数学试卷 第1页（共24页） 数学试卷 第2页（共24页）绝密★启用前浙江省绍兴市2019年中考试卷数 学（本试卷满分150分,考试时间120分钟）参考公式：抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标是24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.卷Ⅰ(选择题)一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分，请选出每小题中一个最符合题意的选项，多选、错选，均不给分） 1.5-的绝对值是（ ）A .5B .5-C .15D .15-2.某市决定为全市中小学教室安装空调，今年预计投入资金126 000 000元，其中数字126 000 000用科学记数法可表示为（ ）A .712.610⨯B .81.2610⨯C .91.2610⨯D .100.12610⨯3.如图的几何体由六个相同的小正方体搭成，它的主视图是（ ）第3题图ABCD4.为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区100名九年级男生，他们的根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于180cm 的概率是（ ）A .0.85B .0.57C .0.42D .0.155.如图，墙上钉着三根木条a ，b ，C ，量得170∠︒＝，2100∠︒＝，那么木条a ，b 所在直线所夹的锐角是（ ）第5题图A .5︒B .10︒C .30︒D .70︒6.若三点（1，4），（2，7），（a ，10）在同一直线上，则a 的值等于（ ）A .1-B .0C .3D .47.在平面直角坐标系中，抛物线()()53yx x +-＝经变换后得到抛物线(3)(5)y x x =+-，则这个变换可以是（）A .向左平移2个单位B .向右平移2个单位C .向左平移8个单位D .向右平移8个单位8.如图，ABC △内接于⊙O ，65B ∠︒＝，70C ∠︒＝.若BC ＝则BC 的长为（ ）第8题图 A .πBC.2πD . 9.正方形ABCD 的边AB 上有一动点E ，以EC 为边作矩形ECFG ，且边FG 过点D .在点E 从点A 移动到点B 的过程中，矩形ECFG 的面积（ ）第9题图A .先变大后变小B .先变小后变大C .一直变大D .保持不变毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共24页） 数学试卷 第4页（共24页）10.如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为（ ）图1图2第10题图A .245B .325CD卷Ⅱ(非选择题)二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分） 11.因式分解：21x -＝ . 12.不等式324x -≥的解为 .13.我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1～9这九个数字填入3×3的方格内，使三行、三列、两对角线上的三个数之和都相等.如图的幻方中，字母m 所表示的数是 .第13题图14.如图，在直线AP 上方有一个正方形ABCD ，30PAD ∠︒＝，以点B 为圆心，AB 长为半径作弧，与AP 交于点A ，M ，分别以点A ，M 为圆心，AM 长为半径作弧，两弧交于点E ，连结ED ，则ADE ∠的度数为 .题14题图15.如图，矩形ABCD 的顶点A ，C 都在曲线ky x=（常数0k ＞，0x ＞）上，若顶点D 的坐标为(5,3)，则直线BD 的函数表达式是 .第15题图16.把边长为2的正方形纸片ABCD 分割成如图的四块，其中点O 为正方形的中心，点E ，F 分别为AB ，AD 的中点.用这四块纸片拼成与此正方形不全等的四边形MNPQ （要求这四块纸片不重叠无缝隙），则四边形MNPQ 的周长是 .第16题图三、解答题（本大题共8小题，第17～20小题每小题8分，第21小题10分，第22，23小题每小题8分，第24小题14分，共80分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）17.（1）计算：214sin 60(2)2π-︒⎛⎫+--- ⎪⎝⎭（2）x 为何值时，两个代数式21x +，41x +的值相等？数学试卷 第5页（共24页） 数学试卷 第6页（共24页）18.如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y （千瓦时）关于已行驶路程x （千米）的函数图象.