弹簧振子实验报告
一、引言
•实验目的
1.测定弹簧的刚度系数(stiffness coefficient).
2.研究弹簧振子的振动特性，验证周期公式.
3.学习处理实验数据.
•实验原理
一根上端固定的圆柱螺旋弹簧下端悬一重物后，就构成了弹簧振子.当振子处于静止状况时，重物所受的重力与弹簧作用于它的弹性恢复力相平衡，这是振子的静止位置就叫平衡位置.如用外力使振子离开平衡位置然后释放，则振子将以平衡位置为中心作上下振动.实验研究表明,如以振子的平衡位置为原点(x=0),则当振子沿铅垂方向离开平衡位置时,它受到的弹簧恢复力F在一定的限度与振子的位移x成正比，即
F =_ kx⑴
式中的比例常数k称为刚度系数(stiffness coefficient),它是使弹簧产生单位形变所须的载荷•这就是胡克定律•式(1)中的负号表示弹性恢复力始终指向平衡位置.当位移x 为负值，即振子向下平移时，力F向上.这里的力F表示弹性力与重力mg的综合作用结果.
根据牛顿第二定律，如振子的质量为m,在弹性力作用下振子的运动方程为:
+ Arx = O
x = Asin +(/>)
(3) 式表明•弹簧振子在外力扰动后，将做振幅为A,角频率为宀0的简谐振
动，式中的(叫/ +。
)称为相位，0称为初相位•角频率为叫的振子其振动周期
(4)
(4) 式表示振子的周期与其质量、弹簧刚度系数之间的关系，这是弹簧振子的 最基本的特
性•弹簧振子是振动系统中最简单的一种，它的运动特性(振幅，相 位，频率，周期)是所有振动系统共有的基本特性，研究弹簧振子的振动是认识 更复杂震动的基础.
弹簧的质量对振动周期也有影响•可以证明，对于质量为“0的圆柱形弹簧, 振子周期为
(5)
m
o/
m
o/
式中 ©称为弹簧的等效质量，即弹簧相当于以 ©的质量参加了振子的
振动•非圆柱弹簧（如锥形弹簧）的等效质量系数不等于1/3.
d 2x
上式可化为一个典型的二阶常系数微分方程乔
=0
其解为
(3)
可得
x =
我们选用短而轻的弹簧并配备适当重量的舷码组成振子，是实验条件与理论比较相符.在此基础上测振子周期，考察振子质量和弹簧刚度系数对周期的影响, 再将所得结果与理论公式比较，并探讨实验中存在的问题.
•实验仪器装置
游标高度尺，电子天平，弹簧，舷码，秒表
二、实验步骤
1.测弹簧质量和刚度系数
先测出弹簧的质量和刚度系数，测量时要分清弹簧的标记色，避免测周期是把数据弄混.弹簧的刚度系数可用静力平衡法测定，即在悬挂好的弹簧下端逐次加挂舷码，设其质量为"1, m2, m3f m4, m5,然后取叫为自变量、儿“少为因变量作直线拟合，斜率b的绝对值即为弹簧的刚度系数.（也可对％ ",拟合做出直线斜率，再乘以g=9.801mS- j.为测准"，应选一能正确反映弹簧伸长的标志线或面，而且要保证高度尺能方便地校准.实验中舷码和弹簧质量要求读到O.Olg.
2.对同一弹簧测不同振子质量时的周期几，验证T2-m tZ间的规律
选一弹簧，测量5或6个不同质量下的振动周期，每次固定读取连续100个（或50个）周期的时间间隔，同一质量下测3次，取其平均值来计算结果几，实验前预先拟好数据表格.
（5）式改写为方程
对测量数据作以为自变量、m为因变量的最小一.乘法直线拟合.可山直线的斜率与截距求得刚度系数k与弹簧的质量“0.
3.对儿乎相同的振子质量测不同弹簧的周期，验证匚―勺之间的规律.
畦码质量可选定大于0.300kg的某合适值，用不同弹簧测量振子周期，每次测量仍固定读取连续100个（或50个）周期的时间间隔，同一弹簧测3次周期, 取其平均值作为结果几.
不同弹簧的振子总等效质量可能略有不同•下面的数据处理中计算总振子质量时，近似的统一加上弹簧平均质量的均，经过分析可以得知，这样不同弹簧的振子总等效质量与近似值的差别不大于0.15%,折合成的等效周期测量误差不大于0.08%,即使不对质量因素进行修正，其影响也不太大.方程（5）可以变换成
可对测量数据作以加勺为自变量、加儿为因变量进行直线拟合.
