四川省成都市石室中学高三数学模拟试卷（理科）一、选择题：只有唯一正确答案，每小题5分，共50分
2．（5分）复数的虚部是（）
解：复数==i
3．（5分）已知，则的值为（）
．．．
）﹣
﹣
﹣
）﹣（﹣）
4．（5分）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为（）
6．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则此函数的解析式为（）
．．D
，由=3
，
T=
．
x+
∴×
．
2
=
≥﹣
8．（5分）O为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若
，则△ABC是（）
，由条件可得2，故⊥
∵∴﹣2∴•，∴⊥
9．（5分）反复抛掷一枚质地均匀的骰子，每一次抛掷后都记录下朝上一面的点数，当记录
10．（5分）已知关于x的方程﹣2x2+bx+c=0，若b、c∈{0，1，2，3，4}，记“该方程有实数．．．
．
二、填空题：每小题5分，共25分
11．（5分）已知数列{a n}的前n项和，则a n=﹣3×2n﹣1（n∈N*）．，得（
12．（5分）（1+2x）n的展开式中x3的系数等于x2的系数的4倍，则n等于8．
（•
，
4
=4，
=2×，解得
13．（5分）如图是一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图，如果主视图、左视图所对应的三角形皆为边长为2的正三角形，俯视图对应的四边形为正方形，那么这个几何体的体
积为．
高为的正四棱锥，
，高为的正四棱锥
V==
故答案为：
14．（5分）设向量与的夹角为θ，，，则cosθ等于．
先求出
解：∵
∴=
∴
==
故答案为：
15．（5分）定义在（﹣1，1）上的函数f（x）满足：对任意x，y∈（﹣1，1），
恒成立．有下列结论：①f（0）=0；②函数f（x）为（﹣1，1）上的奇函数；③函数f（x）是定义域内的增函数；④若，且a n∈
（﹣1，0）∪（0，1），则数列{f（a n）}为等比数列．
其中你认为正确的所有结论的序号是①②④．
，可证出，当
，
，则
，则
，所以，
，
，则
=f
三、解答题（共6小题，满分75分）
16．（12分）已知△ABC的面积S满足，的夹角为θ．
（Ⅰ）求θ的取值范围；
（Ⅱ）求函数f（θ）=sin2θ+2sinθcosθ+3cos2θ的最大值．
）由题意知
=3tan
∵
∴，∴
，∴
．
，∴
，即时，，
）的最大值为
17．（12分）三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=PC，∠ACB=90°，AC=CB=2．
（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面ABC；
（Ⅱ）若，且异面直线PC与AD的夹角为60°时，求二面角P﹣CD﹣A的余弦值．
中，
∴
∵
为正三角形，解得
，，，∵，∴
，
∵
，取
的法向量为
∴
18．（12分）设函数y=f（x）满足：对任意的实数x∈R，有f（sinx）=﹣cos2x+cos2x+2sinx ﹣3．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若方程有解，求实数a的取值范围．
先验证当时方程2a=
的值域即可，分类讨论：①当时，
当时，
时，
，则，
因为函数
时，
，则，，
+3（
19．（12分）已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入
为R（x）万元，且
（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；
（2）年产量为多少千年时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？
（注：年利润=年销售收入﹣年总成本）
﹣
﹣
取最大值，且
时，
当且仅当
x=
x=
21．（13分）设数列{a n}为单调递增的等差数列，a1=1，且a3，a6，a12依次成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n；
（Ⅱ）若，求数列{b n}的前n项和S n；
（Ⅲ）若，求证：．
∴，
）证明：
22．（14分）已知函数．
（Ⅰ）函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数还是减函数？证明你的结论；（Ⅱ）当x＞0时，恒成立，求整数k的最大值；
（Ⅲ）试证明：（1+1•2）•（1+2•3）•（1+3•4）•…•（1+n（n+1））＞e2n﹣3．
时，恒成立，即
）知：
）解：由题
恒成立，即
，则
，则，
知：∴
=
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