一、选择题(每小题5分,共50分)1.B 2.D 3.D 4.C 5.B 6.D 7.C 8.D 9.D 10.C 二、填空题(每小题5分,共25分)1112.x–y– 2 = 0 13.8<m<25 1415.45°三、解答题16.(12分)(1)证:∵棱柱ABC—A1B1C1为直棱柱,∴C1C⊥面ABC,∴C1C⊥AC,又∵AC⊥B C,∴AC⊥平面BB1C1C,∴AC⊥BC1.(2)设BC 1∩B 1C = E ,连结DE ,∵D 、E 分别为AB 、BC 1的中点,∴DE ∥AC 1. 又∵AC 1⊄平面CDB 1,DE ⊂平面CDB 1,∴AC 1∥平面CDB 1. 17.(12分)解:设顶点的坐标为C (x , y ),则,66AC BC y yk k x x ==+-(x ≠±6). 而k AC ·k BC =λ,即2236y x λ=-,化简得2213636x y λ-=(x ≠±6).(1)当λ<–1时,顶点C 的轨迹是焦点在y 轴上的椭圆,并去掉A 、B 两点. (2)当λ= –1时,顶点C 的轨迹是以原点为圆心的圆,并去掉A 、B 两点. (3)当–1<λ<0时,顶点C 的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆,并去掉A 、B 两点. (4)当λ>0时,顶点C 的轨迹是焦点在x 轴上的双曲线. 并去掉A 、B 两点. 18.(12分)解:(1)设AB = a ,AD = b ,1AA = c ,则|a | = |b | = |c | = 1,〈a ,b 〉=〈b ,c 〉=〈a ,c 〉= 60°,21AC =(a + b + c )2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2a ·b + 2b ·c + 2a ·c = 6,∴1||6AC =. (2)∵1B C =b – c ,∴11AC B C ⋅= (a + b + c )·(b – c ) = a ·b + b 2 + b ·c –a ·c –b ·c –c 2 = 0. ∴11AC B C ⊥,∴异面直线AC 1与B 1C 的夹角为90°.19.(12分)解:(1)∵AB ⊥底面BCD ,∴AB ⊥CD ,又∵BC ⊥CD ,∴CD ⊥平面ABC .∵E 、F 分别为AC 、AD 的中点,∴EF ∥CD . ∴EF ⊥平面ABC ,∴平面BEF ⊥平面ABC .(2)设平面BEF 与面BCD 交线为l ,则B ∈l (如图). ∵EF ∥DC ,⊂EF 面BEF ,∴DC ∥面BEF . ∵面BCD ∩面BEF = l ,⊂DC 面BCD ,∴DC ∥l .又DC ⊥平面ABC ,∴l ⊥面ABC . 面ABC 与面BEF 、面BCD 交于BE 、BC ,∴∠EBC 是二面角BEF —l —BDC 所成的平面角. 过E 作EG ⊥BC 于G ,又AB ⊥BC , ∴EG ∥AB ,且EG =21AB . 设BC = CD = 1,则BG =21,BD =2, 又∠ADB = 30°,∴66,36==EG AB .∴tan ∠EBG =362166=. ∴平面BEF 和平面BCD 所成的角为arctan 36.20.(13分)解:设22112211(,),(,)22A x x B x x --,∵0OA OB ⋅=,∴22121214x x x x += 0 (x 1x 2≠0). ∴x 1x 2 = – 4.又∵21111122122AM x k x x x -==-,22222122122BM x k x x x -==-. 代124x x -=代入k AM 得222221(4)21422AM BM k x k x x x-=-⋅=-=-, ∴A 、M 、B 三点共线.(2)∵2MA MB =-,∴12221221122(2)22x x x x =-⎧⎪⎨-+=--+⎪⎩ ∴2222224x x -+=-,∴2x =即21x x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩21x x ⎧=⎪⎨=⎪⎩.∴1),(4)B A ---或(1),4)B A --,∴AB的方程为2y =-. 21.(14分)(理)解:如右图,(1)解:∵AB ⊥平面BCC 1B 1,∴AP 与平面BCC 1B 1所成的角主浊∠APB . 如右图建立空间直角坐标系,坐标原点为D . ∵CC 1 = 4CP ,CC 1 = 4,∴CP = 1,A (4, 0, 0),P (0, 4, 1),B (4, 4, 0). ∴(4,4,1),(4,0,1)PA PB =--=-. ∵160117PA PB ⋅=++=, ∴cos∠||||33PA PB APB PA PB ⋅==⋅. ∴直线AP 与平面BCC 1B 1所成的角为(2)证明:连结D 1O ,由(1)有D 1 (0, 0, 4),O (2, 2, 4), ∴11(2,2,0),8800D O PA D O =⋅=-+=.∴1PA D O ⊥.∵平面D1AP的斜线D1O在这个平面内的射影是D1H,∴D1H⊥AP. (3)解:连结BC1,在平面BCC1B1中,过点P作PQ⊥BC1于点Q. ∵AB⊥平面BCC1B1,PQ⊂平面BCC1B1,∴PQ⊥AB.∴PQ⊥平面ABC1D1. ∴PQ就是点P到平面ABD1的距离.在Rt△C1PQ中,∠C1QP = 90°,∠PC1Q = 45°,PC1 = 3,∴PQ,即点P到平面ABD1.。