第一章 概率论的基本概念练习题1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。

试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。

2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。

试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。

3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。

试用C B A ,,表示以下事件：（1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。

《4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。

试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++.5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：C B A ++，C AB +，AC B -.6. 若事件C B A ,,满足C B C A +=+，试问B A =是否成立举例说明。

7. 对于事件C B A ,,，试问C B A C B A +-=--)()(是否成立举例说明。

8. 设31)(=A P ，21)(=B P ，试就以下三种情况分别求)(A B P ： （1）Φ=AB ， （2）B A ⊂， （3）81)(=AB P . 9. 已知41)()()(===C P B P A P ，161)()(==BC P AC P ，0)(=AB P 求事件C B A ,,全不发生的概率。

10. 每个路口有红、绿、黄三色指示灯，假设各色灯的开闭是等可能的。

一个人骑车经过三个路口，试求下列事件的概率：=A “三个都是红灯”=“全红”； =B “全绿”； =C “全黄”； =D “无红”； =E “无绿”； =F “三次颜色相同”； =G “颜色全不相同”；=H “颜色不全相同”。

11. 设一批产品共100件，其中98件正品，2件次品，从中任意抽取3件（分三种情况：一次拿3件；每次拿1件，取后放回拿3次；每次拿1件，取后不放回拿3次），试求：（1） （1）取出的3件中恰有1件是次品的概率； （2）…（3）（2）取出的3件中至少有1件是次品的概率。

12. 从9,,2,1,0 中任意选出3个不同的数字，试求下列事件的概率：{}501与三个数字中不含=A ，{}502或三个数字中不含=A 。

13. 从9,,2,1,0 中任意选出4个不同的数字，计算它们能组成一个4位偶数的概率。

14. 一个宿舍中住有6位同学，计算下列事件的概率：（1）6人中至少有1人生日在10月份； （2）6人中恰有4人生日在10月份； （3）6人中恰有4人生日在同一月份；15. 从一副扑克牌（52张）任取3张（不重复），计算取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率。

16. 假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%、10%，从中任取一件，结果不是三等品，求取到的是一等品的概率。

:17. 设10件产品中有4件不合格品，从中任取2件，已知所取2件产品中有1件不合格品，求另一件也是不合格品的概率。

18. 为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统I 和II 。

两种报警系统单独使用时，系统I 和II 有效的概率分别和，在系统I 失灵的条件下，系统II 仍有效的概率为，求（1） （1）两种报警系统I 和II 都有效的概率； （2） （2）系统II 失灵而系统I 有效的概率；（3） （3）在系统II 失灵的条件下，系统I 仍有效的概率。

19. 设1)(0<<A P ，证明事件A 与B 独立的充要条件是)|()|(A B P A B P =20. 设事件A 与B 相互独立，两个事件只有A 发生的概率与只有B 发生的概率都是41，求)(A P 和)(B P .21. 证明 若)(A P >0，)(B P >0，则有（1） （1）当A 与B 独立时，A 与B 相容； （2） :（3）（2）当A 与B 不相容时，A 与B 不独立。

22. 已知事件C B A ,,相互独立，求证B A 与C 也独立。

23. 甲、乙、丙三机床独立工作，在同一段时间内它们不需要工人照顾的概率分别为，和，求在这段时间内，最多只有一台机床需要工人照顾的概率。

24. 如果构成系统的每个元件能正常工作的概率为)10(<<p p ，（称为元件的可靠性），假设各元件能否正常工作是相互独立的，计算下面各系统的可靠性。

25. 10张奖券中含有4张中奖的奖券，每人购买1张，求 （1） （1）前三人中恰有一人中奖的概率； （2） （2）第二人中奖的概率。

】26. 在肝癌诊断中，有一种甲胎蛋白法，用这种方法能够检查出95%的真实患者，但也有可能将10%的人误诊。

根据以往的记录，每10 000人中有4人患有肝癌，试求：（1）某人经此检验法诊断患有肝癌的概率；系统I系统II（2）已知某人经此检验法检验患有肝癌，而他确实是肝癌患者的概率。

