极坐标方程
【学习目标】
创作时间： 2019.1
1．能在极坐标系中用极坐标表示点的位置．
2．理解在极坐标系中和直角坐标系中表示点的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．
3．能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程． 【要点梳理】
要点一、极坐标系和点的极坐标
1. 极坐标系定义
|OM|，因此 ≥0；但必要时，允许 ＜0．
（2）在极坐标系中，与给定的极坐标（ ， ）相对应的点的位置是唯一确定的；反过来，同一个点的极坐标却可以有无穷多
个．如一点的极坐标是（ ， ）（ ≠0），那么这一点也可以表示为（ ， 2n ）或（ ， (2n 1) ）（其中 n 为
整数）．
一般情况下，我们取极径 ≥0，极角 为 0≤ ＜2 （或－π＜0≤π）．
如果我们规定 ＞0，0≤ ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标（ ， ）来表示，这时，极坐标与平面内
的点之间就是一一对应的关系． 3．相关点的极坐标
（1）同一个点：如极坐标系中点

要点诠释：
由 2 x2 y2 求 时， 不取负值；由 tan y (x 0) 确定 时，根据点（x，y）所在的象限取正角．当 x≠0 时， x
角才能由 tan y 按上述方法确定．当 x=0 时，tan 没有意义，这时又分三种情况：（1）当 x=0，y=0 时， 可取任何值； x
如图，符合上述三条件的点 P 的极坐标为 (, ) ，直角坐标为 (x, y) ，
则①极坐标化直角坐标： x cos , y sin
②直角坐标化极坐标： 2 x2 y2 , tan y (x 0) x
这就是在两个坐标系下，同一个点的两种坐标间的互化关系.
（2）当 x=0，y＞0 时，可取 ；（3）当 x=0，y＜0 时，可取 3 ．
2
2
要点三、曲线的极坐标方程
1．曲线的极坐标方程的概念
（1）一般地，在极坐标系中，如果平面曲线 C 上任意一点的
极坐标中至少有一个满足方程 f (, ) 0 ，并且坐标适合方程 f (, ) 0 的点都在曲线 C 上，那么方程 f (, ) 0 称为曲
（2）圆心在极点的圆 如果已知⊙O 的半径为 r，我们可以以圆心为极点，以从圆心 O 发出的一条射线为极轴建立极坐标系，那么圆上各点的特征是它
们的极径都等于圆的半径 r，这时圆的极坐标方程为 r （ ∈R）．
4．直线的极坐标方程 （1）过极点的直线的极坐标方程．
如图所示，直线 AA＇过极点且与极轴成的角为 ，即直线 AA＇的极坐标方程为 （ ≥0）和 （ ≥0）．
即 x2+y2=2ax．
由坐标变换公式得 2 2a cos ， 即 2a cos ．
这样就得到前面推导出的极坐标方程．
所以，方程 2a cos 就是圆上任意一点极坐标 (, ) 所满足的条件，另一方面，我们也可以验证，坐标适合方程
2a cos 的点都在这个圆上．
极轴的直线的对称点为（ ， ）．
（4）共线的点：如果极坐标为（ ， ），其中 为常数， ＞0，则表示与极轴成 角的射线．
4．极坐标系内两点间的距离公式
设极坐标系内两点 P1(1,1) ， P2 (2 ,2 ) ，则 | P1P2 |
12


2 2

212
cos(1
表示以射线 Ox 为始边，射线 OM 为终边所成的角． 【解析】 由图可知：
A（5，0），
B

2,
6

，
C

4,
2
，
D

5,
3 4

，E（2，π），
F

5,
4 3

，G

3.5,
5 3

．
【总结升华】 本题考查了极坐标的定义，已知点在极坐标系中的位置，要准确写出它的极坐标，对应的极角可以限定一个范围， 如[0，2π）．当 ρ＞0 时，每一点都对应唯一确定的一个极坐标．
2,

2 3


．
【变式 3】．在极坐标系中，点(ρ,θ)与(-ρ, π-θ)的位置关系为(
)。
A．关于极轴所在直线对称
B．关于极点对称

C．关于直线 θ= (ρ∈R) 对称
2
D．重合

【答案】A 与点 M(ρ,θ)关于极轴对称的点有(ρ,-θ)或(-ρ,π-θ)，关于 θ= 所在直线对称的点有(-ρ,-θ)或(ρ,π-θ)，
2,
3

，直线
l
为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点
A
关于极轴、直线
l
、
极点的对称点的极坐标（限定 0 ， ）．
【答案】 如图所示．
关于极轴的对称点为
B

