1 2 t Cu wC t 2 上式表明，电容储能与该时刻电压的平方成正比，为非负值，说明 电容是一种储能元件，电容的储能是电容电压具有记忆的本质。

5.2
电容元件的性质
0
0
t = u (t0 ) + 1 i( ) d C t
0
t ≥ t0
在某一时刻t电容电压的数值取决于从 到t所有时刻的电流值， 也就是说，电容电压与电流的“全部过去历史”有关。 电容电压具有记忆电流的作用 如果知道了由初始时刻t0开始作用的电流 i (t )以及电容的初始电 压 u (t0 ) ，就能唯一地确定 t ≥ t0 时的电容电压 u (t )
电容的储能 wc (t )为
0 2 1 2 t wc (t ) Cuc (t ) 2 2 ( t 2) 0 ( t 0) (0 t 1s) (1s t 2s) (2s t )
) 例 如图 (a) 所示，电流 i (t波形如图 (b) 所示，试求电容
1 i( ) d 0 C
0.25 103 s ≤ t ≤ 0.75 103 s 0.75 103 s ≤ t ≤ 1.25 103 s
当 0 ≤ t ≤ 0.25 103 s 时
u t = u t0 +
1 i( ) d 0 C
= 106 4000 d 2 109 t 2V
1 1
则在t1～t2期间，电容C吸收的能量为
t2 t2
t2
Cu ( )
1
du d d
=C

u ( t2 )
u ( t1 )
1 2 udu= Cu 2
u ( t2 ) = u ( t1 )
1 C [u 2 (t2 ) u 2 (t1 )] 2
电容C在某一时刻t的储能只与该时刻t的电压有关，即
电压。设 u(0) =0。
解
已知电容电流求电容电压时，可用 u t = u t0 +
1 0.25 103 t 4000t i (t ) 4000(t 0.5 103 ) 4000t 2 4000(t 103 ) 4000t 4 0 ≤ t ≤ 0.25 103 s
0
t
电压随时间按抛物线规律上升，当t＝0.25ms时，电压为 125 V。
当
1 t u (t ) = u(0.25 10 )+ i( ) d 0.25 10 t C 6 (4000 2) d = 125+ 10
3
3
0.25 103 s ≤ t ≤ 0.75 103时 s
0.25103
=(-250+2×106t-2×109t2)V
此为一开口向下的抛物线方程，其顶点在t＝0.5ms、u＝250V处。 当 t＝0.75ms时，电压下降到125V。
当 0.75 103 s ≤ t ≤1.25 103 s 时
3
3
t 1 t 6 u(t ) u(0.75 10 ) i( ) d 125 10 (4000 4)d 0.75 10 0.75 10 C (2000 4 106 t 2 109 t 2 )V
5.1
电容元件
5.1.1 电容元件的定义
一个二端元件，如果在任一时刻 t,它的电荷q(t)同 它的端电压u(t)之间的关系可以用u-q平面上的一条 曲线来确定，则此二端元件称为电容元件。
i q u
+
5.1.2 电容元件的伏安关系
i q u
对线性电容，得
qt Cut
dq t it dt
3
此为一开口向上的抛物线方程，其顶点在t＝1ms，u＝0处。
5.1.3
电容元件的储能

若电容电压、电流为关联参考方向，则任一瞬间电容吸 收的瞬时功率为
pt ut it 来自电容功率的特点：电容有时吸收功率， 有时却又放出功率。
由于
dw p dt
wC (t ) p( )d u ( )i( )d = t t t
uc (0) 0
解
根据 it
dq t ，得电流 dt
( t 0) (0 t 1s ) (1s t 2s ) (2 s t )
0 dus (t ) 2 i (t ) 2 d(t ) 2 0
) 瞬时功率 p (t为
0 2t p (t ) 2(t 2) 0 ( t 0) (0 ≤ t ≤ 1s ) (1s ≤ t ≤ 2 s ) (2 s t )
例
c 2F 如图(a)所示电路，其中
0 t u ( t ) s ，电源电压为 (t 2) 0
( t 0) (0 ≤ t ≤ 1s ) (1s ≤ t ≤ 2s) (2s t )
试求电容上电流 i (t ) 、瞬时功率 p (t )以及在t时刻的储能 wc (t。已知 )
dCu t du t i t C dt dt du i t C 若u和i的参考方向不一致，则
dt
电容有隔断直流的作用
+
1 t u(t ) i( )d C
1 t t 1 u(t ) i( ) d + i( ) d C C t
第5章 电容元件与电感元件
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5

电容元件 电容元件的性质 电感元件 电感元件的性质 应用—混合电池(超级电容器件)
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教学提示
电容元件和电感元件的电压、电流关系都 涉及对电压、电流的微分或积分，这种元 件统称为动态元件。 至少包含一个动态元件的电路称为动态电 路。 动态电路在任一时刻的响应与激励的全部 过去历史有关，可见动态电路是有记忆的。 本章将讨论电容元件和电感元件的定义、 VCR、性质及储能情况，为动态电路的分析 奠定基础。