27. 一大批产品的优质品率为30%，每次任取1件，连续抽取5次，计算下列事件的概率：（1）取到的5件产品中恰有2件是优质品；（2） 在取到的5件产品中已发现有1件是优质品，这5件中恰有2件是优质品。

28. 每箱产品有10件，其次品数从0到2是等可能的。

开箱检验时，从中任取1件，如果检验是次品，则认为该箱产品不合格而拒收。

假设由于检验有误，1件正品被误检是次品的概率是2%，1件次品被误判是正品的概率是5%，试计算： （1）抽取的1件产品为正品的概率； （2）该箱产品通过验收的概率。

29. 假设一厂家生产的仪器，以概率可以直接出厂，以概率需进一步调试，经调试后以概率可以出厂，并以概率定为不合格品不能出厂。

现该厂新生产了)2(≥n n 台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求： （1）全部能出厂的概率；'（2）其中恰有2件不能出厂的概率； （3）其中至少有2件不能出厂的概率。

30. 进行一系列独立试验，每次试验成功的概率均为p ，试求以下事件 的概率：（1）直到第r 次才成功； （2）第r 次成功之前恰失败k 次； （3）在n 次中取得)1(n r r ≤≤次成功； （4）直到第n 次才取得)1(n r r ≤≤次成功。

31. 对飞机进行3次独立射击，第一次射击命中率为，第二次为，第三次为. 击中飞机一次而飞机被击落的概率为，击中飞机二次而飞机被击落的概率为，若被击中三次，则飞机必被击落。

求射击三次飞机未被击落的概率。

|答案：第一章 概率论的基本概念习题答案. 1. 解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）} {=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）}{=C (正，正)，（正，反），（反，正）}2. 解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω； {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ；{})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ；Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ；{})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）C B A C B A C B A ++；（4）BC A C B A C AB ++;（5）C B A ++；（6）C B A ；（7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++（8）ABC ； （9）C B A ++4.解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。

5. <解：如图：】BCA CBC AB A B BCA CB AC AB AC B C C AB C AB C B A C B A BC A ABC C AB C B A C B A C B A +=+=++=-+=+++++++=++;;6. 解：不一定成立。

例如：{}5,4,3=A ，{}3=B ，{}5,4=C ， 那么，C B C A +=+，但B A ≠。

7. 解：不一定成立。

例如：{}5,4,3=A ，{}6,5,4=B ，{}7,6=C ， 那么{}3)(=--C B A ，但是{}7,6,3)(=+-C B A 。

8. 解：（1）21)()()()(=-=-=AB P B P AB B P A B P ；（2）61)()()()(=-=-=A P B P A B P A B P ； （3）838121)()()()(=-=-=-=AB P B P AB B P A B P 。

9. 解：CB A CB AC B A ABCBCA CAB CB A ΩAB CCB A())(1)(C B A P C B A P C B A P ++-=++==[])()()()()()()(1ABC P BC P AC P AB P C P B P A P +---++-83016116104141411=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---++-=10.,解：271333111)()()(=⨯⨯⨯⨯===C P B P A P ；278333222)()(=⨯⨯⨯⨯==E P D P ；91271271271)(=++=F P ；92333!3)(=⨯⨯=G P ；98911)(1)(=-=-=F P H P .11. 解：一次拿3件：（1）0588.0310012298==C C C P ；（2）0594.031001982229812=+=C C C C C P ；每次拿一件，取后放回，拿3次：（1）0576.0310098232=⨯⨯=P ；（2）0588.010098133=-=P ；每次拿一件，取后不放回，拿3次：（1）0588.0398*******982=⨯⨯⨯⨯⨯=P ；（2）0594.098991009697981=⨯⨯⨯⨯-=P12.解：157)(310381==C C A P ；15142)(31038392=-=C C C A P 或15141)(310182=-=C C A P 13.解：9041454102839=-=P P P P 14.解：（1）41.01211166=-= P ； （2）00061.012116246=⨯= C P ；（3）0073.012116246112== C C P】15.解：602.03521392131431314=+= C C C C C C P 或602.0135211311311334=-= C C C C C P16.解：令=i A “取到的是i 等品”，3,2,1=i329.06.0)()()()()(3133131====A P A P A P A A P A A P 。