1964年高德曼（Goldmen）蔡勒(Zelen)： Q，P满秩 Q ， P奇异（奇异权逆阵的最小二乘）
V T QV min
1971年劳（Rao）广义高斯——马尔柯夫
ˆ V AX L
R ( A) t
D 0 Q
2
det(Q) 0
2.4 最小二乘滤波、推估和配置
最小二乘平差：X未知参数是非随机的量，不具有随机 的性质 1969年克拉鲁普（Krarup），随后莫里兹（Moritz）提出了 带随机性的未知参数的平差； 根据所含未知参数的性质的不同分为： ① 滤波：L BY 未知参数信号Y与观测值建立了函数模型的滤波信号； ② 滤波推估: L BY' ' 除了含有滤波信号（未知参数）还含有：推估信号 Y；未 知参数与观测值没有建立函数模型。
随机模型的验后估计的方法有: ① 赫尔默特估计法： 2 T 建立各类观测值 Vi PVi 与对应的 i 的关系式，通过平差 求得的 ViT PVi ,求 i2 i2 i , ②MINQUE估计法（Rao 1970）： 最小范数：根据估计应具有的性质：无偏性，不变性， 最小范数。把满足这些性质的条件变成一个求最小迹的 极值问题，求极值的解。 BIQUE法（Koch 1980） ③库贝克（Kubik ）最大似然法： 假设随机变量服从正态分布，然法函数可表示为方差— 协方差的数学期望的函数，然后使该函数为最大。
ˆ BV AX f ˆ W CX E 0
当B=-E,C=0时,间接平差（参数平差） ˆ ˆ ( V BX l ) V AX f 当A=0,C=0时,条件平差： BV f ( AV W 0 ) 当B=-E时,带约束的间接平差：
ˆ V AX f
经典平差模型
n1
L AX
nu u 1
2 0 2 0
n1
1
D Q P
R（A）=U R（Q）=n
X为非随机参数
ˆ ˆ V T PV ( AX L) T P ( AX L) min
经典平差公式
ˆ X ( AT PA) 1 AT P N 1 AT P ˆ V AX ( L - AX o ) ˆ L LV 1 Q XX N ˆˆ V T PV 2 ˆ 0 nu D Xˆ 02 Q XˆXˆ
ˆ ˆ ⑥ E 0 E X X 无偏估计 E 0 E X X有偏估计 ⑦仅处理几何数据几何数据，物理数据联合（整体大地网平 差） ⑧二维平差向三维平差发展； ⑨静态平差动态平差，考虑时间参数t (参数随时间的变化)； ⑩按经验设计大地网最优设计大地网（大地网优化设计）线性 代数，泛函分析，近代回归分析，多元统计分析，随机数学， 计算机理论。


参数估计主要进展
非随机参数估计 顾及随机参数的Bayes估计、滤波、 以及拟合推估（或称最小二乘配 置—collocation） 抗差估计、自适应估计
最小二乘平差原则
ˆ CX W
当C=0时，带未知数的条件平差： ˆ ˆ BV AX f ( AV BX W 0) 当P，Q对角阵则对应经典平差； 当P，Q满秩阵则对应相关平差； 相关平差使最小二乘原理平差概念广义化，是测量平差 理论的一大进展。
2.3 秩亏平差：（1962年）迈塞尔（Meissl）
内可靠性：不可发现的最大粗差对平差结果的影响（优 化设计中用）定网形态，观测量多少。 测量实用上，研究在平差过程中自动剔除粗差方法,即粗 差定位 粗差定位分为两种： ①粗差归入函数模型的数据探测法（识别法） ②粗差归入随机模型的稳健估计法（调节法）（Robust） 优缺点： ①识别法：可以剔除粗差。依靠V最小二乘将大改正数分 配到许多观测值上。 ②调节法：不能剔除粗差，改正数、权合理分配。
③最小二成配置（拟合推估）： 即包含最小二乘中的非随机未知数，又包含随机未知参数（信 号） L AX BY
2.5整体大地测量：
传统数据处理：平面与高程位置分开处理，没有充分发挥不同类 观测数据对平差结果的效益。 沃尔夫1963导出了符合三维大地测量的误差方程式。 海兹1973提出了联合水准数据的平差方法。 霍丁的（Mathematical Geodesy）是三维大地测量的基本文献。 水平方向，天顶距，斜距，天文经纬度，方位角，水准数据 GPS测量 重力数据，物理量和几何量的相互——整体平差 时间——动态平差。
2 近代测量平差进展
2.1 前言
随着电子计算机，矩阵代数，泛函分析，最优化理论以 及概率统计的发展和完善,经典平差逐渐发展到近代平差. 2.2 相关平差：（1947年）田斯特拉（Tienstla） 高斯—马尔柯夫模型,Q，D，P是满秩的. 观测独立 相关, 直接观测值 导出量 相关平差对测量平差理论研究有重大促进作用，推动 了测量平差的发展,它有着强的概括性，和统一的形式。
S为附加参数向量 ②剔除粗差的平差方法； 测量中除了有偶然误差，还有粗差，导致平差结果失 真、不可靠。传统中采用在测量工作中剔除粗差。例 如，增加多余观测，闭合差检验。检验方法，统计检 验粗差，仅说明有无粗差。无法剔除粗差。 1968年，巴尔达提出“数据探测”法和可靠性理论。 可靠性（理论上研究）外可靠性：平差系统发现观测值 最小粗差的能力。
ˆ 有偏估计： E X

