第1章 事件与概率2、若A ，B ，C 是随机事件，说明下列关系式的概率意义：(1)A ABC =；(2)A C B A = ；(3)C AB ⊂；(4)BC A ⊂.3、试把n A A A 21表示成n 个两两互不相容事件的和．6、若A ，B ，C ，D 是四个事件，试用这四个事件表示下列各事件：（1）这四个事件至少发生一个；（2）这四个事件恰好发生两个；（3）A ，B 都发生而C ，D 都不发生；（4）这四个事件都不发生；（5）这四个事件中至多发生一个。

8、证明下列等式：（1）1321232-=++++n n n n n n n nC C C C ；（2）0)1(321321=-+-+--n n n n n n nC C C C ；（3）∑-=-++=r a k r a b a k b r k a C C C0.9、袋中有白球5只，黑球6只，陆续取出三球，求顺序为黑白黑的概率。

10、一部五本头的文集，按任意次序放书架上去，试求下列概率：（1）第一卷出现在旁边；（2）第一卷及第五卷出现在旁边；（3）第一卷或第五卷出现在旁边；（4）第一卷及第五卷都不出现在旁边；（5）第三卷正好在正中。

11、把戏，2，3，4，5诸数各写在一小纸片上，任取其三而排成自左向右的次序，求所得数是偶数的概率。

12、在一个装有n 只白球，n 只黑球，n 只红球的袋中，任取m 只球，求其中白、黑、红球分别有)(,,321321m m m m m m m =++只的概率。

13、甲袋中有3只白球，7办红球，15只黑球，乙袋中有10只白球，6只红球，9只黑球。

现从两袋中各取一球，求两球颜色相同的概率。

14、由盛有号码 ,2,1，N 的球的箱子中有放回地摸了n 次球，依次记下其号码，试求这些号码按严格上升次序排列的概率。

16、任意从数列 ,2,1，N 中不放回地取出n 个数并按大小排列成：n m x x x x <<<<< 21，试求M x m =的概率，这里N M ≤≤118、从6只不同的手套中任取4只，问其中恰有一双配对的概率是多少？19、从n 双不同的鞋子中任取2r(2r<n)只，求下列事件发生的概率：（1）没有成对的鞋子；（2）只有一对鞋子；（3）恰有两对鞋子；（4）有r 对鞋子。

20、袋中有n 只球，记有号码n ,,2,1 ，求下列事件的概率：（1）任意取出两球，号码为1,2；（2）任意取出3球，没有号码1；（30任意取出5球，号码1,2,3,中至少出现一个。

21、袋中装有N ,,2,1 号的球各一只，采用（1）有放回；（1）不放回方式摸球，试求在第k 次摸球时首次摸到1号球的概率。

24、从52张扑克牌中任意抽取13张来，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张草花的概率。

25、桥牌游戏中（四人各从52张纸牌中分得13张），求4张A 集中在一个人手中的概率。

26、在扑克牌游戏中（从52张牌中任取5张），求下列事件的概率：（1）以A 打头的同花顺次五张牌；（2）其它同花是非曲直次五比重牌；（3）有四张牌同点数；（4）三张同点数且另两张也同点数；（5）五张同花；（6）异花顺次五张牌；（7）三张同点数；（8）五比重中有两对；（9）五张中有一对；（10）其它情况。

27、某码头只能容纳一只船，现预知某日将独立来到两只船，且在24小时内各时刻来到有可能性都相等，如果它们需要停靠的时间分别为3小时及4小时，试求有一船要在江中等待的概率。

28、两人约定于7点到8点在某地会面，试求一人要等另一人半小时以上的概率。

33、设n A A A ,,,21 是随机事件，试用归纳法证明下列公式：∑∑=≥>≥--++-=n i i j n n n j i i n A A A P A A P A P A A A P 1121121)()1()()()( 。

36、考试时共有N 张考签，n 个学生参加考试)(N n ≥，被抽过的考签立刻放回，求在考试结束后，至少有一张考签没有被抽过的概率。

37、甲，乙丙三人按下面规则进行比赛，第一局由甲，乙参加而丙轮空，由第一局的优胜者与丙进行第二局比赛，而失败者则轮空，比赛用这种方式一直进行到其中一个人连胜两局为止，连胜两局者成为整场比赛的优胜者。

若甲，乙，丙胜每局的概率各为1/2，问甲，乙，丙成为整场比赛优胜者的概率各是多少？39、给定()()()B A P r B P q A P p ===,,，求()AB P 及()B A P 。

40、已知：()()()B A C AB C B P A P AB P ⊃⊃=,,，证明：)()()(C P A P AC P ≥。

43、利用概率论的想法证明下列恒等式： aA a a A a A A A a A a A A a A =+-⋅-++-----+--+)1()1(12)()2)(1()1)((11 其中A ，a 都是正整数，且a A >。

