X，23π+=X Y5．设随机变量1X ,2X ,3X 相互独立，1X 在)5,1(-服从均匀分布，)2,0(~22N X，)2(~3Exp X （指数分布），记32132X X X Y +-=，则)(Y E )(Y D6. 设二维正态分布的随机变量)0,3,4,2,1( ),(22-N ~Y X ，且知8413.0)1(=Φ，则-<+)4(Y X P7. 已知随机变量X 的概率密度201()0 a bx x f x⎧+<<=⎨⎩其他, 且41)(=X E ，则a b )(X D 8. 设4.0,36)(,25)(===XY Y D X D ρ，则=+)(Y X D =-)(Y X D 二. （10分） 某车间有甲乙两台机床加工同一种零件，甲机床加工的零件数量比乙机床多一倍，甲乙机床加工零件的废品率分别为0.03，0.02. 两机床加工出的零件放在一起. 试求 （1）任取一个零件是合格品的概率；（2）任取一个零件经检验是废品，试求它是由乙机床生产的概率.解：设“从放在一起的零件中任取一件发现是甲/乙机床加工的”分别记为事件,A .A再记“从放在一起的零件中任取一件发现是废品”为事件.B 由已知得.02.0)(,03.0)(;31)(,32)(====A B P A B P A P A P …… 3’（1）由全概率公式知027.075202.03103.032)()()()()(≈=⨯+⨯=+=A B P A P A B P A P B P . …… 3’ 故任取一个零件是合格品的概率73()1()0.973.75P B P B =-=≈ …… 1’ （2）由贝叶斯公式知.4102.03103.03202.031)()()()()()()(=⨯+⨯⨯=+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P …… 3’三. （10分）设某型号的电子元件的寿命X （单位: 小时）的分布密度为⎪⎩⎪⎨⎧>=其它,01000,1000)(2x x x f各元件在使用中损坏与否相互独立，现在从一大批这种元件中任取5只，求其中至少有一只元件的寿命大于1500小时的概率。

解：一只元件的寿命大于1500小时的概率.321000)1500(15002⎰∞==>dx x X P …… 4’ 设任取的5只元件中寿命大于1500小时的元件个数为Y ，则).32,5(~b Y …… 2’ 则 .243242)321(1)0(1)1(5=--==-=≥Y P Y P …… 4’四. （12分）设二维离散型随机向量(,)X Y 的分布律为若X 和Y 相互独立，（1）填写上表空白部分；（2）求max{,}U X Y =的分布律；（3）求)(Y X P >，（4）求)(X E . 解： （2）24114112181 )2,3()1,3()1,2()( )3(=++===+==+===>Y X P Y X P Y X P Y X P（4）613313212611)(=⨯+⨯+⨯=X E . …… 每一小题占3分 -----------------------密封线----------------------------------------密封线---------------------------------------密封线------------------------------------学院专业班级学号姓名----------------------装订线----------------------------------------装订线----------------------------------------装订线------------------------------------------五. （12分）设(,)X Y 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=其它，02,10当,4),(x y x x y x f ，求（1）)(x f X ；（2）)(x y f X Y ；（3）)21(=X y f X Y ；（4）)218381(=<<X Y P . 解：（1）242, 01() (,) 0, x x X dx x x f x f x y dy else+∞-∞⎧=<<⎪==⎨⎪⎩⎰⎰. …… 3’（2）当10<<x 时，⎪⎩⎪⎨⎧<<===elsex y x x x x f y x f x y f X X Y ,0 2 ,224)(),()(. …… 3’（3）上式中令21=x ，则⎪⎩⎪⎨⎧<<==elsey X y f XY ,02141 ,4)21(. …… 3’（4）3388118413111()() 488222Y X P Y X f y X dy dy <<=====⎰⎰. …… 3’1/8 1/4 3/8 1/2 x六. （10分）已知),(Y X 的联合概率密度⎩⎨⎧<<<<+=其它 ，010,10当,),(y x y x y x f ，求（1）)(2X Y P ≥；（2）Z X Y =+的概率密度函数.解：（1）2013)221()(),()(1043110222=--+=+==≥⎰⎰⎰⎰⎰≥dx x x x dy y x dx dxdy y x f X Y P x xy …… 4’（2）Z X Y =+的概率密度函数)(z f Z ⎰∞+∞--=dx x z x f ),(. …… 1’⎩⎨⎧<<-<<⇔⎩⎨⎧<-<<<⇔≠-zx z x x z x x z x f 11010100),(，如图 …… 1’…… 1’⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤-=-+<<=-+=∴⎰⎰-else z z z dx x z x z z dx x z x z f z z Z ,0 21 ),2()]([10 ,)]([ )(1102…… 3’ -----------------------密封线----------------------------------------密封线---------------------------------------密封线------------------------------------学院专业班级学号姓名----------------------装订线----------------------------------------装订线----------------------------------------装订线------------------------------------------七. （10分）某单位发行彩票100000张，每张售价2元. 设有一等奖1个，奖金20000元；二等奖2个，奖金10000元；三等奖10个，奖金1000元. 若卖出了N 万张，（1）试分析发行单位的平均收益是多少? （2）该发行项目的风险可用哪个数字特征度量（只答不算）? 解：设售出的N 万张彩票中，中i 等奖的有X i 张, i=1,2,3. 故),10000(~i i p N b X其中，1231/100000,2/100000,10/100000.p p p === …… 3’ 再设发行单位的收益为Y 万元，则3211.022X X X N Y ---= …… 1’（1）平均收益为)1.022()(321X X X N E Y E ---=)(1.0)()(22321X E X E X E N ---= …… 2’)(5.1)11.010210122(万元N N =⨯--⨯-= …… 2’ （2）该项目的风险可以用收益Y 的方差或标准差来度量。