X
准确度：（精度好，准确度差）
ˆ 偏差：Bias X

ˆ E X X

ˆ ˆ 有偏估计： MSE X t r ( D( X )) T
基本思想：方差和偏差都要小，或适当增大，换取的减小 岭估计：广义岭估计、主成分估计、特征根估计。

2.9大地网优化设计 传统大地网设计，仅凭经验进行，只要满足要求，并不最优 科学。 随着电子计算机、数理统计、矩阵代数、优化方法在测量中 的应用，现在已经可能采用科学的方法，设计出满足精度要 求、成本低、可靠性强的最优大网，此过程称为—大地网优 化设计 大地网优化设计与最小二乘平差紧密相关，统一起来。 平差——测量成果的后处理。 设计——测量前的计划。
T 2
1.2 测量平差数学模型
平差数学模型
函数模型是描述观测量与待求参数间的数学函 数关系的模型，是确定客观实际的本质或特征的 模型。 随机模型是描述平差问题中的随机量（如观测 量）及其相互间统计相关性质的模型。
平差函数模型
经 典 平 差 函 数 模 型
条件平差模型
间接平差模型 附有参数的条件平差模 型 附有限制条件的间接平 差模型
L AX
E () 0 2 2 1 D 0 Q 0 P
( 无偏估计）
X—非随机，L—随机独立，A—列满秩，P—对角方阵；
近代平差：使观测值概念广义化。 ①L随机独立随机相关，P—对称方阵（相关平差）。 ②A列满秩A秩亏，秩亏自由网平差； ③X非随机参数具有各态经历性的平稳随机函数（拟合推 估）最小二乘配置； ④仅考虑研究函数模型（各种平差方法）考虑研究随机 模型（方差分量估计）； ⑤不考虑模型误差（系统差，粗差）顾及模型误差（附 加系统参数的平差，可靠靠性理论，数据探测，稳 健估计）
近代数据处理理论与方法
长安大学地质工程与测绘学院
赵超英
zhaochaoying@
一、近代平差理论简介
1. 经典平差
1.1最小二乘原理 测量平差：求含有随机误差的观测值及其 函数的平差值即求定未知参数的最佳估值. 最小二乘原理：观测值改正数的平方和等 于最小,如下所示 :
V PV min, (V min)
附有限制条件的条件平 差模型
经 典 平 差 概 括 模 型
间接平差函数模型
• 方程个数n<n+t未知数个数 (观测值改正数n；参数改正数t)
n1
~ L
B
nt
t 1
~ X
d0
t 1
n1
~) d L B (X x 0
o n1 nt
n1
n1
~ l Bx
随机模型
方差分量估计理论基本方法
方 差 协 方 差 分 量 估 计
Helmert法 最小二次无偏估计——MINQUE法 最优不变二次无偏估计——BIQUE法 极大似然估计法等
-
2.7考虑系统误差、粗差的平差方法；
观测误差：按性质分：
g s h 粗差 g、系统误差 s、偶然误差 K
nt t 1
n1
l BX d 0 L
o
高斯——马尔柯夫模型：
பைடு நூலகம்
马尔柯夫（1912） 测量平差模型： L 函数模型： AX EL AX
随机模型：
E 0 （观测值应满足的随机性质） 2 2 1 D0 0 P 0 Q
Q，D，P是 或L的对角阵. 由于绝大多数情况真值不知所以 不知，用改正数V代替 :
2.8 有偏估计： 经典平差——最小二乘原理——最优无偏估计。 ˆ E X X

ˆ lim( E X X ) 0
Tr E X X ˆ


ˆ X X min
T
当平差中含有较多未知参数的大型线性模型，未知参数 可能近似线性相关，法方程性态不好（病态）—接近奇 异，按最小二乘平差将导致虽满足最小二乘最优条件。 方差最小，但值都很大，精度差，相当不稳定。
②加权秩亏自由网平差： 在 V T PV min 最小二乘，加权最小范数条件下
ˆ T P X min X X ˆ
③拟稳平差：将网中的未知数分为两类:
ˆ XI Z ˆ X II ˆ ˆ X 是非稳定点， 是稳定点； X
V T PV min 在 ˆ T ˆ 部分参数最小范数 X II X II min