（1）根据图象，直接写出蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶的路程.当0150x ≤≤时，求1千瓦时的电量汽车能行驶的路程;（2）当150200x ≤≤时，求y 关于x 的函数表达式，并计算当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量.第18题图19.小明、小聪参加了100 m 跑的5期集训，每期集训结束时进行测试，根据他们的集训时间、测试成绩绘制成如下两个统计图.第19题图根据图中信息，解答下列问题：（1）这5期的集训共有多少天？小聪5次测试的平均成绩是多少？（2）根据统计数据，结合体育运动的实际，从集训时间和测试成绩这两方面，说说你的想法.20.如图1为放置在水平桌面l 上的台灯，底座的高AB 为5cm ，长度均为20cm 的连杆BC ，CD 与AB 始终在同一平面上.（1）转动连杆BC ，CD ，使BCD ∠成平角，150ABC ∠︒＝，如图2，求连杆端点D 离桌面l 的高度DE .（2）将（1）中的连杆CD 再绕点C 逆时针旋转，使165BCD ∠︒＝，如图3，问此时连杆端点D 离桌面l 的高度是增加还是减少？增加或减少了多少？（精确到0.1cm ，1.41≈1.73≈）图1图2 图3第20题图21.在屏幕上有如下内容：如图，ABC △内接于⊙O ，直径AB 的长为2，过点C 的切线交AB 的延长线于点D .张老师要求添加条件后，编制一道题目，并解答.（1）在屏幕内容中添加条件30D ∠︒＝，求AD 的长.请你解答. （2）以下是小明、小聪的对话：小明：我加的条件是1BD ＝，就可以求出AD 的长小聪：你这样太简单了，我加的是30A ∠︒＝，连结OC ，就可以证明ACB 与DCO 全等.参考此对话，在屏幕内容中添加条件，编制一道题目（可以添线添字母），并解答.第21题图-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________________________ _____________数学试卷 第7页（共24页） 数学试卷 第8页（共24页）22.有一块形状如图的五边形余料ABCDE ，6AB AE ＝＝，5BC ＝，90A B ︒∠＝∠＝，135C ∠︒＝，90E ∠︒＞，要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一条边在AE 上，并使所截矩形材料的面积尽可能大.（1）若所截矩形材料的一条边是BC 或AE ，求矩形材料的面积.（2）能否截出比（1）中更大面积的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值；如果不能，说明理由.第22题图23.（12分）如图1是实验室中的一种摆动装置，BC 在地面上，支架ABC 是底边为BC 的等腰直角三角形，摆动臂AD 可绕点A 旋转，摆动臂DM 可绕点D 旋转，30AD ＝，10DM ＝.（1）在旋转过程中，①当A ，D ，M 三点在同一直线上时，求AM 的长.②当A ，D ，M 三点为同一直角三角形的顶点时，求AM 的长.（2）若摆动臂AD 顺时针旋转90°，点D 的位置由ABC △外的点1D 转到其内的点2D 处，连结12D D ，如图2，此时2135AD C ∠︒＝，260CD ＝，求2BD 的长.图1图2第23题图24.如图，矩形ABCD 中，AB a ＝，BC b ＝，点M ，N 分别在边AB ，CD 上，点E ，F 分别在边BC ，AD 上，MN ，EF 交于点P ，记k MN EF ＝:. （1）若:a b 的值为1，当MN EF ⊥时，求k 的值.（2）若:a b 的值为12，求k 的最大值和最小值.（3）若k 的值为3，当点N 是矩形的顶点，60MPE ∠︒＝，3MP EF PE ＝＝时，求:a b 的值.第24题图数学试卷 第9页（共24页） 数学试卷 第10页（共24页）浙江省绍兴市2019年中考试卷数学答案解析卷Ⅰ（选择题）一、选择题 1.【答案】A【解析】根据绝对值的性质求解.解：根据负数的绝对值等于它的相反数，得|5|5-=. 故选：A. 【考点】绝对值 2.【答案】B【解析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤＜，n 为整数.确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值1＞时，n 是正数；当原数的绝对值1＜时，n 是负数. 解：数字126 000 000科学记数法可表示为81.2610⨯元. 故选：B.【考点】科学计数法 3.