46、证明Ω的一切子集组成的集类是一个-σ域。

47、证明：-σ域之交仍为-σ域。

48、证明：包含一切形如),(x -∞的区间的最小-σ域是一维波雷尔-σ域。

解答2、解：（1）ABC A C A B A ABC A BC A ⊃⊃⇒⊂⊃⇒=且显然)(，若A 发生，则B 与C 必同时发生。

（2）A C ⊂⊂⇒⊂⇒=且A B A C B A C B A ，B 发生或C 发生，均导致A 发生。

（3）A C AB ⇒⊂与B 同时发生必导致C 发生。

（4）C B A BC A ⊂⇒⊂，A 发生，则B 与C 至少有一不发生。

3、解：n A A A 21)()(11121----++-+=n n A A A A A A(或)＝121121-+++n n A A A A A A A ．6、解：（1）{至少发生一个}=D C B A .（2）{恰发生两个}=C A BD B A CD D A BC C B AD D B AC D C AB +++++.（3）{A ，B 都发生而C ，D 都不发生}=D C AB .（4）{都不发生}=D C B A D C B A =.（5）{至多发生一个}=C B A D D B A C D C A B D C B A D C B A ++++CD BD BC AD AC AB =.8、解：（1）因为n n n n n n x nC x C x C x ++++=+ 2211)1(，两边对x 求导得12112)1(--+++=+n n n n n n x nC x C C x n ，在其中令x=1即得所欲证。

（2）在上式中令x=-1即得所欲证。

（3）要原式有意义，必须a r ≤≤0。

由于k b b k b r b b a r a b a C C C C -++-+==,，此题即等于要证∑=++-+≤≤=a k r b b a k b b r k a a r C C C00,.利用幂级数乘法可证明此式。

因为b a b a x x x ++=++)1()1()1(，比较等式两边r b x +的系数即得证。

9、解：15.0335/311151516===A A A A P10、解：（1）第一卷出现在旁边，可能出现在左边或右边，剩下四卷可在剩下四个位置上任意排，所以5/2!5/!42=⨯=p（2）可能有第一卷出现在左边而第五卷出现右边，或者第一卷出现在右边而第五卷出现在左边，剩下三卷可在中间三人上位置上任意排，所以10/1!5/!32=⨯=p（3）p P ={第一卷出现在旁边}+P{第五卷出现旁边}-P{第一卷及第五卷出现在旁边}=1071015252=-+. （4）这里事件是（3）中事件的对立事件，所以 10/310/71=-=P（5）第三卷居中，其余四卷在剩下四个位置上可任意排，所以5/1!5/!41=⨯=P11、解：末位数吸可能是2或4。

当末位数是2（或4）时，前两位数字从剩下四个数字中选排，所以 5/2/23524=⨯=A A P12、解：m n m n m n m n C C C C P 33/321=13、解：P{两球颜色相同}=P{两球均白}+P{两球均黑}+P{两球均红}33.062520725925152562572510253==⨯+⨯+⨯=.14、解：若取出的号码是按严格上升次序排列，则n 个号码必然全不相同，N n ≤。

N 个不同号码可产生!n 种不同的排列，其中只有一个是按严格上升次序的排列，也就是说，一种组合对应一种严格上升排列，所以共有n N C 种按严格上升次序的排列。

总可能场合数为n N ，故题中欲求的概率为n n N N C P /=.16、解：因为不放回，所以n 个数不重复。

从}1,,2,1{-M 中取出m-1个数，从},1{N M +中取出m n -个数，数M 一定取出，把这n 个数按大小次序重新排列，则必有M x m =。

故n N m n M N m M C C C C P /1111----=。

当11-<-m M 或m n M N -<-时，概率0=P .18、解：有利场合是，先从6双中取出一双，其两只全取出；再从剩下的5双中取出两双，从其每双中取出一只。

所以欲求的概率为48.03316/4121212252216===C C C C C C P19、解：（1）有利场合是，先从n 双中取出2r 双，再从每双中取出一只。

)2(,/)(222122n r C C C P r n r r n <=（2）有利场合是，先从n 双中取出一双，其两只全取出，再从剩下的1-n 双中取出22-r 双，从鞭每双中取出一只。

r n r n r r n r r n n C C n C C C C C P 2222122222212221221/2/)(------==.（3）r n r n n r C C C P 22422242/2---=.（4）r n r r n C C C P 2222/)(=r n r n C C 22/=.20、解：（1）P{任意取出两球，号码为1，2}=2/1n C .（2）任取3个球无号码1，有利场合是从除去1号球外的1-n 个球中任取3个球的组合数，故 P{任取3球，无号码1}331/n n C C -=.（3）P{任取5球，号码1,2,3中至少出现1个}=P -1{任取5球，号码1,2,3不出现}553/1n n C C --=.其中任取5球无号码1,2,3，有利场合是从除去1,2,3号球外的3-n 个球中任取5个球的组合数。

21、解：（1）有利场合是，前1-k 次从1-N 个号中（除1号外）抽了，第k 次取到1号球， k k k k N N N N P /)1(/1)1(11---=⋅-=（2）考虑前k 次摸球的情况，N A A P k N k N /1/111=⋅=--。