中考专题―格点作图
一．选择题（共3小题）
1．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，点B，点C 均落在格点上．
（Ⅰ）计算AC2+BC2的值等于；
（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以AB为一边的矩形，使该矩形的面积等于AC2+BC2，并简要说明画图方法（不要求证明）．
2．在每个小正方形的边长为1的网格中．点A，B，C，D均在格点上，点E、F 分别为线段BC、DB上的动点，且BE=DF．
（Ⅰ）如图①，当BE=时，计算AE+AF的值等于
（Ⅱ）当AE+AF取得最小值时，请在如图②所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段AE，AF，并简要说明点E和点F的位置如何找到的（不要求证明）．
3．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，E为格点，B，F为小正方形边的中点，C为AE，BF的延长线的交点．
（Ⅰ）AE 的长等于 ；
（Ⅱ）若点P 在线段AC 上，点Q 在线段BC 上，且满足AP=PQ=QB ，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段PQ ，并简要说明点P ，Q 的位置是如何找到的（不要求证明） ．
二．填空题（共1小题）
4．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A ，B ，C 均在格点上．
（1）AB 的长等于 ；
（2）在△ABC 的内部有一点P ，满足S △PAB ：S △PBC ：S △PCA =1：2：3，请在如图所示的网格中，用无刻度．．．
的直尺，画出点P ，并简要说明点P 的位置是如何找到的（不要求证明） ．
中考专题―格点作图
参考答案与试题解析
一．选择题（共3小题）
1．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，点B，点C 均落在格点上．
（Ⅰ）计算AC2+BC2的值等于11；
（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以AB为一边的矩形，使该矩形的面积等于AC2+BC2，并简要说明画图方法（不要求证明）如图所示：．
【解答】解：（Ⅰ）AC2+BC2=（）2+32=11；
故答案为：11；
（2）方法一：
分别以AC、BC、AB为一边作正方形ACED，正方形BCNM，正方形ABHF；
延长DE交MN于点Q，连接QC，平移QC至AG，BP位置，直线GP分别交AF，BH于点T，S，
则四边形ABST即为所求．
方法二：
如图1，所求矩形的面积等于两个粉色正方形的面积和
小正方形面积为2，大正方形面积为9，
如图2，第一次变化，图中绿色三角形的面积等于粉色小正方形的面积，
如图3，第二次变化，图中蓝色平行四边形的面积等于粉色小正方形的面积，
如图4，第三次，将粉色大正方形变形为平行四边形，
经过几次变形以后，如图5，两块阴影所示的面积和，还是等于11，
，
如图6，然后进行一次割补，上面黑色阴影与△ABC全等，把黑色割补到△ABC，则平行四边形ABEF的面积也是11，
下面再进行最后一次等积变形，过A，B两点分别做AB的垂，然后延长EF，与这两条垂线分别相交于M，N
如图7，矩形ABMN与平行四边形ABEF面积相等，都是11．
2．在每个小正方形的边长为1的网格中．点A，B，C，D均在格点上，点E、F 分别为线段BC、DB上的动点，且BE=DF．
（Ⅰ）如图①，当BE=时，计算AE+AF的值等于
（Ⅱ）当AE+AF取得最小值时，请在如图②所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段AE，AF，并简要说明点E和点F的位置如何找到的（不要求证明）取格点H，K，连接BH，CK，相交于点P，连接AP，与BC相交，得点E，取格点M，N连接DM，CN，相交于点G，连接AG，与BD相交，得点F，线段AE，AF 即为所求．．
【解答】解：（1）根据勾股定理可得：DB=，
因为BE=DF=，
所以可得AF==2.5，
根据勾股定理可得：AE=，所以AE+AF=，
故答案为：；
（2）如图，
首先确定E点，要使AE+AF最小，根据三角形两边之和大于第三边可知，需要将AF移到AE的延长线上，因此可以构造全等三角形，首先选择格点H使∠HBC=
∠ADB，其次需要构造长度BP使BP=AD=4，根据勾股定理可知BH==5，结合相似三角形选出格点K，根据，得BP=BH==4=DA，易证△ADF≌△PBE，因此可得到PE=AF，线段AP即为所求的AE+AF的最小值；同理可确定F点，因为AB⊥BC，因此首先确定格点M使DM⊥DB，其次确定格点G使DG=AB=3，此时需要先确定格点N，同样根据相似三角形性质得到，得DG=DM=×5=3，易证△DFG≌△BEA，因此可得到AE=GF，故线段AG即为所求的AE+AF的最小值．
故答案为：取格点H，K，连接BH，CK，相交于点P，连接AP，与BC相交，得点E，取格点M，N连接DM，CN，相交于点G，连接AG，与BD相交，得点F，线段AE，AF即为所求．
3．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，E为格点，B，F为小正方形边的中点，C为AE，BF的延长线的交点．
（Ⅰ）AE的长等于；
（Ⅱ）若点P在线段AC上，点Q在线段BC上，且满足AP=PQ=QB，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段PQ，并简要说明点P，Q的位置是
如何找到的（不要求证明）AC与网格线相交，得到P，取格点M，连接AM，并延长与BC交于Q，连接PQ，则线段PQ即为所求．
【解答】解：（Ⅰ）AE==；
故答案为：；
（Ⅱ）如图，AC与网格线相交，得到P，取格点M，连接AM，并延长与BC交于Q，连接PQ，则线段PQ即为所求．
故答案为：AC与网格线相交，得到P，取格点M，连接AM，并延长与BC交于Q，连接PQ，则线段PQ即为所求．
证明：以A为原点建立平面直角坐标系，
则A（0，0），B（6，1.5），E（1，2），F（5，），
∴直线AE的解析式y AE=2x，直线BF的解析式为y BF=﹣2x+，
设p（m，2m），Q（n，﹣2n+）（0＜m＜n＜6），
∴AP2=m+2（2m）2=5m2，PQ2=（m﹣n）2+（2m+2n﹣）2
BQ2=（n﹣602+（﹣2n+12）2=5（n﹣6）2，
∵AP=PQ=BQ，
∴5m2=5（n﹣6）2=5n2﹣54m﹣54n，由5m2=5（n﹣6）2得m=6﹣n，m=n﹣6（舍去），把m=6﹣n代入得n=4.5，n=（舍去），
∴P（1.5，3），Q（4.5，4.5）．
二．填空题（共1小题）
4．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A ，B ，C 均在格点上．
（1）AB 的长等于 ；
（2）在△ABC 的内部有一点P ，满足S △PAB ：S △PBC ：S △PCA =1：2：3，请在如图所示的网格中，用无刻度．．．
的直尺，画出点P ，并简要说明点P 的位置是如何找到的（不要求证明） 如图AC 与网格相交，得到点D 、E ，取格点F ，连接FB 并且延长，与网格相交，得到M ，N ．连接DN ，EM ，DN 与EM 相交于点P ，点P 即为所求． ．
【解答】解：（1）AB=
=． 故答案为
．
（2）如图AC 与网格相交，得到点D 、E ，取格点F ，连接FB 并且延长，与网格相交，得到M ，N ，G ．连接DN ，EM ，DG ，DN 与EM 相交于点P ，点P 即为所求．
理由：平行四边形ABME 的面积：平行四边形CDNB 的面积：平行四边形DEMG 的面积=1：2：3，
△PAB 的面积=平行四边形ABME 的面积，△PBC 的面积=平行四边形CDNB 的面积，△PAC 的面积=△PNG 的面积=△DGN 的面积=平行四边形DEMG 的面积，
∴S △PAB ：S △PBC ：S △PCA =1：2：3．。