解析：∵c∥d，∴存在实数 λ，使 c＝λd，即 ka＋b＝λ(a －b)，
∴kλ＝ ＝－λ 1， 故选 D.
答案：D
8．在平面直角坐标系 xOy 中，四边形 ABCD 的边 AB∥ DC，AD∥BC，已知点 A(－2,0)，B(6,8)，C(8,6)，则 D 点的 坐标为________．
解析：在平行四边形 ABCD 中，O→B＋O→D＝O→A＋O→C， ∴O→D＝O→A＋O→C－O→B＝(－2,0)＋(8,6)－(6,8)＝(0，－2)，即 D 点坐标为(0，－2)．
思路分析：利用向量坐标运算的各公式．
1 已知 a＝(3，－2)，b＝(－10,9)．试问当 k 为何值时， ka＋b 与 2a－3b 平行？平行时它们同向还是反向？
解：ka＋b＝k(3，－2)＋(－10,9) ＝(3k－10，－2k＋9)， 2a－3b＝2(3，－2)－3(－10,9) ＝(6＋30，－4－27)＝(36，－31)， ∵ka＋b 与 2a－3b 平行， ∴(3k－10)×(－31)－(－2k＋9)×36＝0. 解得 k＝－1241＝－32， 此时 ka＋b 与 2a－3b 平行，且反向．
A2
A
A1
1．向量共线的坐标表示 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0. 那么当且仅当 x1y2－x2y1＝0 时，向量 a、b(b≠0)共线， 即 a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
2．证明三点共线的方法 设 A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)， 只要证明向量A→B与B→C共线，便可证得 A、B、C 三点共 线．
三点共线问题 【例 2】 向量P→A＝(k,12)，P→B＝(4,5)，P→C＝(10，k)， 当 k 为何值时，A、B、C 三点共线？
思路分析：A、B、C 三点要共线，则必有B→A∥C→A.
2 已知向量O→A＝(k,12)、O→B＝(4,5)、O→C＝ (－k,10)，且 A、B、C 三点共线，则 k＝________.
三、解答题 10．已知O→A＝(1,1)，O→B＝(3，－1)，O→C＝(a，b)． (1)若 A，B，C 三点共线，求 a，b 的关系；
自测自评
1．已知向量 a＝(2,4)，b＝(－3，－6)，则 a 和 b( )
A．共线且方向相同 B．共线且方向相反
C．是相反向量
D．不共线
解析：a＝－23b 且－23<0，∴a 和 b 共线且方向相反． 答案：B
2．若三点 P(1,1)、A(2，－4)、B(x，－9)共线，则( )
A．x＝－1 C．x＝92
10 10 )
解D析．：(－与3A→1B01共0，线的1100单)或位(向3 1量010是，±－A→→B11.00)
|AB|
答案：D
4．已知|a|＝2 3，b＝(－1， 3)，且 a∥b，则 a＝________.
解析：∵a∥b，b＝(－1， 3)， 可设 a＝(－λ， 3λ)， 又∵|a|＝2 3，∴(－λ)2＋3λ2＝12，λ＝± 3. 当 λ＝ 3时，a＝(－ 3，3)．当 λ＝－ 3时，a＝( 3，－3)
B．x＝3 D．x＝51
解析：P→A＝(1，－5)，P→B＝(x－1，－10)． ∵P→A∥P→B，∴1×(－10)－(－5)×(x－1)＝0，x＝3.
答案：BBiblioteka 3．已知两点 A(2,3)，B(－4,5)，则与A→B共线的单位向量
是( )
A．(－6,12)
B．(－6,2)或(6，－2)
C．(－3
1010，
当
P1P PP2
=λ时，点P的坐标是什么？
3 已知向量A→B＝(4,3)、A→D＝(－3，－1)，点 A(－1，－2)． (1)求线段 BD 的中点 M 的坐标； (2)若点 P(2，y)满足P→B＝λB→D(λ∈R)，求 y 与 λ 的值．
基础达标
一、选择题 1．已知平面向量 a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则向量 a＋ b( ) A．平行于 x 轴 B．平行于第一、三象限的角平分线 C．平行于 y 轴 D．平行于第二、四象限的角平分线
解析：由 a＋b＝(0,1＋x2)，且 1＋x2≠0 及向量的性质可 知选 C.
答案：C
4．已知向量 a，b 不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b， 如果 c∥d，那么( )
A．k＝1 且 c 与 d 同向 B．k＝1 且 c 与 d 反向 C．k＝－1 且 c 与 d 同向 D．k＝－1 且 c 与 d 反向
解析：A→B＝O→B－O→A＝(4－k，－7)，B→C＝O→C－O→B＝(－ 4－k,5)，由A→B∥B→C，所以 7(k＋4)－5(4－k)＝0，得 k＝－32.
答案：－23
向量平行的应用 【例 3】 如下图，已知点 A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求 AC 与 OB 的交点 P 的坐标．
答案：(0，－2)
9．已知 A(－1,0)，B(3,1)，C(4,3)，D(0,2)，则四边形 ABCD 的形状为________．
解析：由于A→B＝(3,1)－(－1,0)＝(4,1)，D→C＝(4,3)－(0,2) ＝(4,1)，所以A→B＝D→C，所以四边形 ABCD 为平行四边形．
答案：平行四边形
rr
r r r ur
例1:如图，分别用基底 i ，j 表示向量 a 、b 、 c 、d ，
并求出它们的坐标.
解：如图可知
r uuuur uuuur r r a = Ar A1 + AA2 = 2i +3j
a = (2, 3) 同理 r r r
b = -2i + 3j = (-2, 3); r rr c = -2i - 3j = (-2, -3); r rr d = 2i - 3j = (2, -3).
答案：(－ 3，3)或( 3，－3)
5．已知 A(－2，－3)，B(2,1)，C(1,4)，D(－7，－4)， 试问：(1)A→B与C→D是否共线？
解：(1)A→B＝(4,4)，C→D＝(－8，－8)， ∴C→D＝－2A→B.∴A→B与C→D共线．
平面向量共线的坐标运算 【例 1】 向量 a＝(1,1)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a －b. (1)若 u＝3v，求 x； (2)若 u∥v，求 x，并判断 u 与 v 同向还是反向．