2021届四川省成都市石室中学高三上学期期中考试数学（理科）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1、若复数z 满足i iz 21+=，其中i 为虚数单位，则在复平面上复数z 对应的点的坐标为（ ）.A )1,2(--.B )1,2(-.C )1,2(.D )1,2(-2、“2log (23)1x -<”是“48x>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3、已知随机变量ξ服从正态分布(1,1)N ，若(3)0.976P ξ<=，则(13)P ξ-<<=（）A.0.952B.0.942C.0.954D.0.9604、若数列{}n a 的前n 项和为2n S kn n =+，且1039,a =则100a =（）A. 200B. 199C. 299D. 3995、若(0,)2πα∈，若4cos()65πα+=，则sin(2)6πα+的值为（ ）A ．123725- B ．732450- C ．243750- D ．123725+ 6、在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC ∆的顶点(0,4)A 和(0,4)C -，顶点B 在椭圆221925x y +=上，则sin()sin sin A C A C+=+( )A ．35B ．45C ．54D ．537、若,x y 满足4,20,24,x y x y x y +≤⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩则43y z x -=-的取值范围是（）A.(,4][3,)-∞-⋃+∞B. (,2][1,)-∞-⋃-+∞C. [2,1]--D. [4,3]-8、从0,1,2,3,4,5,6这七个数字中选两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（ ）A ．432B ．378C ．180D ．362FE D 1C 1B 1A 1DC BA9、已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的最小正周期是π，将函数()f x 图象向左平移3π个单位长度后所得的函数过点(,1)6π-，则函数()sin()f x x ωϕ=+（）A.在区间[,]63ππ-上单调递减 B.在区间[,]63ππ-上单调递增 C.在区间[,]36ππ-上单调递减 D.在区间[,]36ππ-上单调递增 10、在ABC ∆中，D 是BC 中点，E 是AB 中点，CE 的交AD 于点,F 若EF ,AB AC λμ=+则λμ+=( )A. 16-B. 16C. 13- D. 1 11、如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱BC 的中点，点F 在棱1CC 上，且12CF FC =，P 是侧面四边形11BCC B 内一点（含边界），若1A P //平面AEF ，则直线1A P 与面11BCC B 所成角的正弦值的取值范围是（）A.25529[,]529 B.313529[,]1329 C.31322[,]133 D.2522[,]5312、若存在两个正实数,x y ，使得等式2(2)(ln ln )0x a y ex y x +--=成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围为()A.11[,]2e -B. 2(0,]eC. 2(,0)[,)e -∞⋃+∞D. 11(,)[,)2e-∞-⋃+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13、已知()f x 是定义在R 上的奇函数,且当0x <时,()2xf x =,则4(log 9)f 的值为__________．14、已知61()x ax+展开式的常数项是160，则由曲线2y x =和a y x =围成的封闭图形的面积为．15、若点O 和点(3,0)F -分别是双曲线2221(0)x y a a-=>的对称中心和左焦点，点P 为GFEDCBA 双曲线右支上任意一点，则221PFOP +的取值范围为________________.16、定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足：（1）当1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，13()|2|22f x x =--；（2）(2)2()f x f x =．设关于x 的函数()()F x f x a =-的零点从小到大一次为1x ，2x ，…，n x ，…．若1(,1)2a ∈，则122n x x x +++=…．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17、（本小题满分12分）已知向量(3sin 22,cos ),(1,2cos ),m x x n x =+=设函数()f x m n =.（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及在(,]62ππ-上的值域； （Ⅱ）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若()4,4f A b ==，ABC ∆的面积为3，求a 的值.18、（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 是矩形，1,2AB AD ==，E 是AD 的中点，BE 与AC交于点F ，GF ⊥平面ABCD . （Ⅰ）求证：AF ⊥面BEG ；（Ⅱ）若AF FG =，求二面角E AG B --所成角的余弦值.19、（本小题满分12分）近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇．2016年双十一期间，某购物平台的销售业绩高达516亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.7，对服务的好评率为0.8，其中对商品和服务都做出好评的交易为120次．