3.1 周期信号的频谱分析——傅里叶级数
从本章起，我们由时域分析进入频域分析，在频域分析 中，首先讨论周期信号的傅里叶级数，然后讨论非周期信号 的傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数的基础上发展而 产生的，这方面的问题统称为傅里叶分析。
任何周期函数在满足狄义赫利的条件下，可以展成正交函 数线性组合的无穷级数。如果正交函数集是三角函数集或指数 函数集，此时周期函数所展成的级数就是“傅里叶级数”。
sin
31t
1 5
sin
51
)
f (t) 2E
n1,3,5
1 n
cos(n1t
2
)
Fn
1 2 (an
jbn )
j
bn 2
jE
n
0
n 1,3,5 n 2,4,6
f (t) jE e j1t jE e j31t jE e j1t jE e j31t
3
3
E
Fn n (n 1, 3, 5 )
3.1.1 三角形式的傅里叶级数
设周期信号为f(t),
其重复周期是T1,角频率 1
2f1
2
T1
f (t) a0 (an cos n1t bn sin n1t)
（1）
n1
1
直流分量：
a0
T1
t0 T1 f (t )dt
t0
余弦分量的幅度：
an
2 T1
t0 T1 t0
f
(t) cos n1tdt
Fne jn1t
n
（3）
为了能既方便又明确地表示一个信号中含有哪些频率分量，
各频率分量所占的比重怎样，就可以画出频谱图来直观地表示。
如果以频率为横轴，以幅度或相位为纵轴，绘出 cn 及 n
等的变化关系，便可直观地看出各频率分量的相对大小和相位
情况，这样的图就称为三角形式表示的信号的幅度频谱和相位 频谱。
（3）奇谐函数 f (t T1 ) f (t) 2
或
f (t T1 ) f (t)
2
（3）奇谐函数
例如 f (t)
f (t T1 ) f (t)
2
f (t T1 )
2
T1
T1 2
T1
T1
t
T1
2
an为 n1 的偶函数， bn 为 n1 的奇函数
cn为 n1 的偶函数， n为 n1 的奇函数
3.1.2 指数形式的傅里叶级数
f (t)
Fne jn1t
n
其中
1
Fn T1
t0 T1 f (t)e jn1t dt
t0
F0 a0 c0
Fn
Fn
e jn
1 2
(an
jbn )
1 Fn 2
衰减到零。
3.1.4 波形的对称性与谐波特性的关系
已知信号f(t)展为傅里叶级数的时候，如果f(t)是实函数而且 它的波形满足某种对称性，则在傅里叶级数中有些项将不出现， 留下的各项系数的表示式也将变得比较简单。波形的对称性有 两类，一类是对整周期对称；另一类是对半周期对称。
（1）偶函数
f (t) f (t)
n
2
2
(n 1,3,5 ) (n 1, 3, 5
)
2E
cn
n
0
n 1,3,5 n 2,4,6
n
2
(n 1,3,5)
cn 2E
2E
3 2E
Fn
E
n
n
2
2
(n 1,3,5)
(n 1,3,5)
(n 1,3,5)
Fn E
EE
3 5
5
51 31 1 1 31 51
0 1 31 51
(t) cos n1tdt
0
2E
2
bn T1
T1 0
f
(t) sin n1tdt
n
0
n 1,3,5 n 2,4,6
2E
cn
bn
n
0
n 1,3,5 n 2,4,6
n
arctan(
bn an
)
2
(n 1,3,5)
因此
f
(t)
2E
n1,3,5
1 n
sin
n1t
或
2E
(sin1t
1 3
2
bn T1
T1
2 T1
f (t) sin n1tdt
0
2
a0
1 T1
T1
2 T1
2
f (t)dt
2 T1
T1
2 f (t)dt
0
2
an T1
T1
2 T1
2
f
(t)
Hale Waihona Puke cosn1tdt4 T1
T1
2 0
f (t) cosn1tdt
所以，在偶函数的傅里叶级数中不会有正弦项，只可能
含有（直流）和余弦分量。
第 3 章 傅里叶变换分析
3.1 周期信号的频谱分析——傅里叶变换 3.2 典型周期信号的频谱 3.3 非周期信号的频谱分析——傅里叶变换 3.4 典型非周期信号的频谱 3.5 傅里叶变换的基本性质 3.6 周期信号的傅里叶变换 3.7 取样信号的傅里叶变换 3.8 调制信号的傅里叶变换 3.9 系统的频域分析 3.10 信号的传输与滤波
例3-1 求题图所示的周期矩形信号的三角形式与指数形式的
傅里叶级数，并画出各自的频谱图。
解：一个周期内 f (t) 的表达式为：
f (t)
E 2
E
f
(t)
2
E 2
0 t T1 2
T1 2
t
T1
T1
0
T1 2
T1
t
2
E 2
a0
1 T1
T1 f (t)dt 0
0
an
2 T1
T1 0
f
an2
bn2
1 2
cn
n arctan
（3） ------ 复振幅
( bn ) an
3.1.3 周期信号的频谱及其特点
1. 周期信号的频谱
f (t) a0 (an cos n1t bn sin n1t) n1
f (t) c0 cn cos(n1t n )
（1） （2）
n1
f (t)
n
n 1 31
0
51
51 31 1
2
1
31 5 1
2
2
2. 周期信号频谱的特点
（1）离散性 -------- 频谱是离散的而不是连续的，这种频谱 称为离散频谱。
（2）谐波性 -------- 谱线出现在基波频率 1 的整数倍上。
（3）收敛性 -------- 幅度谱的谱线幅度随着 n 而逐渐
正弦分量的幅度：
bn
2 T1
t0 T1 t0
f (t) sin n1tdt
以上各式中的积分限一般取： 0 ~ T1
或
T1 2
~
T1 2
三角形式的傅里叶级数也可表示成：
f (t) c0 cn cos(n1t n )
n1
其中
cn2 an2 bn2
n
arctan(
bn an
)
（2）
c0 a0
（2）奇函数 f (t) f (t)
1 T1
a0 T1
2 T1
f (t)dt
0
2
an
2 T1
T1
2 T1
f (t) cos n1tdt
0
2
bn
2 T1
T1
2 T1
2
f (t) sin n1tdt
4 T1
T1
2 0
f (t) sin n1tdt
所以，在奇函数的傅里叶级数中不会含有直流与余弦分 量，只可能包含正弦分量。