三、数据分析
1 •誌码质量与弹簧质量
其中质量测量的不确定度均为= O.OOOlg
表耘码的质量
表弹簧的质量
2.测量弹簧的k值
其中长度测量的不确定度均为乱=0.01mm.表中长度单位均为mm •读数指弹簧最下端在游标高度尺上的读数.
蓝色弹簧
读数
381.2 320.3
303.3 286.0 267.0 250.5 233.5
无（较大） 弹簧读数
369.5 286.5 264.7 241.8 219.8 196.4 173.0
表悬挂不同舷码的各弹簧读数
下面是以读数为自变量,尬蕩为因变量进行直线拟合所得的图像:
图1无（较小）弹簧mg ・x
0.41
1.2
1
0.8
0.6
04 0.2
0 35
0.4 0 36
0.37 0.38
0.39 无（较小）弹簧读数（m ）
(5
弋删
SW
甦畑噸
2
I
i
i
i
i
i
i
i
I ______
0.33
0.34
0.35
0.36
0.37
0.38
0.39
0.4
0.41
0.42
红色弹簧读数（m ）
图2红色弹簧的mg-x
图3黄色弹簧的mg-x
up
y=-Wx +5.207
R 2 = 0.981
nff
5
Aff
0.34
0.36
0.38
0.4
0.42
0.44
黄色弹簧读数（m ）
R 2 = 0.9996
0.24 0.26 0.28 0.3 0.32 0.34 0.36 0.38
橙色弹簧读数（m ）
图4橙色弹簧的mg-x
图5蓝色弹簧的mg-x
0.22 0.24 0.26 0.28 0.3 0.32 0.34 0.36 0.38 0.4
蓝色弹簧读数（m ）
9
^
d 严・6.483»2.442
2
1.5
(N)
图6无（较大）弹簧mg-x 山拟合直线的斜率可以求得各弹簧的刚度系数见下表
表各弹簧的刚度系数
3.对同一弹簧测不同振子质量卩时的周期几，验证T2-m i之间的规律
选定蓝色的弹簧，测量不同振子质量时的周期卩如下表:
表5同一弹簧测不同振子质量时的周期几
以群为自变量，尬丫为因变量进行线性拟合，得到下图
P51 -7 ~
山直线可得仆兀满足线性关系•山斜率计算蓝色弹簧得刚度系数为5・772N/m•山截距算的蓝色弹簧的质量为44・49g・
4.对儿乎相同的振子质量测不同弹簧的周期，验证T i~k i之间的规律.
选定4个眩码不变•换用不同的弹簧，测得周期数据如下表:
弹簧 无（较小） 红 黄 橙 蓝 无（较大）
刚度系数
（N/m ）
14.41 12.79 10.98 6.483 6.089 4.613
r 0.018 0.023 0.029 0.091 0.103 0.179
0.010
0.046 0.095 0.006 0.014 0.010
四、 误差分析
图8不同弹簧的T i~k
t 之间的规律
-0.2
综上，各弹簧的刚度系数见下表
2.验证T2-m tZ间的规律的误差分析r = 0.098
Ay = 8.62xl0-5
k .
A —= AF = 5.499 x IO-4
4TT2
由上式得出
A/c = 4TT2A5 = 0.0217/V/7n
所以曲拟合直线计算蓝色弹簧的刚度系数为k二5.7717 ±0.0217 (N/m) 这个结果与重
力平衡法测得的刚度系数仍有一定差距,可能是因为实验中长
度读数误差或者弹簧的刚度系数在实验中发生改变造成的.
Z = 1.844 x 10 一4
A= A71 x 3 = 5.532 x 10
所以蓝色弹簧的质量叫=0・°4449 ± 5.532 X 10」】(他)
3.验证儿—檢之间的规律的误差分析
P = 3.652
Ay = 0.0766
= 0.0896
所以拟合直线的斜率为-0.4891 ± °・0896,该圉包括-0.5这个理论预计值，说明实验很好的证实了In垃与In匚的线性关系.
五、实验结论该实验通过重力平衡法测得了各弹簧的刚度系数.
T = 2n”+叫/3
研究了弹簧振子的运动特性，验证了周期公式、1 * .实验数据与理论符合的较好.。