思考4：对于一个容量为2的样本：x1，
x1 + x 2 x 2 - x1 x2(x1<x2)，则 x = ,s = 2 2
在数轴上，这两个统计数据有什么几何意义？ 由此说明标准差的大小对数据的离散程度有 何影响？
标准差越大离散程度越大，数据较分散； 标准差越小离散程度越小，数据较集中 在平均数周围.
A．平均数不变，方差不变 B．平均数改变，方差改变 C．平均数不变，方差改变 D．平均数改变，方差不变
（2）
平均数为10，则 k1，k2 kn的平均数和方差分别是？
2( k1 3), 2( k2 3), 2( kn 3),的方差为12，
练习1：从甲乙两种玉米苗中各抽１０株，分 别测得它们的株高如下（单位：cm）
作业：P79
3.
谢谢,下节课见! 谢谢,下节课见!
作业 某化肥厂甲、乙两个车间包装肥料， 在自动包装传送带上每隔30min抽取一包 产品，称其重量，分别记录抽查数据如 下： 甲：102,101,99,98,103,98,99； 乙：110,115,90,85,75,115,110. (1)这种抽样方法是哪一种？ (2)将这两组数据用茎叶图表示； (3)将两组数据比较，说明哪个车间产品较 稳定．
x1 x x2 x xn x n
标准差的概念
• 标准差：考察样本数据的分散程度的大 小，最常用的统计量是标准差。
• 标准差:是样本数据到平均数的一种平
均距离，一般用s表示
标准差：
反映样本数据的分散程度的大小，最 常用的统计量是标准差，一般用s表示.假 设样 本 数 据 x1, x2, x3, , xn 的平均数 为 x ，则标准差的计算公式是：
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复习
如何根据样本频率分布直方图，分 别估计总体的众数、中位数和平均 数？
（1）众数：最高矩形下端中点的横坐标. （2）中位数：直方图面积平分线与横轴交 点的横坐标. （3）平均数：每个小矩形的面积与小 矩形底边中点的横坐标的乘积之和.
知识探究：标准差
样本的众数、中位数和平均数常用来表示样 本数据的“中心值”，其中众数和中位数容 易计算，不受少数几个极端值的影响，但只 能表达样本数据中的少量信息. 平均数代表 了数据更多的信息，但受样本中每个数据的 影响，越极端的数据对平均数的影响也越大. 当样本数据质量比较差时，使用众数、中位 数或平均数描述数据的中心位置，可能与实 际情况产生较大的误差，难以反映样本数据 的实际状况，因此，我们需要一个统计数字 刻画样本数据的离散程度.
小结：
1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的 大小。标准差，方差越大，数据的离散程度越大； 标准差、方差越小，数据的离散程度越小。标准差 的大小不会超过极差。 2)标准差、方差的取值范围大于等于0，标准差、方差为 0时，样本的各数据全相等表明数据没有波动幅度，数据 没有离散性。 3）因为方差与原始的数据的单位不同，且平方后可 能会夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻 画样本数据的分散程度上是一样的的，但是在解决问 题时，一般采用标准差。
甲 25 41 40 37 22 14 19 39 21 42 问:(1)哪一种玉米长得高？ 乙 27 16 44 27 44 16 40 40 16 40 (2)哪种玉米的苗长得齐？
— — — —
练习2
甲、乙两机床同时加工直径为100cm的零件，为了检 验质量，各从中抽取6件进行测量，分别记录数据为： 甲：99 100 98 100 100 103 乙：99 100 102 99 100 100
练习：若甲、乙两队比赛情况如下,下列说法哪些 说法是不正确的：
平均失球数 甲 1. 5 平均失球个数的标准差 1. 1
乙
2. 1
0. 4
1、平均来说，甲的技术比乙的技术好； 2、乙比甲技术更稳定； 3、甲队有时表现差，有时表现好； 4、乙队很少不失球。
全对
例题3、 （1） 如果一组数中每个数减去同一个非 零常数，则这一组数的( D )．
6 7 3
2
1 2 2 2 2 2 2 s乙 99 100 100 100 102 100 99 100 100 100 100 100 6 1