2,

3

．
关于直线
z
的对称点为
C

2,
2 3


．
关于极点
D
的对称点为
D

（1）求平面曲线的极坐标方程，就是要找极径 和极角 之间的关系，常用解三角形（正弦定理、余弦定理）的知识，利用
三角形的面积相等来建立 、 之间的关系．
（2）今后我们遇到的极坐标方程多是 ( ) 的形式，即 是 的一个函数．
（3）由极坐标系中点的对称性可得到极坐标方程 ( ) 的图形的对称性：若 ( ) ( ) ，则相应图形关于极轴对称；

4,
6

、

4,
3

、

4,
2

，但它们的极角不相等，也不再是终边相
同的角，所有这些点在以极点为圆心，以 4 为半径的圆上，因而（ ， ）{这里 为定值， [0, 2 ) }点的轨迹就是以极点为 圆心，以 为半径的圆．
（3）对称点：（ ， ）关于极轴的对称点为（ ， 2 ），关于极点的对称点为（ ， ），关于过极点且垂直于
转到
OP 的
角度 来确定，（ ， ）叫做点 P 的极坐标， 叫做点 P 的极径， 叫做点 P 的极
角．
极点的极坐标为（0， ），其中 可以取任何值．
要点诠释：
（1）极轴是以极点为端点的一条射线，它与极轴所在的直线是有区别的；极角 的始边是极轴，它的终边随着 的大小和正负
而取得各个位置； 的正方向通常取逆时针方向， 的值一般是以弧度为单位的数量；点 M 的极径 表示点 M 与极点 O 的距离
为圆MP 中，由三角知识可
得
2a cos ．
坐标 (, ) 满足此方程的点也在该圆上．因此，得该圆的方程为 2a cos ．
也可以先写出该圆的直角坐标方程，再化为极坐标方程． 如图所示，建立直角坐标系，在直角坐标系中，该圆的圆心为（a，0），半径为 a，故圆 的直角坐标方程为 (x－a)2+y2=a2，
2
关于极点对称的点有(-ρ,θ)或(ρ,π+θ)。
类型二、极坐标与直角坐标互化
例 2．（1）将下列点的极坐标化成直角坐标： (2, ) ； (4, ) 。 3
（2）将下列各点的直角坐标化为极径为正，极角在[0, 2 ) 之间的极坐标： (3, 3) ； (2, 2 3) 。
【思路点拨】依据直角坐标与极坐标的互化公式运算。

4,
6

．于是我们有，一般地，极坐标（

，
）与（

，

2k
）（k∈Z）表示平面内的
同一个点．特别地，极点 O 的坐标为（0， ）（ ∈R），也是平面内的同一个点，这样，我们就知道平面内的一个点的极坐标有无
数多种表示．
这就是说：平面上的点与这一点的极坐标不是一一对应的．
（2）位于同一个圆上的点：如极坐标分别为（4，0）、
若 ( ) ( ) ，则图形关于射线 所在的直线对称；若 ( ) ( ) ，则图形关于极点 O 对称． 2
3．圆的极坐标方程
（1）圆心在极轴上且过极点的圆
圆心在极轴上的点（a，0）处，且圆过极点 O（如图所示）．P 为圆与极轴的另一交点，
M (, )
角形
AOM
中，我们有 |
OM
|

cos

2


|
OA
|
．
∴
cos

2



a
，即
sin

a
，化为直角坐标方程为
y=a．
【典型例题】 类型一、极坐标系中的点的表示
例 1． 写出右图中各点的极坐标（ρ＞0，0≤θ＜2π）． 【思路点拨】 根据极坐标定义：若 M 是平面上任一点，ρ 表示 OM 的长度，θ
（1）在平面内取一定点 O，由点 O 引出一条射线 Ox，并确定一个长度单位和度量角度的正方向（通常取逆时针方向），这就构
成一个极坐标系，定点 O 叫做极点，射线 Ox 叫做极轴．
要点诠释：
①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可.
2.
点的极坐标 在极坐标系中，平面上任意一点 P 的位置可以由 OP 的长度 和从 Ox 轴旋
适合方程．例如给定曲线

，设点
P
的一极坐标为 4
, 4
，那么点
P
适合方程


，从而是曲线上的一个点，但点