模型9 杆绳速度分解（解析版）1.模型特点沿绳(或杆)方向的速度分量大小相等。
2.思路与方法合速度就是物体的实际运动速度v 分速度方法:v 1与v 2的合成遵循平行四边形定则。
【典例1】(湖北省“荆、襄、宜七校考试联盟”2017 2018学年高一下学期期中)人用绳子通过定滑轮拉物体A ，A 穿在光滑的竖直杆上，当以速度v 0匀速地拉绳使物体A 到达如图所示位置时，绳与竖直杆的夹角为θ，则物体A 实际运动的速率是( B )A ．v 0cos θB ．v 0cos θC ．v 0sin θD ．v 0sin θ 【答案】B【解析】物体A 的运动是由绳的运动和垂直绳子方向的转动合成的，如图，则v ＝v 0cos θ，故选B 。
【变式训练1】如图，人沿平直的河岸以速度v 行走，且通过不可伸长的绳拖船，船沿绳的方向行进，此过程中绳始终与水面平行。
当绳与河岸的夹角为α时，船的速率为 （ ）A. v sin αB. αsin vC. v cos αD. αcos v 【答案】 C 【解析】如图所示，把人的速度沿绳和垂直绳的方向分解，由几何知识有v 船＝v cos α，所以C 正确，A 、B 、D 错误。
【典例2】A 、B 两物体通过一根跨过定滑轮的轻绳相连放在水平面上，现物体A 以v 1的速度向右匀速运动，当绳被拉成与水平面夹角分别为α、β时，如图所示。
物体B 的运动速度v B 为（绳始终有拉力）（ ）A.βαsin sin 1v B. βαsin cos 1v C. βαcos sin 1v D. 1cos cos v βα【答案】 D【解析】 A 、B 两物体的速度分解如图由图可知：v 绳A ＝v 1cos αv 绳B ＝v B cos β由于v 绳A ＝v 绳B所以v B ＝1cos cos v βα，故D 对 【变式训练2】(多选)如图甲所示,将质量为2m 的重物悬挂在轻绳的一端,轻绳的另一端系一质量为m 的小环,小环套在竖直固定的光滑直杆上,光滑定滑轮与直杆的距离为d 。
现将小环从与定滑轮等高的A 处由静止释放,当小环沿直杆下滑距离也为d 时(图中B 处),下列说法正确的是(重力加速度为g )( )。
甲A .小环刚释放时轻绳中的张力一定大于2mgB .小环到达B 处时,重物上升的高度为(-1)dC .小环在B 处的速度与重物上升的速度大小之比为D .小环在B 处的速度与重物上升的速度大小之比为【答案】ABD 【解析】由题意可知小环刚释放时重物具有向上的加速度,故绳中张力一定大于2mg ,A 项正确;小环到达B 处时,绳与直杆间的夹角为45°,重物上升的高度h=(-1)d ,B 项正确;如图乙所示,将小环速度v 进行正交分解,其分速度v 1与重物上升的速度大小相等,v 1=v cos45°=v ,所以小环在B 处的速度与重物上升的速度大小之比等于,C 项错误,D 项正确。
乙【典例3】如图甲所示,顶角θ=60°的光滑V字形轨道AOB固定在竖直平面内,且AO竖直。
一水平杆与轨道交于M、N两点,已知杆自由下落且始终保持水平,经时间t,速度由6 m/s增大到14 m/s(杆未触地),则在0.5t时,触点N沿倾斜轨道运动的速度大小为(重力加速度g取10 m/s2)()。
甲A.10 m/sB.17 m/sC.20 m/sD.28 m/s【答案】C【解析】杆自由下落,由运动学公式有v=v0+gt,则t==s=0.8s;则在0.5t时,杆的下落速度v'=v0+g·=(6+10×0.4)m/s=10m/s;根据运动的分解,杆下落的速度可分解成如图乙所示的两分运动,则触点N沿倾斜轨道运动的速度大小v″==20m/s,C项正确。