（Ⅰ）先完成关于商品和服务评价的2×2列联表，再判断能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（Ⅱ）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X ：①求对商品和服务全好评的次数X 的分布列； ②求X 的数学期望和方差．附临界值表：2K 的观测值：2()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++（其中n =a+b+c+d ） 关于商品和服务评价的2×2列联表：20、（本小题满分12分）已知椭圆Γ：22221x y a b+=（0a b >>）的左顶点为A ，右焦点为2F ，过点2F 作垂直于x 轴的直线交该椭圆于,M N 两点，直线AM 的斜率为12． （Ⅰ）求椭圆Γ的离心率；（Ⅱ）若AMN ∆的外接圆在点M 处的切线与椭圆交于另一点D ，2F MD ∆的面积为67，求椭圆Γ的标准方程．21、(本小题满分12分）已知函数21()(1)2x f x x e ax =--()a R ∈ ()I 当1a ≤时，求()f x 的单调区间； ()II 当(0,+)x ∈∞时，()y f x '=的图象恒在32(1)y ax x a x =+--的图象上方，求a 的取值范围.22、（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程已知直线l 过点(1,0)且倾斜角为α，在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M 的方程为2sin 4cos 0.ρθθ+=()I 写出曲线M 的直角坐标方程及直线l 的参数方程； ()II 若直线l 与曲线M 只有一个公共点，求倾斜角α的值.2021届四川省成都市石室中学高三上学期期中考试数学（理科）试题参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． DAADC BABDB BC二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．1133-、; 1143、; 265153+、(1,]; 16n 、3(2-1).三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17、解析：（Ι）()23sin 222cos f x m n x x =⋅=++3sin 2cos 232sin 236x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭…………………3分22T ππ∴==………………4分 (,],62x ππ∈-72(,],666x πππ∴+∈- ∴当7266x ππ+=时，即2x π=时,()min 2,f x = 当262x ππ+=时，即6x π=时,()max 5,f x =()(,]62f x x ππ∴∈-在上的值域为[2,5].………………6分（Ⅱ）()12sin 234,sin 2662f A A A ππ⎛⎫⎛⎫=++=∴+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1352,2666663A A A ππππππ⎛⎫+∈∴+=∴= ⎪⎝⎭…………8分 1sin 32ABC S bc A ∆==1c ∴=，………10分2222cos 1313a b c bc A a ∴=+-=∴=………12分18、解析：(Ι)∵四边形ABCD 为矩形，∴AEF ∆∽CBF ∆， ∴21===BC AE BF EF CF AF …1分 又∵矩形ABCD 中，2,1==AD AB ，∴3,22==AC AE 在BEA Rt ∆中，2622=+=AE AB BE ∴3331==AC AF ，2633BF BE == 在ABF ∆中，222221)36()33(AB BF AF ==+=+ ∴ 90=∠AFB ，即BE AC ⊥ ……………2分∵⊥GF 平面ABCD ，⊂AC 平面ABCD ∴GF AC ⊥……………3分又∵F GF BE = ，⊂GF BE ,平面BCE ∴⊥AF 平面BEG ……………4分(Ⅱ)由（Ι）得FG BE AD ,,两两垂直,以点F 为原点，FG FE FA ,,所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则⎪⎪⎭⎫⎝⎛0,0,33A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,36,0B ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛33,0,0G ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛0,66,0E ， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=0,36,33AB ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=33,0,33AG ， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=33,66,0EG ，36,,036AE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭…………6分 设),,(z y x n =是平面ABG 的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0n AG n AB ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=--0333303633z x y x ，取2=x ，得)2,1,2(-=n ………8分 设(,,)m x y z =是平面AEG 的法向量，则00AE n AG n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即3603633033x y x z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，取1x =，得(1,2,1)m =………10分xyz设平面AEG 与平面ABG 所成角的大小为θ，则10cos 10m n m nθ⋅==………………11分∵平面AEG 与平面ABG 成钝二面角 ∴二面角E AG B --所成角的余弦值为1010-. ……………. 