【答案】A【解析】根据从正面看得到的视图是主视图，可得答案.解：从正面看有三列，从左起第一列有两个正方形，第二列有两个正方形，第三列有一个正方形，故A 符合题意， 故选：A. 【考点】三视图 4.【答案】D【解析】先计算出样本中身高不低于180 cm 的频率，然后根据利用频率估计概率求解.解：样本中身高不低于180 cm 的频率150.15100==，所以估计他的身高不低于180 cm 的概率是0.15. 故选：D.【考点】统计，等可能事件的概率5.【答案】B【解析】根据对顶角相等求出3∠，根据三角形内角和定理计算，得到答案. 解：32100∠∠︒＝＝，∴木条a ，b 所在直线所夹的锐角1801007010︒︒︒︒＝--＝， 故选：B.【考点】对顶角相等，三角形内角和为180° 6.【答案】C【解析】利用()1,4，()2,7两点求出所在的直线解析式，再将点(,10)a 代入解析式即可； 解：设经过()1,4，()2,7两点的直线解析式为y kx b +＝，∴472k b k b =+⎧⎨=+⎩∴31k b =⎧⎨=⎩，∴31y x +＝，将点(,10)a 代入解析式，则3a ＝； 故选：C.【考点】一次函数及其图象，待定系数法 7.【答案】B【解析】根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律. 解：2(5)(3)(1)16y x x x =+-=+-，顶点坐标是(1,16)--.2(3)(5)(1)16y x x x =+-=--，顶点坐标是(1,16)-.所以将抛物线(5)(3)y x x =+-向右平移2个单位长度得到抛物线(3)(5)y x x =+-， 故选：B.【考点】二次函数及其图象，图形的平移8.【答案】A数学试卷 第11页（共24页） 数学试卷 第12页（共24页）【解析】连接OB ，OC .首先证明OBC △是等腰直角三角形，求出OB 即可解决问题. 解：连接OB ，OC .∵180180657045A ABC ACB ∠=-∠-∠=-︒-︒=︒︒︒， ∴90BOC ︒∠=∴BC =∴2OB OC ==∴BC 的长为2902360ππ⋅⋅=， 故选：A.【考点】三角形内角和，圆周角，圆心角，弧长公式 9.【答案】D【解析】由BCE FCD △∽△，根据相似三角形的对应边成比例，可得CF CE CD BC ⋅⋅＝，即可得矩形ECFG 与正方形ABCD 的面积相等. 解：∵正方形ABCD 和矩形ECFG 中，90DCB FCE ︒∠＝∠＝，90F B ︒∠＝∠＝，∴DCF ECB ∠＝∠， ∴BCE FCD △∽△， ∴CF CDCB CE=， ∴CF CE CB CD ⋅⋅＝，∴矩形ECFG 与正方形ABCD 的面积相等. 故选：D.【考点】正方形，矩形，相似三角形 10.【答案】A【解析】设DE x ＝，则8AD x -＝，由长方体容器内水的体积得出方程，解方程求出DE ，再由勾股定理求出CD ，过点C 作CF BG ⊥于F ，由CDE BCF △∽△的比例线段求得结果即可.解：过点C 作CF BG ⊥于F ，如图所示：设DE x ＝，则8AD x -＝，根据题意得：1(88)333362x -+⨯⨯=⨯⨯，解得：=4x ， ∴=4DE ， ∵90E ∠=︒，由勾股定理得：5CD ==， ∵90BCE DCF ∠=∠=︒， ∴DCE BCF ∠=∠， ∵90DEC BFC ∠=∠=︒， ∴CDE BCF △∽△， ∴CE CDCF CB =， 即358CF =， ∴245CF =. 故选：A.【考点】E 角形面积，勾股定理，相似三角形卷Ⅱ（非选择题）二、填空题11.【答案】(1)(1)x x +-【解析】原式利用平方差公式分解即可. 解：原式(1)(1)x x =+-.数学试卷 第13页（共24页） 数学试卷 第14页（共24页）故答案为：(1)(1)x x +-. 【考点】因式分解，平方差公式 12.【答案】2x ≥【解析】先移项，再合并同类项，把x 的系数化为1即可. 解：移项得，342x +≥， 合并同类项得，36x ≥， 把x 的系数化为1得，2x ≥. 故答案为：2x ≥. 【考点】一元一次不等式 13.【答案】4【解析】根据“每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等”解答即可.解：根据“每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等”，可知三行、三列、两对角线上的三个数之和都等于15， ∴第一列第三个数为：15258--=， ∴15834m =--=. 故答案为：4【考点】一元一次方程 14.【答案】15°或45°【解析】分点E 与正方形ABCD 的直线AP 的同侧、点E 与正方形ABCD 的直线AP 的两侧两种情况，根据正方形的性质、等腰三角形的性质解答. 