乙【变式训练3】(多选)如图所示,物体P、Q经无摩擦的定滑轮用细绳连在一起,此时Q在竖直方向匀速上升,P 物体在水平力F的作用下沿水平粗糙地面向右运动,则下列说法正确的是()。
A.P做减速运动B.细绳对P的作用力逐渐增大C.P所受摩擦力逐渐增大D.细绳对滑轮的作用力大小不变【答案】AC【解析】设细绳与水平方向的夹角为θ,则v P cosθ=v Q,因为Q在竖直方向匀速上升,则随着θ角的减小,v P 逐渐减小,即P做减速运动,A项正确;由于物体Q做匀速运动,故细绳的拉力不变,即细绳对P的作用力大小不变,B项错误;P所受摩擦力F f=μ(m P g-F T sinθ),则随着θ角的减小,P所受摩擦力逐渐增大,C项正确;两边细绳对滑轮的拉力大小不变,但是两绳的夹角逐渐变大,故由力的合成知识可知,细绳对滑轮的作用力逐渐减小,D项错误。
【典例4】如图所示,一个长直轻杆两端分别固定一个小球A和B,两球质量均为m,两球半径忽略不计,杆的长度为l。
先将杆竖直靠放在竖直墙上,轻轻振动小球B,使小球B在水平面上由静止开始向右滑动,不计一切摩擦,当小球A沿墙下滑距离为l时,下列说法正确的是()。
A.小球A和B的速度都为B.小球A和B的速度都为C.小球A的速度为,小球B的速度为D.小球A的速度为,小球B的速度为【答案】C【解析】当小球A沿墙下滑距离为l时,设此时A球的速度为v A,B球的速度为v B,根据系统机械能守恒得mg·=m+m,两球沿杆方向上的速度相等,则有v A cos 60°=v B cos 30°,联立解得v A=,v B=,故C项正确,A、B、D三项错误。
【变式训练4】一半径为R的半圆形竖直圆柱面,用轻质不可伸长的细绳连接A、B两球,A球悬挂在圆柱面边缘,A球质量为B球质量的2倍,现将A球从圆柱边缘处由静止释放,如图甲所示。
已知A球始终不离开圆柱内表面,且细绳足够长,若不计一切摩擦,求:(1)A球沿圆柱内表面滑至最低点时的速度大小。
(2)A球沿圆柱内表面运动的最大位移。
甲【解析】(1)设A球沿圆柱内表面滑至最低点时的速度大小为v,B球的质量为m,则根据机械能守恒定律有2mgR-mgR=×2mv2+m由图乙可知,A球的速度v与B球速度v B的关系为v B=v1=v cos 45°联立解得v=2。
(2)当A球的速度为零时,A球沿圆柱内表面运动的位移最大,设为x,如图丙所示,由几何关系可知A球下降的高度h=根据机械能守恒定律有2mgh-mgx=0解得x=R。
【答案】(1)2(2)R【典例5】(多选)如图,滑块a、b的质量均为m,a套在固定竖直杆上,与光滑水平地面相距h,b放在地面上。
a、b通过铰链用刚性轻杆连接,由静止开始运动。
不计摩擦,a、b可视为质点,重力加速度大小为g。
则()。
A.a落地前,轻杆对b一直做正功B.a落地时速度大小为C.a下落过程中,其加速度大小始终不大于gD.a落地前,当a的机械能最小时,b对地面的压力大小为mg【答案】BD【解析】首先,把a、b看成一个系统,运动中机械能守恒,b先加速后减速,a到达地面时b的速度为0,故杆对b先做正功后做负功,A项错误;根据系统机械能守恒可知,a的重力势能的减少量等于a动能的增加量,即mgh=mv2,得v=,B项正确;a下落过程,有一段受杆沿杆向下的拉力,故a的加速度有时大于g,C项错误;a刚开始的一段下落过程中杆对a做负功,a的机械能减少,a的机械能最小时杆对a的作用力为0,此时杆对b也没有力的作用,故此时b对地面的压力大小为mg,D项正确。
