专题14 角平分线问题
1.角的平分线定义：
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC 是∠AOB 的平分线，所以∠1=∠2=∠AOB ，或∠AOB=2∠1=2∠2. 类似地，还有角的三等分线等.
2.作角平分线
角平分线的作法（尺规作图）
①以点O 为圆心，任意长为半径画弧，交OA 、OB 于C 、D 两点；
②分别以C 、D 为圆心，大于CD 长为半径画弧，两弧交于点P ；
③过点P 作射线OP ，射线OP 即为所求．
3.角平分线的性质
（1）定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。
符号语言：∵OP 平分∠AOB ，AP ⊥OA ，BP ⊥OB ，∴
AP=BP.
1
2
（2）逆定理：到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
符号语言：∵ AP ⊥OA ，BP ⊥OB ，AP=BP ，∴点P 在∠AOB 的平分线上.
注意：三角形的角平分线。
三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.三角形的角平分线的数学语言：
如下图，AD 是ΔABC 的角平分线，或∠BAD ＝∠CAD 且点D 在BC 上.
说明：AD 是ΔABC 的角平分线∠BAD ＝∠DAC ＝∠BAC (或∠BAC ＝2∠BAD ＝2∠DAC) . （1）三角形的角平分线是线段；
（2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；
（3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心；
（4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线.
4.角平分线的综合应用
2
1
（1）为推导线段相等、角相等提供依据和思路；
（2）在解决综合问题中的应用．
【例题1】（2020•襄阳）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，若∠EFG＝64°，则∠EGD的大小是（）
A．132°B．128°C．122°D．112°
【对点练习】（2020长春模拟）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E．若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE的大小为（）
A．44° B．40° C．39° D．38°
【例题2】（2020•随州）如图，点A，B，C在⊙O上，AD是∠BAC的角平分线，若∠BOC＝120°，则∠CAD的度数为．
【对点练习】（2019四川自贡）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，CD∥AB，∠ABC的平分线BD交AC于点E，DE＝．
【例题3】（2020•金华）图1是一个闭合时的夹子，图2是该夹子的主视示意图，夹子两边为AC，BD（点A 与点B重合），点O是夹子转轴位置，OE⊥AC于点E，OF⊥BD于点F，OE＝OF＝1cm，AC＝BD＝6cm，CE＝DF，CE：AE＝2：3．按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点O转动．
（1）当E，F两点的距离最大时，以点A，B，C，D为顶点的四边形的周长是cm．
（2）当夹子的开口最大（即点C与点D重合）时，A，B两点的距离为cm．
【对点练习】已知：点P是∠MON内一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，且PA＝PB．
求证：点P在∠MON的平分线上．
一、选择题
1．（2020•乐山）如图，E是直线CA上一点，∠FEA＝40°，射线EB平分∠CEF，GE⊥EF．则∠GEB＝（）
A．10°B．20°C．30°D．40°
2．（2020•福建）如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于（）
A．10 B．5 C．4 D．3
3.如图，在∆ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，过点D作DE AB于点E，测得BC=9，BE=3，则∆BDE的周长是( )
A.15
B.12
C.9
D.6
4．如图，面积为24的▱ABCD中，对角线BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BD交BC的延长线于点E，DE＝6，则sin∠DCE的值为（）
A．B．C．D．
5.已知：如图，点P在线段AB外，且PA=PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是（）
A．作∠APB的平分线PC交AB于点C
B．过点P作PC⊥AB于点C且AC=BC
C．取AB中点C，连接PC
D．过点P作PC⊥AB，垂足为C
6．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=（）
A．75° B．80° C．85° D．90°
7．（2019山东滨州）如图，在正方形ABCD中，对角线相交于点O，BN平分∠CBD，交边CD于点N，交对角线AC于点M，若OM＝1，则线段DN的长是多少（）
A．1.5 B．2 C．D．2
8.（2019陕西）如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E。
若DE=1，则BC的长为（）
2 C.2+
3 D.3
A.2+2
B.3
9．（2019内蒙古）如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB 、AC 于点D ，E ，再分别以点D 、E 为圆心，大于DE 为半径画弧，两弧交于点F ，作射线AF 交边BC 于点G ，若BG ＝1，AC ＝4，则△ACG 的面积是（ ）
A ．1
B ．
C ．2
D ．
二、填空题
10．（2020•扬州）如图，在△ABC 中，按以下步骤作图：
①以点B 为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB 、BC 于点D 、E ．
②分别以点D 、E 为圆心，大于12DE 的同样长为半径作弧，两弧交于点F ．
③作射线BF 交AC 于点G ．
如果AB ＝8，BC ＝12，△ABG 的面积为18，则△CBG 的面积为 ．
11．如图，△ABC 中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD 平分∠ABC ，若AD=8cm ，则CD= ．
12.如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，OC=5，OM=4，则点C到射线OA的距离为．
13．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B=70°，∠FAE=19°，则∠C= 度．
14．（2019内蒙古通辽）如图，在矩形ABCD中，AD＝8，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为点E，且AE平分∠BAC，则AB的长为．
15．（2019宁夏）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D．若∠A＝30°，则＝．
三、解答题
16．（2020•泸州）如图，AC平分∠BAD，AB＝AD．求证：BC＝DC．
17．（2020•武汉）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，AE与过点D的切线互相垂直，垂足为E．
（1）求证：AD平分∠BAE；
（2）若CD＝DE，求sin∠BAC的值．
18.已知：OC平分∠MON，P是OC上任意一点，PA⊥OM，PB⊥ON，
垂足分别为点A、点B．
求证：PA＝PB．
19.已知：如图，在R t△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，
且DE＝DC．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）若∠A＝36°，求∠DBC的度数．
20.已知：如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC.
(1)求证：△ABC是等腰三角形；
(2)判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由.
21.如图，∠1＝∠2，AE⊥OB于E，BD⊥OA于D，AE与BD相交于点C．求证：AC＝BC．
22.如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA.
(1)求证：DE平分∠BDC；
(2)若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD.
23. 如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，DA平分∠CAB交BC于D，问能否在AB上确定一点E，使△BDE的周长等于AB的长？若能，请作出点E，并给出证明；若不能，请说明理由．
24.如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交OA于点D，PE⊥OB交OB于
点E，F是OC上的另一点，连接DF，EF．求证：DF=EF．
25.如图，在四边形ABDC中，∠D=∠ABD=90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC．
求证：（1）OC平分∠ACD；（2）OA⊥OC；（3）AB+CD=AC．
26.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．（1）求∠CBE的度数；
（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．。