（2）两台机床所加工零件的直径的平均数相同，又 2 2 s s 因为 甲 乙 所以乙机床加工零件的质量更稳。
1 x (125 124 121 123 127) 124 【解析】样本平均数 5
1 2 2 2 2 2 s (1 O 3 1 3 ) 4, 所以 s 则样本方差 5
2
2．
例2 甲、乙两人同时生产内径为25.40mm的一种零
件，为了对两人的生产质量进行评比，从他们生产 的零件中各随机抽取20件，量得其内径尺寸如下 （单位：mm）： 甲： 25.46 25.32 25.45 25.39 25.36 25.34 25.42 25.45 25.38 25.42 25.39 25.43 25.39 25.40 25.44 25.40 25.42 25.35 25.41 25.39 乙： 25.40 25.43 25.44 25.48 25.48 25.47 25.49 25.49 26.36 25.34 25.33 25.43 25.43 25.32 25.47 25.31 25.32 25.32 25.32 25.48
x b，方差仍为
s
．
（3）新数据 ax1 b, ax2
（2）新数据 ax1 , ax2 , , axn的平均数为 ax ， 方差为 a 2 s 2 ．
b, , axn b
的平均数为 ax b，方差为a 2 s 2 ．
例题1
（09 重庆高考）从一堆苹果中任取 5 只，称得它们的 质量如下（单位：克）125，124， 121， 123， 127 则该样本标准差 s （克） （用数字作答） ．
s
( x x )
1
2
( x 2 x ) ( xn x ) n
2
2

标准差：
意义：标准差用来表示稳定性,
标准差越大,数据的离散程度就越大,也就越不 稳定.
标准差越小,数据的离散程度就越小,也就越稳定
从标准差的定义可以看出,标准差s≥0,
当s=0时,意味着所有的样本数据都等于样本 平均数.
后可能会夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差 在刻画样本数据的分散程度上是一样的的，但是在解 决问题时，一般采用标准差。
方差的运算性质： 如果数据
2
方差为 s ，则
x1 , x2 , , xn 的平均数为 x
2
，
（1）新数据 x1 b, x2 b, , xn b 的平均数为
频率 0.4 0.3 0.2 0.1 O
（甲）
0.4 0.3 0.2 0.1 O
频率
（乙）
4 5 6 7 8 9 10 环数
4 5 6 7 8 9 10 环数
甲的成绩比较分散，极差较大，乙的 成绩相对集中，比较稳定.
思考3：对于样本数据x1，x2，„，xn， 设想通过各数据到其平均数的平均距离 来反映样本数据的分散程度，那么这个 平均距离如何计算？
标准差 用样本的数字特征估计
总体的数字特征 ——标准差
复习
1、众数 在一组数据中，出现次数最多 的数据叫做这一组数据的众数。 2、中位数 将一组数据按大小依次排列， 把处在最中间位置的一个数据（或两个数 据的平均数）叫做这组数据的中位数。
3、平均数: 一组数据的算术平均数即
x=
1 ( x1 x 2 x n ) n
差来代替标准差，作为测量样本数据的分散程度的工具：
1 简化计算公式： s ( x12 x2 2 xn 2 ) nx 2 n
2
1 2 2 2 s ( x1 x ) x2 x xn x n
2




注意：因为方差与原始的数据的单位不同，且平方
思考1：在一次射击选拔赛中，甲、乙两名
运动员各射击10次，每次命中的环数如下： 甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 甲、乙两人本次射击的平均成绩分别为多 少环？
x甲 7, x乙 7
思考2：甲、乙两人射击的平均成绩相等，
观察两人成绩的频率分布条形图，你能说明 其水平差异在那里吗？
方差：从数学的角度考虑，人们有
时用标准差的平方s2——方差来代 替标准差，作为测量样本数据分散 程度的工具：
计算公式：
1 2 2 2 S ＝ x1 x x2 x „ xn x n
2
一般步骤：
求平均－再求差－然后平方－最后再平均
方差
2 s 从数学的角度考虑，人们也常用标准差的平方 ——方
从生产零件内径的尺寸看，谁生产的零件质量 较高？
x甲 25.401，x乙 25.406
s甲 0.037，s乙 0.068
甲生产的零件内径更接近内径标准，且稳定 程度较高，故甲生产的零件质量较高.
说明：1.生产质量可以从总体的平均数
与标准差两个角度来衡量，但甲、乙两个 总体的平均数与标准差都是不知道的，我 们就用样本的平均数与标准差估计总体的 平均数与标准差. 2.问题中25.40mm是内径的标准值， 而不是总体的平均数.
（1）分别计算两组数据的平均数及方差；
（2）根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更 稳定。
1 x甲 （99 100 98 100 100 103） 100 6 答案：（1） 1 x乙 （99 100 102 99 100 100） 100 6 1 2 2 2 2 2 2 2 s甲 99 100 100 100 98 100 100 100 100 100 103 100