几种求数列前n 项和的常用方法
1、公式法：
如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前n 项和的公式来求.
①等差数列求和公式：()()11122
n n n a a n n S na d +-==+ ②等比数列求和公式：()()()11111111n n n na q S a q a a q q q
q ⎧=⎪=-⎨-=≠⎪--⎩ 常见的数列的前n 项和：， 1+3+5+……+(2n-1)=
，等.
2、倒序相加法：
类似于等差数列的前n 项和的公式的推导方法。

如果一个数列{}n a ，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和。

这一种求和的方法称为倒序相加法.
例、求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值.
解：设 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. …. …. …. ①
将①式右边反序得： 1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S ……②
又因为sin cos(90)x x =-，22sin cos 1x x +=，①+②得 ：
2222222(sin 1cos 1)(sin 2cos 2)(sin 89cos 89)S =++++⋅⋅⋅++＝89
∴ S ＝
小结：倒序相加法，适用于倒序相加后产生相同的结果，方便求和.
3、错位相减法：
类似于等比数列的前n 项和的公式的推导方法。

若数列各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘得到，即数列是一个“差·比”数列，则采用错位相减法.
例、求和：()2112301n n S x x nx x x -=+++
+≠≠，（课本61页习题组4） 解：设S n =1+2x+3x 2+…+(n-1)x n-2+nx n -1， ①
则：x S n = x +2 x 2+…+(n-1) x n-1 + n x n
②
①－②得：(1- x )S n =1+x+x 2+…+x n-2+x n -1－n x n ③
∴当x =1时， ()(1)12312
n n n S n n +=+++⋯+-+= ∴当x ≠1时， 2121(1)
1...11111(1)1n n n n n n n x x x x nx nx x nx x S x x x x x
-⨯-++++---==-=------ 小结：错位相减法的求解步骤：①在等式两边同时乘以等比数列{}n c 的公比q ；②将两个等式相减；③利用等比数列的前n 项和的公式求和.
4、分组求和法：
有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列.若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
例、求和：()()()()123235435635235n n S n ----=-⨯+-⨯+-⨯+
+-⨯ 解：()()()()123235435635235n n S n ----=-⨯+-⨯+-⨯++-⨯
()()123246235555n n ----=++++-++++ ()2111553113114515n n n n n n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+-⨯=+--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥
⎣⎦- （课本61页习题组4） 例、求和：()()()()23123n n S a a a a n =-+-+-+
+-（课本61页习题组4） 解：2(1)1(1)(2)...()12...(1)2n n n a a a a n n -=+-++-=-----=-
当时，- 221(1)(2)...()(...)(12...)n a a a a n a a a n ≠+-++-=+++-+++当时，-
(1)(1)12
n a a n n a -+=-- 小结：这是求和的常用方法，按照一定规律将数列分成等差（比）数列或常见的数列，使问题得到顺利求解.
5、裂项相消法：
把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n 项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法。

适用于类似1n n c a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
（其中{}n a 是各项不为零的等差数列，c 为常数）的数列、部分无理数
列等。

用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法：
（1）()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭
，特别地当1k =时，()11111n n n n =-++
（21
k =，特别地当1k == 例、数列{}n a 的通项公式为1(1)n a n n =
+，求它的前n 项和n S 解：1231n n n S a a a a a -=+++
++ ()()1111112233411n n n n =+++++⨯⨯⨯-+ =11111111112233411n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-
+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1111n n n =-
=++ 1
,,
1n n ++的前n 项和n S . 解：设n n n n a n -+=++=11
1，则 11
321211
+++⋅⋅⋅++++=n n S n
=)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+-＝11-+n
小结：裂项相消法求和的关键是数列的通项可以分解成两项的差，且这两项是同一数列的相邻两项，即这两项的结构应一致，并且消项时前后所剩的项数相同.。