解：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD AE =，90DAE ∠=︒，∴180903060BAM ∠=︒-︒-︒=︒，AD AB =，当点E 与正方形ABCD 的直线AP 的同侧时，由题意得，点E 与点B 重合， ∴45ADE ∠=︒，当点E 与正方形ABCD 的直线AP 的两侧时，由题意得，E A E M '='， ∴AE M '△为等边三角形， ∴60E AM ∠'=︒，∴36012090150DAE ∠'=︒-︒-︒=︒，∵AD AE ='， ∴15ADE ∠'=︒， 故答案为：15°或45°.【考点】正方形，等腰三角形，等边三角形，圆 15.【答案】35y x =【解析】利用矩形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征得到,33k A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，5,5k C ⎛⎫⎪⎝⎭，所以,35k k B ⎛⎫⎪⎝⎭，然后利用待定系数法求直线BD 的解析式.解：∵(5,3)D ，∴,33k A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，5,5k C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴,35k k B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设直线BD 的解析式为y mx n =+，把(5,3)D ，,35k k B ⎛⎫⎪⎝⎭代入得5335n k k m n π+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得350m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BD 的解析式为35y x =. 故答案为35y x =. 【考点】反比例函数及其图象，矩形，一次函数及其图象，待定系数法，整体思想 16.【答案】6+10或8+数学试卷 第15页（共24页） 数学试卷 第16页（共24页）【解析】先根据题意画出图形，再根据周长的定义即可求解. 解：如图所示：图1的周长为1236+++=+ 图2的周长为141410+++=； 图3的周长为358+=+故四边形MNPQ的周长是6+或10或8+故答案为：6+10或8+【考点】等腰直角三角形，平行四边形，矩形，图形的整合 三、解答题17.【答案】解：（1）原式4143=---. （2）2141x x +=+，240x x -=，(4)0x x -=， 10x =，24x =.【解析】（1）根据实数运算法则解答；（2）利用题意得到2141x x +=+，利用因式分解法解方程即可.【考点】锐角三角函数，零指数幂，负整数指数幂，二次根式化简，解一元二次方程，因式分解18.【答案】解：（1）由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米.1千瓦时的电量汽车能行驶的路程为：15066035=-千米；（2）设()0y kx b k =+≠，把点(150,35)，(200,10)代入，得1503520010k b k b +=⎧⎨+=⎩，∴k 0.5b 110=-⎧⎨=⎩，∴0.5110y x =-+，当180x =时，0.518011020y =-⨯+=，答：当150200x ≤≤时，函数表达式为0.5110y x =-+，当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量为20千瓦时.【解析】（1）由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米，据此即可求出1千瓦时的电量汽车能行驶的路程；（2）运用待定系数法求出y 关于x 的函数表达式，再把180x =代入即可求出当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量. 【考点】一次函数及其图象，待定系数法19.【答案】（1）这5期的集训共有：5710142056++++=（天），小聪5次测试的平均成绩是：(11.8811.7611.6111.5311.62)511.68++++÷=（秒）， 答：这5期的集训共有56天，小聪5次测试的平均成绩是11.68秒；（2）从集训时间看，集训时间不是越多越好，集训时间过长，可能造成劳累，导致成绩下滑，如图中第4期与前面两期相比；从测试成绩看，两人的最好成绩是都是在第4期出现，建议集训时间定为14天. 