进化算法及其在数值计算中的应用
遗传操作是遗传算法的核心，它直接影响和决定遗传算 法的优化能力，是生物进化机理在遗传算法中的最主要体现 ，遗传算法的遗传操作包括选择、变异和交叉。 选择（selection）：选择操作与生物的自然选择机制相 类似，体现了“适者生存，优胜劣汰”的生物进化机理。根 据 适应度的大小来判断个体的优良，性状优良的个体有更大的 机会被选择，产生后代。 比例选择：个体被选中的概率与其适应度大小成正比。 fi 假设群体规模为M，个体i的适应度为 ，则个体i被选中的 fi pi M , (i 1, 2, , M ) 概率为 fi
进化算法及其在数值计算中的应用
进化算法采用编码的形式来表示复杂结构，并将每个编码 称为一个个体（individual），算法维持一定数目的编码集合， 称为种群或群体（population）。通过对群体中个体进行相应 的操作，最终获得一些具有较高性能指标的个体。 进化算法的研究始于20世纪60年代，Holland针对机器学 习问题发展了遗传算法（Genetic Algorithm，GA），Fogel对 于优化模型系统提出了进化规划（Evolutionary Programming， EP），Rechenberg和Schwefel对于数值优化问题提出了进化 策略（Evolutionary Strategy，ES）。
式中， f X 称为目标函数，hi X, g j X 称为约束函数。 极大极小形式的转换：
max f X或minf X
max f X min f X; g j X 0 g j X 0
进化算法及其在数值计算中的应用
数学规划：在一些等式或不等式约束条件下，求一个目标函 数的极大（或极小）的优化模型称为数学规划。根据有、无 约束条件可以分为约束数学规划和无约束数学规划；根据目 标函数 f X 和约束函数 hi X, g j X 是否为线性函数，分为 线性规划和非线性规划；根据问题中是否只有一个目标函数， 分为单目标规划和多目标规划。 很多非常重要的问题是线性的（或者用线性函数能够很好地 近似表示），因此线性规划的研究具有重要意义。与非线性 规划相比，线性规划的研究更加成熟。非线性规划问题相当 复杂，求解方法多种多样，目前为止仍没有一种有效的适合 所有问题的方法。
进化算法及其在数值计算中的应用
遗传算法等进化算法提供了一种求解这种优化问题的通 用框架。遗传算法通过对群体所施加的迭代进化过程，不断 地将当前群体中具有较高适应度的个体遗传到下一代群体中 ，并且不断地淘汰掉适应度较低的个体，从而最终得到适应 度最大的个体。这个适应度最大的个体经过解码处理后对应 的个体表现型就是这个实际应用问题的最优解或近似最优解。 自然界中的生物对其生存环境具有优良的自适应性，各 种物种在一种竞争的环境中生存，优胜劣汰，使得物种不断 改进。几十年来，人们从不同的角度出发对生物系统及其行 为特及其在数值计算中的应用
对于很多实际问题进行数学建模后，都可以抽象为一个 数值函数的优化问题。由于问题的种类繁多，影响因素复杂 ，数学函数呈现出不同的数学特征（连续、离散，凸函数、 非凸函数，单峰值、多峰值，多种不同数学特征的组合）。 除了在函数是连续、可导、低阶的简单情况下可通过解析方 法求出最优解外，大部分情况下需要通过数值计算的方法来 进行近似优化计算。至今没有一种既能处理各种不同的复杂 函数，又具有良好求解结果的数值计算方法。
进化算法及其在数值计算中的应用
（6）评价群体 P t 的适应度； Pt Pt Pt 1 Re production （7）个体选择、复制操作： （8）终止条件判断：如果不满足终止条件，则 t t 1 ， 转到（4）继续进行进化操作过程；如果满足终止条件，则 输出当前最优个体，算法结束。 进化计算的三个主要分支虽然基于自然界中生物进化的 不同背景，但是具有很多相似之处，可以统一于上面的基本 框架之内。
进化算法及其在数值计算中的应用
（3）搜索算法：寻求一种搜索算法，在可行解集合的子集 内进行搜索操作，以找到问题的最优解或近似最优解。该方 法虽然保证不了一定能够得到问题的最优解，但如果适当地 利用一些启发知识，就可在近似解的质量和求解效率上达到 一种较好的平衡。 当问题的规模比较大，优化计算的搜索空间急剧扩大， 要严格地求出其最优解是不可能的，所以需要研究出一种能 够在可接受的时间和精度范围内求出数值函数近似最优解的 方法或通用算法。
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在数学规划中，把满足所有约束条件的点 S 称为可行点 （或可行解），所有可行点组成的点集称为可行域，记为
S X | hi X 0, i 1,, l; g j X 0, j 1,, m
于是数学规划即为求 X S ，并且使得 f X 在 S 上达到 f X 最大（或最小），把 X 称为最优点（最优解），称 为最优值。
进化算法及其在数值计算中的应用
