周期 t =1
频率 f0 =1
t t

2
t
2 2
g ( x)dx 2
4 1 4
1
dx 1
4 1 4 1
t t

2
t
2 2
g ( x) cos(2nx)dx 2
2 2
sin(2nx) 1 / 4 n cos(2nx)dx sinc 1/ 4 n 2
思考题
利用欧拉公式，证明指数傅里叶系数与三角傅里叶系数之间 的关系：
a0 c0 , 2
an jbn cn , 2
c n
an jbn 2
a0 g ( x) (an cos 2nf0 x bn sin 2nf0 x), 2 n1
§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
从傅里叶级数到傅里叶变换
函数 (满足狄氏条件) 具有有限周期t,可以展为傅里叶级数:

g ( x) Cn 1
n
C
t 2 2
n
exp( j 2 n x)
1
t
n级谐波频率:n/t
t t
g ( x) exp( j 2 n x)dx
1
相邻频率间隔: 1/t
tLeabharlann 1 1 1 t 2 g ( x) t g ( x) exp( j 2 n x)dx exp( j 2 n x) t t 2 n t
bn
t t

2
t
g ( x) sin(2nf0 x)dx 0
采用指数傅里叶级数展开，可以使展开系数的表达式统一而简洁。
三角傅里叶展开的例子
周期为t =1的方波函数
1.2
0 0 -1.2 1 2 3 4 5
1 2
2

cos( 2 x )

2 cos( 6 x) 3
前3项的和
1/2
an
(n 0, 1, 2... ),
f0
1
t
展开系数
a0
t
2
t
0
g ( x)dx
an
t
2
t
0
g ( x) cos( 2nf 0 x)dx bn
t
2
t
0
g ( x) sin( 2nf 0 x)dx
a0
t
2
t
0
g ( x)dx
an
t
2
t
0
g ( x) cos( 2nf 0 x)dx bn
§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
从傅里叶级数到傅里叶变换
写成两部分对称的形式:
G( f ) g ( x) exp( j 2 fx)dx


g ( x) G( f ) exp( j 2 fx)df


这就是傅里叶变换和傅里叶逆变换
§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
0.5
-1.5
Analysis of 2-Dimensional Linear System §1-2 二维傅里叶变换 三角傅里叶级数
• 恩格斯(Engels) 把傅里叶的数学成就 与他所推崇的哲学家黑格尔(Hegel) 的 辩证法相提并论. • 他写道：傅里叶是一首数学的诗，黑 格尔是一首辩证法的诗.
2/ 频谱图
1 2 2 f ( x) cos( 2x) cos( 6x) ...... 2 3
…
fn
0
1
3
-2/3
§1-2 二维傅里叶变换
指数傅里叶级数
满足狄氏条件的函数 g(x) 具有有限周期t,可以在(-,+ )展为 指数傅里叶级数:
g ( x)
n
t
2
t
0
g ( x) sin( 2nf 0 x)dx
三角傅里叶展开的例子
1.2
0 0 -1.2 1 2 3 4 5
g(x)=rect(2x)*comb(x)
三角傅里叶展开的例子
练习 0-15：求函数 g(x)=rect(2x)*comb(x) 的傅里叶级数展开系数
a0
an
宽度 =1/2
c

n
exp( j 2nf0 x), (n 0,1,2... ),
f0
1
t
展开系数
cn
t
1
t
0
g ( x) exp( j 2nf 0 x)dx
指数傅里叶级数和三角傅里叶级数是同一种级数的两种表 示方式，一种系数可由另一种系数导出。
§1-2 二维傅里叶变换
指数傅里叶级数
sinc(x)d (x-1) = 0 sinc(x) d (x-1) = sinc(x-1)
1 2 1 0 1
0.5
*
x
tri(x)d (x + 0.5) = 0.5 d (x + 0.5) tri(x) * d (x + 0.5) = tri(x + 0.5)
x
1
-1
-0.5 0
1 -0.5 0
x
展开系数Cn 频率为n/t的分量

§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
从傅里叶级数到傅里叶变换
非周期函数可以看作周期为无限大的周期函数:
1 1 1 t 2 g ( x) lim t g ( x) exp( j 2 n x)dx exp( j 2 n x) t t t 2 n t
一、定义及存在条件
函数f(x,y)在整个x-y平面上绝对可积且满足狄氏条件(有 有限个间断点和极值点,没有无穷大间断点), 定义函数
F ( f x , f y ) f ( x, y) exp[ j 2 ( f x x f y y)dxdy


为函数f(x,y)的傅里叶变换, 记作: F(fx,fy)= {f(x,y)}=F.T.[f(x,y)], 或 f(x,y) F.T. F(fx,fy)
g ( x) df g ( x) exp( j 2 fx)dx exp( j 2 fx)

展开系数,或频率f分量的权重, G(f), 相当于分立情形的Cn
由于t ∞ 分立的n级谐波频率 n/t f, f: 连续的频率变量 相邻频率间隔: 1/t 0, 写作df, 求和 积分
第一章 二维线性系统分析
Analysis of 2-Dimensional Linear System §1-2 二维傅里叶变换 三角傅里叶级数
满足狄氏条件的函数 g(x) 具有有限周期t,可以在(-,+ )展为 三角傅里叶级数:
a0 g ( x) (an cos 2nf0 x bn sin 2nf0 x), 2 n1