从全过程来看，电容本身既不提供任何能量，也不消耗能量， 所以电容是无源元件。
综上所述，电容是一种动态、记忆、储能、无源元件。
例题 5.1 图示RC串联电路，设uC(0)=0，i ( t )=I e-t /RC。求在 0<t<∞时间内电阻消耗的电能和电容存储的电能，并比较二者大
小。
i
[解] 电阻消耗的电能为
q
+i
u
q = Cu
−
O
u
(a)
(b)
极板上储存的电荷量变化，在电容的两端就有 电流产生
i = dq = C du = Cu dt dt
（电容元件的VAR方程）
+i u q = Cu
可见电容的端口电流并不取决于当前时刻电压值，而 −
与电压的变化率成正比，所以电容是一种动态元件。
已知电流 i，求电荷 q （电荷的积储过程）
∫ ∫ ∫ u
= u1 + u2
+⋅⋅⋅+ uN
=
1 C1
i(ξ )dξ + 1
C2
i(ξ )dξ + ⋅⋅⋅ + 1
CN
i(ξ )dξ
∫ ∫ = ( 1 + 1 + ⋅⋅⋅ + 1 ) i(ξ )dξ = 1 i(ξ )dξ
C1 C2
CN
Ceq
串联等效电容的倒数等于各电容的倒 数之和。
1 = 1 + 1 +"+ 1
Leq L1 L2
LN
+i u L1 −
"
L2
LN
"
+i u Leq −
说明：对电路模型来讲，电感在串联或并联之前可以假设存在 一定的磁链或电流。这样，串联或并联联接后，除须计算等效 电感外，还须计算等效电感的初始磁链或初始电流。
例题 5.3 电路如图 (a)所示， 0.1H电感通以图 (b)所示的电流。
∫ q(t) = t i(ξ )dξ −∞
(5.5)
物理意义：t 时刻电容上的电荷量是此刻以前由电流充/放电而积
累起来的。所以某一时刻的电荷量不能由该时刻的电流值来确定，
而须考虑此前全部电流的“历史”，所以电容也属于记忆元件。
对于线性电容有：
u(t)
=
1 C
∫
t −∞
i(ξ
)dξ
(5.6)
在关联方向下，输入线性电容端口的功率
−2A
(a) u
105V
电容电压的变化规律波形如右图
65V
30V
0
t
3s
7s
基本要求：熟练掌握电感元件端口特性方程、能量计算及 串并联等效变换。
几种实际的电感线圈如下图所示：
尽
管
实
际
的
电
感
线
圈
形
状
各
异
，
但
其
共
性
都
是
线
圈
中
通
以
电
流
i
，
，从而在线圈中形成与电流
在
其
周
围
激
发
磁
场
(
m
a
g
n
e
t
i
c
f
i
l
1 2
Li2
=
0.1125t 2 J
(2) 2s < t < 4s ,
u = L di = 0 dt
p = ui = 0
i=3A
wm
= 1 Li2 2
= 0.45
J
(3) 4s < t < 6s , i = −1.5t + 3 A
u = L di = −0.1×1.5V = −0.15V dt
p = ui = (0.225t − 1.35)W
∫ u = u(3s) + 1 t i(ξ )dξ
C 3s
i
∫ = 105V + 1 t (−2)Adξ = 135V − 10t
0.2F 3s
5A
iC +u−
并且 u(7s) = 65V
(3) t ≥ 7s ：此时 i = 0 ，电容电压
保持不变， u(t) = u(7s) = 65V
0
t
3s
7s
p = ui = Cu du = C d (1 u2 ) = d (1 Cu2) (5.8) dt dt 2 dt 2
电容存储的电场能量
即电容的储能为：
输入电容的能量 = 1 Cu2 2
当u(t)↑ → 储能↑ 也即吸收能量 → 吸收功率 当u(t)↓ → 储能↓ 也即释放能量 →发出功率
截止到 t 瞬间，从外部输入电容的能量为