进化计算（Evolutionary Computation，EC）受生物进 化论和遗传学等理论的启发，是一类模拟生物进化过程与机制 ，自组织、自适应的对问题进行求解的人工智能技术。进化计 算的具体实现方法与形式称为进化算法（Evolutionary Algorithm，EA）。 进化算法是一种具有“生成+检测”（generate-and-test） 迭 代过程的搜索算法，算法体现群体搜索和群体中个体之间信息 交换两大策略，为每个个体提供了优化的机会，使得整个群体 在优胜劣汰（survival of the fittest）的选择机制下保证进化的 趋势。
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编码：
在遗传算法的运行过程中，它不对所求解问题的实际决 策变量直接进行操作，而是对表示可行解的个体编码施加遗 传运算，通过遗传操作来达到优化的目的。在遗传算法中如 何描述问题的可行解，即把一个问题的可行解从其解空间转 换到遗传算法所能处理的搜索空间的转换方法就称为编码。 编码是应用遗传算法时首先要解决的问题，也是设计遗 传算法的一个关键步骤。编码方法在很大程度上决定了如何 进行群体的遗传进化运算，以及遗传进化运算的效率。目前 的编码方法可以分为三大类：二进制编码、浮点数编码和符 号编码。
进化算法及其在数值计算中的应用
最优化问题：在满足一定的约束条件下，寻找一组参数值， 使某些最优性度量得到满足，即使系统的某些性能指标达到 最大或最小。最优化问题的应用涉及工业技术、社会、经济、 管理等各个领域，具有重要意义。 最优化问题的一般形式为：
s.t. hi X 0, i 1,2,, l; g j X 0, j 1,2,, m
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由于进化算法具备上述特点，使得它能够用于解决复杂 系统的优化问题，特别是能够解决一些利用其他方法难以解 决或根本无法解决的问题。并且说明了进化算法是一类全局 优化自适应概率搜索技术，不依赖于具体问题的种类，具有 广泛的应用价值。
进化算法及其在数值计算中的应用
遗传算法是一种宏观意义下的仿生算法，它模仿的机制 是一切生命与智能的产生与进化过程。遗传算法通过模拟达 尔文“优胜劣汰、适者生存”的原理，激励好的结构；通过 模 拟孟德尔遗传变异理论，在迭代过程中保持已有的结构，同 时寻找更好的结构。 适应度：遗传算法中使用适应度这个概念来度量群体中 的每个个体在优化计算中可能达到或接近最优解的程度。适 应度较高的个体遗传到下一代的概率较大，而适应度较低的 个体遗传到下一代的概率相对较小。度量个体适应度的函数 称为适应度函数（Fitness Function）。
进化算法及其在数值计算中的应用
基于对生物进化机制的模仿，发展了三种典型的优化计 算模型，分别是遗传算法（Genetic Alogrithms，GA）、进 化策略（Evolution Strategy，ES）和进化规划 （Evolutionary Programming，EP）。这些方法各自有不同 的侧重点，各自有不同的生物进化背景，各自强调了生物进 化过程中的不同特性，但是都是一种稳定性较好的计算机算 法，适用范围广。近年来这几种方法相互借鉴和交流，使得 区别逐渐缩小，统称为进化计算（Evolutionary Computation，EC）或进化算法（Evolutionary Alogrithms，EA）。
进化算法及其在数值计算中的应用
总的来说，求最优解或近似最优解的方法主要有三类： 枚举法、启发式算法和搜索算法。 （1）枚举法：枚举出可行解集合内的所有可行解，以求出 精确最优解。但是对于连续函数，需要先进行离散化处理， 这样就有可能产生离散误差而永远达不到最优解。另外，当 枚举空间比较大时，该方法效率低下，甚至在目前最先进的 计算工具上都无法求解。 （2）启发式算法：寻求一种能产生可行解的启发式规则， 以找到一个最优解或近似最优解。虽然效率较高，但是对于 每一个需要求解的问题都必须找出其特有的启发式规则，因 此无通用性，不适合于其他的问题求解。
进化算法及其在数值计算中的应用
进化计算的基本框架
进化计算提供了一种求解复杂系统优化问题的通用框 架，性能比较稳定，下面给出进化计算的统一算法描述。 算法Evolutionary Algorithms （1）进化代数计数器初始化：t 0 ； （2）随机产生初始群体 Pt ； （3）评价群体 Pt 的适应度； nPt ； （4）个体重组操作：Pt Re combinatio （5）个体变异操作：Pt Mutation Pt ；
进化算法及其在数值计算中的应用
（5）算法所模拟的生物进化过程都是一个反复迭代的过程。 在群体的迭代进化过程中，个体的适应度和群体中所有个体 的平均适应度都不断地得到改进，最终可得到一个或几个具 有较高适应度的个体，它们就对应于问题的最优解或近似最 优解； （6）算法所模拟的进化过程均受随机因素的影响，所以不 易陷入局部最优点，并都能以较大的概率找到全局最优点； （7）算法具有一种天然的并行结构，均适合于在并行机或 局域网环境中进行大规模复杂问题的的求解。