…… 2’八. （6分）已知事件A 的概率0)(=A P ，B 是任意一个事件，证明：B A ,相互独立. 证明：()0P A =，AB A ⊂，0()()0P AB P A ∴≤≤=，从而()0P A B ∴= …… 3’()()()()0()()P AB P A AB P A P AB P A P B ∴=-=-==于是事件B A ,相互独立. 证毕。

…… 3’一、填空题解答： 1．解：)()()(A P B A P A B P =，由事件A ,B 互不相容知，当B 发生时A 一定不发生，即有A B ⊂，于是B B A =. 从而.743.016.01)()()(=--==A PB P A B P2．解：因为)()()()(AB P B P A P B A P -+= ，所以1.08.02.07.0)()()()(=-+=-+=B A P B P A P AB P则（1）9.01.01)(1)(1)(=-=-=-=AB P B A P B A P ； （2）)()()()()()]([)(B A P B P A P A P B A P B A A P B A A P -+==.976.08.07.07.0)]()([)](1[)()(=-+=---+=AB P A P B P A P A P3．解：X 的分布律为.2,1,0 ,)(210282===-k C C C k X P k k 即从而X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=2 ,1 21,45/4410,45/280 ,0 )(x x x x x F .4．解：因为X 的概率密度⎪⎩⎪⎨⎧≤=其它,02||,cos )(πx x a x f X，则 a xdx axdx a dx x f X 2cos 2cos )(1222====⎰⎰⎰-∞+∞-πππ，从而.21=a于是（1）43cos 21)()656(26656===≤<-⎰⎰--ππππππxdx dx x f X P X .－π/2 －π/6 π/2 5π/6 x（2）因为)32()32()23()()(πππ-=-≤=≤+=≤=y F y X P y X P y Y P y F XY ，且πππππ22322≤≤-⇔≤-≤-y y ，于是23π+=X Y 的概率密度为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤--=⋅-=elsey y y f y f X Y ,0 2 ,32cos 6131)32()(ππππ. 5．解：（1）8230251)(3)(2)()32()(321321=⨯+-+-=+-=+-=X E X E X E X X X E Y E ； （2）因为1X ,2X ,3X 相互独立，故55292412)]1(5[)(3)()2()()32()(22232221321=⨯+⨯+--=+-+=+-=X D X D X D X X X D Y D .6. 解：因为)0,3,4,2,1( ),(22-N ~Y X ，所以)5,1(~2N Y X +，故)1,0(~51N Y X -+，从而 1587.08413.01)1(1)1()51451()4(=-=Φ-=-Φ=--<-+=-<+Y X P Y X P . 7. 解：因为X 的概率密度2 01()0 a bx x f x ⎧+<<=⎨⎩其他, 且41)(=X E ，故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+===+=+=⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-4142)()()(13)()(102102b a dx bx a x dx x xf X E b a dx bx a dx x f ，解得a =2，=b －3； 又因为151533253)()()(12222=-=+=+==⎰⎰∞+∞-b a dx bx a x dx x f x X E ，所以 .2401)41(151)()()(222=-=-=X E X E X D 8. 解：)()(2)()(),cov(2)()()(Y D X D Y D X D Y X Y D X D Y X D XY ⋅±+=±+=+ρ， 于是=+)(Y X D 85，=-)(Y X D 37.。