互感应磁链 ψ 21
i2
ψ 22
ψ 12
线圈的总磁链是自感磁链和互感磁链代数和。对线性电感， 自感/互感磁链均正比与激发它们的电流 。设电流与自感磁链的 方向符合右手螺旋关系，则 ：
ψ 1 = ψ 11 ± ψ 12 = L11i1 ± L12i2 ψ 2 = ±ψ 21 + ψ 22 = ±L21i1 + L22i2 上式中互感磁链前的符号，由自感和互感磁链的相对方向 而定 ，一致取 “ + ” ，否则取 “ – ” 。 L11 、L22 ——自感； 简写成 L1 、L2 L12 、L21 —— 互感； 一般实际线圈 L12 = L21 = M
对线性电感，其端口特性方程
(5.17)
u = −e = dΨ = L diL dt dt
(5.18)
即线性电感的端口电压与端口电流的时间变化率成正比。因为 电感上电压-电流关系是微分或积分关系，所以电感也属动态元 件。
若已知电压求磁链或电流，则：
∫ ∫ Ψ (t) =
t u(ξ )dξ
−∞
=ψ
(t0 )
wm
=
1 2
Li2
=
(0.1125t 2
−1.35t
+
0.45)
J
i
(4) t > 6s :
3A
电压、功率及能量均为零。
(b)
0
2s
4s
各时段的电压、功率及能量的 变化规律如右图 ()
0
小结：本题可见，电流源的端 电压决定于外电路，即决定于 电感。而电感电压与电流的变
所以两个电容储存的电场能量分别为
w1
=
1 2
C1U12
= 144J
;
w2
=
1 2
C2U
2 2
=
8J
例题 5.3 设 0.2F 电容流过的电流波形如图所示，已
知 u(0) = 30V 。试计算电容电压的变化规律并画出波形。
i 5A
iC
+u−
i 5A
iC +u−
0
t
3s
7s
−2A
(a)
0
t
3s
7s
−2A
Ceq C1 C2
CN
+i
u
−
Ceq
为了得到电容值较大电容，可将若干电容并联起来使用，如下
图所示：
+i
i1
i2
iN
u
−
C1
C2
CN
+i
u
−
Ceq
由于并联电容的总电荷等于各电容的电荷之和，即 q = q1 + q2 +" + qN = (C1 + C2 +" + CN )u = Cequ
注：如果在并联或串联前电容上存在电荷，则除了须计算等效 电容外还须计算等效电容的初始电压。
求时间 t > 0 电感电压、吸收功率及储存能量的变化规律。
i+
uL
−
(a)
i
3A
O
2s 4s
(b)
t
6s
解 根据电流的变化规律，分段计算如下
(1) 0 < t < 2s 时, i = 1.5t A
u = L di = (0.1×1.5)V = 0.15V
dt
p = ui = 0.225t W
wm
=
5.3 耦 合 电 感
5.2 电 感 元 件
5.4 理 想 变 压 器
5.1
电容元件
基本要求：熟练掌握电容元件端口特性方程、能量计算及串 并联等效变换。
电容构成原理
金属极板面积A
i
+q
d −q
介质ε
C=εA d
电容的电路符号
一般电容
电
可
u
解
变
电
电
容
(a) (b) (c)
容
实际电容器示例
电解电容器
∫ ∫ WR =
∞
0 pR (t)dt =
∞ 0
i 2 Rdt
∫=
∞
−t
(Ie RC
)2
Rdt
=
0.5R2I 2C
0
R
u
uc
C
∫ 电容最终储存的电荷为：qC (∞) = CuC (0) +
∞
idt = RCI
0
电容最终储能为：
WC
=
CuC2 (∞) 2
=
qC2 2C
=
0.5R2 I 2C
由此可知
WR = WC
+
t u(ξ )dξ
t0
∫ ∫ i(t) = 1 L
t u(ξ )dξ
−∞
=
i(t0 )