【解析】（1）根据图中的信息可以求得这5期的集训共有多少天和小聪5次测试的平均成绩；（2）根据图中的信心和题意，说明自己的观点即可，本题答案不唯一，只要合理即可. 【考点】条形统计图，折线统计图，平均数，数据的分析 20.【答案】（1）如图2中，作BO DE ⊥于O .数学试卷 第17页（共24页） 数学试卷 第18页（共24页）图2∵90OEA BOE BAE ∠=∠=∠=︒， ∴四边形ABOE 是矩形， ∴90OBA =︒∠，∴1509060DBO ∠=︒-︒=︒，∴sin 60OD BD ︒=⋅=，∴539.6(cm)DF OD OE OD AB =+=+=≈.（2）作DF l ⊥于F ，CP DF ⊥于P ，BG DF ⊥于G ，CH BG ⊥于H .则四边形PCHG是矩形，图3∵60CBH ∠=︒，90CHB ∠=︒， ∴30BCH ∠=︒，∵165BCD ∠=︒，45DCP ∠=︒ ，∴sin 60CH BC ︒=⋅=，sin 45(cm)DP CD ︒=⋅=，∴5)(cm)DF DP PG GF DP CH AB =++=++=，∴下降高度：55 3.2(cm)DE DF ⋅=-==. 【解析】（1）如图2中，作BO DE ⊥于O .解直角三角形求出OD 即可解决问题. （2）作DF l ⊥于F ，CP DF ⊥于P ，BG DF ⊥于G ，CH BG ⊥于H .则四边形PCHG是矩形，求出DF ，再求出DF -DE 即可解决问题. 【考点】：锐角三角函数，解直角三角形，矩形 21.【答案】（1）连接OC ，如图，∵CD 为切线， ∴OC CD ⊥， ∴90OCD ︒∠= ∵30D ︒∠= ∴22OD OC ==∴123AD AO OD =+=+=（2）添加30DCB ∠=︒，求AC 的长， 解：∵AB 为直径， ∴90ACB ∠=︒∵90ACB OCB ∠+∠=︒，90OCB DCB ∠+∠=︒ ∴ACO DCB ∠=∠ ∵ACO A ∠=∠ ∴30A DCB ∠=∠=︒ 在Rt ACB △中，112BC AB ==，∴AC =【解析】（1）连接OC ，如图，利用切线的性质得90OCD ∠=︒，再根据含30度的直角三角形三边的关系得到2OD =，然后计算OA OD +即可；（2）添加30DCB ∠=︒，求AC 的长，利用圆周角定理得到90ACB ∠=︒，再证明数学试卷 第19页（共24页） 数学试卷 第20页（共24页）30A DCB ∠=∠=︒，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求AC 的长.【考点】直线与圆相切，解直角三角形，线段、角度的和差，相似三角形等 22.【答案】（1）①若所截矩形材料的一条边是BC ，如图1所示： 过点C 作CF AE ⊥于F ，16530S AB BC =⋅=⨯=； ②若所截矩形材料的一条边是AE ，如图2所示：过点E 作EF AB ∥交CD 于F ，FG AB ⊥于G ，过点C 作CH FG ⊥于H ， 则四边形AEFG 为矩形，四边形BCHG 为矩形， ∵135C ∠=︒， ∴45FCH ∠=︒，∴CHF △ 为等腰直角三角形，∴6AE FG ==，5HG BC ==，BG CH FH ==， ∴651BG CH FH FG HG ===-=-=， ∴615AG AB BG =-=-=， ∴*26530S AE AG ==⨯=； （2）能；理由如下：在CD 上取点F ，过点F 作FM AB ⊥于M ，FN AE ⊥于N ，过点C 作CG FM ⊥于G ， 则四边形ANFM 为矩形，四边形BCGM 为矩形， ∵135C ∠=︒， ∴45FCG ∠=︒，∴CGF △为等腰直角三角形，∴5MG BC ==，BM CG =，FG DG =， 设AM x =，则6BM x =-，∴11FM GM FG GM CG BC BM x =+=+=+=-， ∴22(11)11( 5.5)30.25S AM FM x x x x x =⨯=-=-+=-+ ∴当 5.5x =时，S 的最大值为30.25.图1图2图3【解析】（1）①若所截矩形材料的一条边是BC ，过点C 作CF AE ⊥于F ，得出16530S AB BC =⋅=⨯=；②若所截矩形材料的一条边是AE ，过点E 作EF AB ∥交CD 于F ，FG AB ⊥于G ，过点C 作CH FG ⊥于H ，则四边形AEFG 为矩形，四边形BCHG 为矩形，证出CHF △为等腰三角形，得出6AE FG ==，5HG BC ==，BG CH FH ==，求出1BG CH FH FG HG ===-=，5AG AB BG =-=，得出26530S AE AG =⋅=⨯=； （2）在CD 上取点F ，过点F 作FM AB ⊥于M ，FN AE ⊥于N ，过点C 作CG FM⊥于G ，则四边形ANFM 为矩形，四边形BCGM 为矩形，证出CGF △为等腰三角形，得出5MG BC ==，BM CG =，FG DG =，设AM x =，则6BM x =-，11FM GM FG GM CG BC BM x =+=+=+=-，得出21111S AM FM x x x x =⨯=-=-+（），由二次函数的性质即可得出结果.