12分19、解：（Ι）由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表如下：对服务好评 对服务不满意合计 对商品好评 120 40 160 对商品不满意20 20 40 合计 14060200…2分2200(120202040)9.5247.8971406040160k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯…4分故能在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为商品好评与服务好评有关．….…5分（Ⅱ）①每次购物时，对商品和服务都好评的概率为0.6，………6分 X 的取值可以是0,1,2,3．其中P （X=0）=0.43=8125； P （X=1）=C 31•0.6•0.42=36125；……..7分 P （X=2）=C 32•0.62•0.4=54125； P （X=3）=C 33•0.63=27125．……..9分X 的分布列为： X 0123P 8125 36125 54125 27125… 10分②由于X ～B （3，0.6），则E （X ）=3×0.6=1.8，D （X ）=3×0.4×0.6=0.72…12分．20、解：（Ι）由题意, 22(,0),(,),(,)b b A a M c N c a a--………………1分212AM b a c a k c a a -∴===+………………3分12c e a ∴==………………4分(Ⅱ)设椭圆的方程为2222143x y c c+=………………5分AMN ∆的外接圆圆心为0(,0)T x ,则220092()4c TA TM x c x c =⇒+=-+ 08cx ∴=-………………6分34238TMck c c ∴==+∴过M 的切线方程为:3944cy x =-+………………7分 联立切线与椭圆方程: 2222221437*********x y c c x cx c c y x ⎧+=⎪⎪⇒-+=⎨⎪=-+⎪⎩………………8分∴ 22111607M D c c x x ∆=>= ∴117D cx =………………9分 ∴2213113622777F MDc c c S c ∆=⨯⨯-==………………11分 ∴ 2c =∴椭圆的方程为 22186x y +=………………12分 21、解：()I ()()xxf x xe ax x e a '=-=-…（1分）当0a ≤时，0x e a ->，∴(,0)x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增…（2分）当01a <≤时，令()0f x '=得0ln x x a ==或(i) 当01a <<时，ln 0a <，故：(,ln )x a ∈-∞时，()0f x '>，()f x 单调递增， (ln ,0)x a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；…（4分）(ii) 当1a =时，ln 0a =，()(1)xxf x xe ax x e '=-=-0≥恒成立，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，无减区间；…（5分）综上，当0a ≤时，()f x 的单调增区间是(0,)+∞，单调减区间是(,0)-∞；当01a <<时，()f x 的单调增区间是(,ln )a -∞(0,)+∞和，单调减区间是(ln ,0)a ； 当1a =时，()f x 的单调增区间是(,)-∞+∞，无减区间. …（6分）()II 由()I 知()x f x xe ax '=-当(0,+)x ∈∞时，()y f x '=的图象恒在32(1)y ax x a x =+--的图象上方 即32(1)xxe ax ax x a x ->+--对(0,+)x ∈∞恒成立 即210x e ax x --->对(0,+)x ∈∞恒成立…（7分）记2()1x g x e ax x =---(0)x >，∴()()21xg x e ax h x '=--=()'2x h x e a ∴=-…（8分）(i) 当12a ≤时，()'20xh x e a =->恒成立，()g x '在(0,)+∞上单调递增， ∴()'(0)0g x g '>=∴()g x 在(0,)+∞上单调递增 ∴()(0)0g x g >=，符合题意；…（10分）(ii) 当12a >时，令()'0h x =得ln(2)x a = (0,ln(2))x a ∴∈时，()'0h x <，∴()g x '在(0,ln(2))a 上单调递减 ∴(0,ln(2))x a ∈时,()'(0)0g x g '<=∴()g x 在(0,ln(2))a 上单调递减，∴(0,ln(2))x a ∈时,()(0)0g x g <=，不符合题意…（11分）综上可得a 的取值范围是1(,]2-∞. …（12分）22、解：（Ι）对于C ：由2sin 4cos 0.ρθθ+=，得22sin 4cos 0.ρθρθ+=，进而得曲线M 的直角坐标方程为：24.y x =-；………………2分直线l 过点(1,0)且倾斜角为α，∴直线l 的参数方程为1cos ,sin ,x t y t αα=+⎧⎨=⎩()t 为参数(4分) （Ⅱ）将直线l 的参数方程1cos ,sin ,x t y t αα=+⎧⎨=⎩()t 为参数带入M 的直角坐标方程24,y x =-得：22sin 4cos 40,t t αα⋅+⋅+=①当sin 0α=时，适合题意，此时0;α=（6分）②当sin 0α≠时，2216cos 16sin 0αα-=，此时3.44ππαα==或 综上，直线l 的倾斜角的值为0α=或3.44ππαα==或（10分）。