=
16a-16b,������������
=
【答案】 C
知识梳理
典例变式
基础训练
能力提升
(2) 因为������������ = ������������ − ������������=a-b,
������������
=
1 6
������������
=
16a-16b,所以������������
=
知识梳理
典例变式
基础训练
能力提升
变式训练一
1.设 D 为△ABC 所在平面内一点,������������=3������������,则
A.������������ =-13
������������
+
4 3
������������
C.������������
=
4 3
������������
+
1 3
−
4 3
������������
C.������������
=
4 3
������������
+
1 3
������������
D.������������
=
4 3
������������
−
1 3
������������
(2)设 D、E 分别是△ABC 的边 AB、BC 上的点,AD=12AB,BE=23BC.若������������=λ1������������+λ2������������(λ1、
所以������������ = ������������ − ������������ = 23a+23b-16a-56b=12a-16b.
答案:(1)C (2)������������ = 16a+56b,������������ = 23a+23b,������������ = 12a-16b.
=
1 3
������������ ,
������������
=
1 3
������������,用
a,������ 表示
������������, ������������, ������������.
知识梳理
典例变式
基础训练
能力提升
【解析】(1)∵������������ =a,������������ =b,∴������������
λ(μ a) =(λ μ)a; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b) =λa+λb
知知识识梳梳理理
典例变式
基础训练
能力提升
3.平面向量共线定理 向量 b 与 a(a≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数 λ,使得 b=λa. 4.平面向量基本定理 如果 e1,e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 a,有且只 有一对实数 λ1,λ2,使 a=λ1e1+λ2e2. 其中,不共线的向量 e1,e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 5.向量的夹角
C.-13
������������
+
4 3
������������
B.13
������������
+
4 3
������������
D.-13
������������
−
4 3
������������
【解析】
������������ = ������������ + ������������
∴������������ =-13
������������
+
4 3
������������ .故选
A.
(2)
������������
=
������������
+
������������
=
1 2
������������
+
2 3
������������
=
12AB+23 (������������
+
������������)=-16 ������������
知识梳理
典例变式
基础训练
能力提升
变式训练二
1.如图,已知������������
=
4 3
������������,用������������,
������������ 表示������������ ,则������������ 等于
(C )
A.13
������������
−
4 3
������������
������������
+
������������
=
16a+56b.
因为������������ =a+b,
所以������������
=
������������
+
1 3
������������
=
1 2
������������
+
1 6
������������
=
2 3
������������
=
23a+23b,
知识梳理
典例变式
基础训练
能力提升
题型一 向量的线性运算
【例 1】 (1)设 D 为△ABC 所在平面内一点,������������=3������������,则( )
A.AD=-13
������������
+
4 3
������������
B.������������
=
1 3
������������
+
1 3
������������
=
������������
+
1 3
(������������
−ห้องสมุดไป่ตู้
������������ )=-13
������������
+
4 3
������������ .故选
A.
法二:∵������������=3������������,∴������������ − ������������=3(������������ − ������������),
+
2 3
������������ ,
所以 λ1=-16,λ2=23,即 λ1+λ2=12.
【答案】 (1)A (2)12
知识梳理
典例变式
基础训练
能力提升
【规律方法】平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略 (1)向量加法或减法的几何意义.向量加法和减法均适合三角形法则. (2)求已知向量的和.一般共起点的向量求和用平行四边形法则;求差用三角形法则;求 首尾相连向量的和用三角形法则. (3)求参数问题可以通过研究向量间的关系,通过向量的运算将向量表示出来,进行比较 求参数的值. 【注意】注意应用初中平面几何的知识如平行线分线段成比例定理、相似三角形的 性质等,可以简化运算.
=
������������
+
������������
=
1 2
������������
+
1 2
������������
=
12a+12b.因为
E
是
OD
的中点,∴||������������������������|| = 13,∴|DF|=13|AB|.
∴������������
=
1 3
������������
2.向量的线性运算
向
量 运
定义
算
法则(或几何意义)
加 求两个向量和的运 法算
减 求 a 与 b 的相反向 法 量-b 的和的运算
运算律
交换律: a+b=b+a; 结合律: (a+b)+c=a+(b+c)
a-b=a+(-b)
数 求实数 λ 与向量 a 乘 的积的运算
|λa|=|λ||a|, 当 λ>0 时,λa 与 a 的方向相同;当 λ<0 时,λa 与 a 的 方向相反;当 λ=0 时,λa=0
������������ .故选
A.
知识梳理
典例变式
基础训练
能力提升
2.在△ABC 中,点 M,N 满足������������=2������������, ������������ = ������������.若������������=x������������+y������������,则
知识梳理
典例变式
基础训练
能力提升
【规律方法】平面向量基本定理应用的实质和一般思路 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行 向量的加、减或数乘运算. (2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底,并运用该基底将条件和结 论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决. 【注意】在基底未给出的情况下,合理地选取基底会给解题带来方便.另外,要熟练运用 平面几何的一些性质定理.
延长线与 CD 交于点 F.若������������=a,������������=b,则������������=
()
A.14a+12b
B.12a+14b
C.23a+13b
D.13a+23b
(2)如图,以向量������������=a,������������=b
为邻边作▱OADB,������������