【考点】矩形，等腰直角三角形，二次函数最值问题，构造函数思想 23.【答案】解：（1）①40AM AD DM =+=，或20.AM AD DM =-= ②显然MAD ∠不能为直角.当AMD ∠为直角时，222223010800AM AD DM =-=-=，∴AM =-舍弃）.当90ADM ∠=︒时，2222230101000AM AD DM =+=+=，∴AM =-.综上所述，满足条件的AM的值为（2）如图2中，连接CD .数学试卷 第21页（共24页） 数学试卷 第22页（共24页）由题意：1290D AD ∠=︒，1230AD AD ==， ∴2145AD D ︒∠=，12D D = ∵2135AD C ︒∠=， ∴1290CD D ︒∠=，∴1CD =∵2190BAC A AD ∠=∠=︒，∴2212BAC CAD D AD CAD ∠-∠=∠-∠， ∴12BAD CAD ∠=∠， ∵AB AC =，21AD AD =， ∴21()BAD CAD SAS ≌，∴21BD CD ==【解析】（1）①分两种情形分别求解即可.②显然MAD ∠不能为直角.当AMD ∠为直角时，根据222AM AD DM =-，计算即可，当90ADM ∠=︒时，根据222AM AD DM =+，计算即可.（2）连接CD .首先利用勾股定理求出1CD ，再利用全等三角形的性质证明21BD CD =即可.【考点】线段、角的和差，勾股定理，等腰直角三角形，全等三角 24.【答案】（1）如图1中，图1作EH BC ⊥于H ，MQ CD ⊥于Q ，设EF 交MN 于点O . ∵四边形ABCD 是正方形， ∴FH AB =，MQ BC =， ∵AB CB =， ∴EH MQ =， ∵EF MN ⊥， ∴90EON ∠=︒， ∵90ECN ∠=︒，∴1+80MNQ CEO ∠∠=︒，1+80FEH CEO ∠∠=︒， ∴FEH MNQ ∠=∠， ∵90EHF MQN ∠=∠=︒ ∴()FHE MQN ASA ≌∴MN EF = ∴k MN =，1EF =. （2）∵:1:2a b =， ∴2b a =， 由题意：25a MNa ，5a EF a ，∴当MN 的长取最大时，EF 取最短，此时k的值最大，最大值， 当MN 的最短时，EF 的值取最大，此时k. （3）连接FN ，ME . ∵3k =，3MP EFPE==，数学试卷 第23页（共24页） 数学试卷 第24页（共24页）∴3MN EFPM PE ==， ∴2PN PFPM PE==， ∵FPN EPM ∠=∠， ∴PNF PME ∽， ∴2NF PNME PM==，//NF ME 设2PE m =，则4PF m =，6MP m =，12NP m =，①如图2中，当点N 与点D 重合时，点M 恰好与B 重合.作FH BD ⊥于H .图2∵60MPE FPH ∠=∠=︒，∴2PH m =，FH =，10PH m =，∴5a AB FHb AD HD === ②如图3中，当点N 与C 重合，作EH MN ⊥于H .则PH m =，HE =，图3∴13HC PH PC m =+=，∴tan MB HE HCE BC HC ∠=- ∵ME FC ∥，∴MEB FCB CFD ∠=∠=∠，∵B D ∠=∠， ∴MEB CFD ≌， ∴2CD FCMB ME==，∴2a CD MB b BD BC --， 综上所述，:a b的值为5或13. 【解析】（1）作EH BC ⊥于H ，MQ CD ⊥于Q ，设EF 交MN 于点O .证明FHE MQN ASA △≌△（），即可解决问题. （2）由题意：2a MN ≤，a EF ≤，当MN 的长取最大时，EF 取最短，此时k的值最大最大值=，当MN 的最短时，EF 的值取最大，此时k 的值最小，最. （3）连接FN ，ME .由3k =，3MP EF PE ==，推出=3MN EF PM PE -，推出2PN PFPM PE==，由PNF PME △∽△ ，推出2NF PNME PM==，ME NF ∥，设2PE m =，则4PF m =，6MP m =，12NP m =，接下来分两种情形①如图2中，当点N 与点D 重合时，点M 恰好与B 重合.②如图3中，当点N 与C 重合，分别求解即可.【考点】全等三角形，勾股定理，平行线之间距离，锐角三角函数，解直角三角形，相似三角形。