【变式训练5】如图所示,B是质量为2m、半径为R的光滑半圆弧槽,放在光滑的水平桌面上。
A是质量为3m 的细长直杆,在光滑导孔的限制下,A只能上下运动。
物块C的质量为m,紧靠B放置。
初始时,A杆被夹住,使其下端正好与半圆弧槽内侧的上边缘接触,然后从静止释放A。
求:(1)杆A的下端运动到槽B的最低点时B、C的速度。
(2)杆A的下端经过槽B的最低点后,A能上升的最大高度。
【答案】(1)(2)【解析】(1)运动到最低点时,长直杆在竖直方向的速度为0,B、C具有共同速度v,由(整个系统ABC)机械能守恒定律得3mgR=×3mv2解得v B=v C=v=。
(2)B、C分离后,杆上升到所能达到的最高点时,A、B的速度均为0,A、B系统机械能守恒×2mv2=3mgh解得h=。
【典例6】(多选)如图所示，一段绳子跨过距地面高度为H的两个定滑轮，一端连接小车P，另一端连接物块Q，小车最初在左边滑轮的下方A点，以速度v从A点匀速向左运动，运动了距离H到达B点(绳子足够长)，下列说法正确的有( )A．物块匀加速上升B．物块在上升过程中处于超重状态C．车过B点时，物块的速度为2vD．车过B点时，左边绳子绕定滑轮转动的角速度为v2H【答案】BD【解析】将小车的运动分解为沿绳子方向的运动以及垂直绳子方向的运动，如图所示：设小车运动到B 点时绳子与水平方向的夹角为θ，则：tan θ＝H H ＝1，所以θ＝45°.设此时物块的速度为v ′，则v ′＝v cos 45°，v ′＝22v ，故C 错误；当小车运动到B 点时，左侧的绳子的长度是2H ，由图可知垂直于绳子方向的分速度为：v ⊥＝v sin 45°＝22v ，所以左边绳子绕定滑轮转动的角速度为：ω＝v ⊥2H ＝v 2H，故D 正确；由几何知识得，当小车运动到绳子与水平方向夹角为α时物块的速度为v ″，则v ″＝v cos α，随α的减小，v ″增大，所以物块Q 向上做加速运动，但不是匀加速运动，加速度的方向向上，所以物块处于超重状态，故A 错误，B 正确．【变式训练6】[多选]如图所示，有一个沿水平方向做匀速直线运动的半径为R 的半圆柱体，半圆柱面上搁着一个只能沿竖直方向运动的竖直杆，在竖直杆未达到半圆柱体的最高点之前( )A ．半圆柱体向右匀速运动时，竖直杆向上做匀减速直线运动B ．半圆柱体向右匀速运动时，竖直杆向上做减速直线运动C ．半圆柱体以速度为v 向右匀速运动，杆同半圆柱体接触点和柱心的连线与竖直方向的夹角为θ时，竖直杆向上的运动速度为v tan θD ．半圆柱体以速度为v 向右匀速运动，杆同半圆柱体接触点和柱心的连线与竖直方向的夹角为θ时，竖直杆向上的运动速度为v sin θ【答案】BC【解析】O 点向右运动，O 点的运动使杆AO 绕A 点逆时针转动的同时，沿杆OA 方向向上推动A 点；竖直杆的实际运动(A 点的速度)方向竖直向上，使A 点绕O 点逆时针转动的同时，沿OA 方向(弹力方向)与OA 杆具有相同的速度。
速度分解如图所示，对O 点，v 1＝v sin θ，对于A 点，v A cos θ＝v 1，解得v A ＝v tan θ，O 点(半圆柱体)向右匀速运动时，杆向上运动，θ角减小，tan θ减小，v A 减小，但杆不做匀减速运动，A 错误，B 正确；由v A ＝v tan θ可知C 正确，D 错误。