【练习1】系统的闭环传递函数为
)13()3(3)(2
3++++++=
ΦK s K s s K
s s ，其中，K >0
试绘制系统根轨迹，并求出s=-2时的闭环极点和零点。

解： ，得根轨迹方程：由0)13()3(32
3
=+++++K s K s s
0)
1()3(13
=+++
s s K
0)2)(2(2
=+++s s s 272
1,23,21j
s s ±-
=-=⇒
【练习2】一单位负反馈系统，其开环传递函数为：
]
4)1[()1(4)(++-=
s K s s K s G
(1) 试绘制K 从0→+∞时的系统根轨迹； (2) 求系统阶跃响应中含有分量)cos(βωα+-t e
t
时的K 值范围，其中
0,0>>ωα；
(3) 求系统有一个闭环极点为-2时的闭环传递函数。

解：（1）根轨迹方程为：
)
4()2(12
=+-+
s s s K
等效开环传递函数为：
)4()
2()(2
+-=
s s s K s G
实轴上的根轨迹：[-4，0] 分离点：12
24
11-=-=
++
d d d d
，得：由
与虚轴交点：劳斯表如下
K
s
K s K K s 40
44410
12-+
显然，K=1时，系统处于临界稳定，由辅助方程可解出交点处
21,±
==ωK
由模值条件得分离点处根轨迹增益：31
3*33
*1==d K 系统根轨迹如下图所示：
(２)求Ｋ值范围
尼状态，分量时，系统处于欠阻
当系统含有)cos(βωα+-t e
t
系统有一对具有负实部的共轭极点，Ｋ值的范围为：131
<<K
(３)求闭环极点
4
14
42221=⨯⨯=
-=K K s 值为：其对应的时，由模值条件，当系统具有闭环极点
)
445()1(]
4)1[()1(4)(+-=
++-=
∴s s s s K s s K s G )
2.3()1(8.0+-=
s s s
)2)(4.0()1(8.0)
(1)()(++-=
+=
Φs s s s G s G s 闭环传递函数为：
【练习3】负反馈系统的开环传递函数为22
*)1)(1()
2()(+-+=s s s K s G
(1)绘制K 从0→+∞时的系统闭环根轨迹；
(2)用根轨迹模值方程确定系统稳定 *
K 的取值范围； (3)试证明复平面上的根轨迹不是圆。

解：(1) 分离点：5,022
121121-==+=++-d d d d d ，得：由
(2)原点对应的41
2
2111=
⨯⨯⨯=
*
K （模值方程）
(３)根轨迹若为圆，则其方程应为2
2
2
5.2)5.2(=++y x
任取一点Ａ，其对应的坐标为)2,1(j -，然后代入相角方程中看是否
满足该方程：π)12(13.1882arctan 29090135+≠︒=-︒+︒+︒k
所以，该根轨迹不是圆。

【练习4】一单位反馈系统，其开环传递函数为：
)2()4()(*
++=
s s s K s G
试绘制根轨迹，分析*K 对系统性能的影响，并求出系统最小阻尼比所对应的闭环极点。

解 开环传递函数有二个极点，一个零点。

可以证明，此类带零点的二阶系统的根轨迹其复数部分为一个圆，其圆心在开环零点处，半径为零点到分离点的距离。

分离点为： 系统的根轨迹如图4-19所示
利用幅值条件求得分离点1d 、2d 处的根轨迹增益*1K 、*2
K 为:
343
.083
.2828
.0172.11
=⨯=
*
K
∴*1
1
20.686K K ==
*2
6.83 4.83
11.7
2.83
K ⨯=
=
∴223.4
K =
828.6,172.121-=-=d d
可见:
当增益*
K 在[0~0.343] 范围内时,闭环系统为两个负实数 极点,系统阶跃响应为非周期性质。

当根轨迹增益*
K
在[0.343~11.7]范围内,闭环系统为一对共轭复数
极点,其阶跃响应为振荡衰减过程。

当根轨迹增益*
K 在[11.7~]∞范围内，闭环系统又为两个负实数
极点，其阶跃响应又为非周期性质。

下面求解系统最小阻尼比 所对应的闭环极点。

在图中，过坐标原点作根轨迹圆的
切线，此切线与负实轴夹角的余弦，即为系统的最小阻尼比
cos cos 450.707ξβ==︒=
因此，最小阻尼比为707.0=ξ所对应的闭环极点可从图直接
得到： 1,222s j =-±
该点对应的*
K 值可用幅值条件求得：
*
2K =。

由于最小阻尼比为0.707，故系统阶跃响应具有较好好的平稳性、快速性。