一、极坐标系
1．极坐标系与点的极坐标
(1)极坐标系：如图4－4－1所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
(2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角． 2
题型一 极坐标与直角坐标的互化
1、已知点P 的极坐标为，则点P 的直角坐标为 （ ）
A.（1，1）
B.（1，-1）
C.（-1，1）
D.（-1，-1）
2、设点的直角坐标为，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点的极坐标为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．
4．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( )
A ．ρ＝cos θ
B ．ρ＝sin θ
C ．ρcos θ＝1
D ．ρsin θ＝1
5．曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．
6. 在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ与直线θ＝π
4
(ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标．
题型二 极坐标方程的应用
由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解．
1.在极坐标系中，已知圆C 经过点P(2，π4)，圆心为直线ρsin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的直角坐标方程．
2.圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3，则
|CP|＝________.
3.在极坐标系中，已知直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫θ＋π4＝1，圆C 的圆心的极坐标
是C ⎝ ⎛⎭⎪⎫
1，π4，圆的半径为1.
(i)则圆C 的极坐标方程是________； (ii)直线l 被圆C 所截得的弦长等于________．
4.在极坐标系中，已知圆C ：ρ＝4cos θ被直线l ：ρsin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫θ－π6＝a 截得的弦长为23，则实数a 的值是________．
二、参数方程
1．参数方程和普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．
(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，
求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么，⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝f
t ，y ＝g t
就是曲线的参数方程．
点的轨迹 普通方程 参数方程
直线 y －y 0＝tan α(x －x 0)
⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝x 0＋t cos α
y ＝y 0＋t sin α (t 为参数)
圆 x 2＋y 2＝r 2 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝r cos θy ＝r sin θ(θ为参数) 椭圆
x 2a 2＋y 2
b 2
＝1(a >b >0) ⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝a cos φy ＝b sin φ(φ为参数)
题型一 参数方程与普通方程的互化 【例1】把下列参数方程化为普通方程： (1)⎩⎨
⎧
x ＝3＋cos θ，y ＝2－sin θ；
(2)⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝1＋1
2t ，y ＝5＋3
2t .
题型二 直线与圆的参数方程的应用
1、已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝1＋t ，y ＝4－2t
(参数t ∈R )，圆C 的参数方程为
⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2cos θ＋2，y ＝2sin θ(参数θ∈[0,2π])，求直线l 被圆C 所截得的弦长．
2、曲线C 的极坐标方程为：ρ=acos θ（a ＞0），直线l 的参数方程为： （1）求曲线C 与直线l 的普通方程；（2）若直线l 与曲线C 相切，求a 值．
3、在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为，（α为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．
（Ⅰ）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；
（Ⅱ）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离最小值．
综合应用
1、曲线与坐标轴的交点是（）
A B C D
3、参数方程（为参数）化为普通方程为（）
A． B．
C． D．
3．判断下列结论的正误．
(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系( )
(2)若点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的一个极坐标是（2，－π
3）( ) (3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的( ) (4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线( )
4.参数方程为1()2
x t t t y ⎧=+⎪
⎨⎪=⎩为参数表示的曲线是（ ）
A ．一条直线
B ．两条直线
C ．一条射线
D ．两条射线
5．与参数方程为()21x t
t y t
⎧=⎪⎨
=-⎪⎩为参数等价的普通方程为（ ） A ．214y +=2
x B ．21(01)4
y x +=≤≤2x C ．21(02)4y y +=≤≤2
x D ．21(01,02)4
y x y +=≤≤≤≤2
x 15.参数方程()为参数θθ
θ⎩⎨⎧+==cot tan 2
y x 所表示的曲线是 （ ）
A ．直线
B ．两条射线
C ．线段
D ．圆
16.下列参数方程（t 是参数）与普通方程y x 2
=表示同一曲线的方程是： ( )
A ．x t y t ==⎧⎨⎩2
B ．x t y t ==⎧⎨⎩sin sin 2
C ．x t y t ==⎧⎨⎪⎩⎪
D ．⎪⎩⎪
⎨⎧=+-=t y t t x tan 2cos 12cos 1
3.由参数方程()⎪⎭⎫
⎝⎛<<-⎩⎨⎧=-=202tan 21sec 22ππθθ
θ为参数，
y x 给出曲线在直角坐标系下的方程是。

4.若直线l 的参数方程是x t y t
=+=-+⎧
⎨⎪⎪⎩
⎪⎪345
235（t 是参数），则过点（4，－1）且与l 平行
的直线在y 轴上的截距是 。

5.方程x t y t =+︒
=-+︒⎧⎨
⎩
550350sin cos （t 是参数）表示的是过点 ，倾斜角为 直线。

8.在极坐标系有点M(3,3
π
)，若规定极径＜0, 极角[0,2]，则M 的极坐标为 ；
若规定极径＜0，极角(-,)，则M 的极坐标为 .
9.∆OP P 12的一个顶点在极点O ，其它两个顶点分别为⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-12443521ππ，，，P P ，则∆OP P 12
的面积为。

6．(2013·北京高考)在极坐标系中，点⎝
⎛
⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin θ＝2的距离等于
________．
7、平面直角坐标系中,将曲线为参数)上的每一点横坐标不变,纵坐标变为原来的倍得到曲线,以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴,建立的极坐标系中,曲线的方程为 (Ⅰ)求和的普通方程:(Ⅱ)求和公共弦的垂直平分线的极坐标方程.
8、已知曲线的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是 （t 为参数）.
（1）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程； （2）若直线与曲线交于两点，求的值.
7、已知圆C ：⎩⎨
⎧
x ＝1＋cos θ，
y ＝sin θ
(θ为参数)和直线l ：⎩⎨
⎧
x ＝2＋t cos α，
y ＝3＋t sin α
(其中t 为参数，α为直线l 的倾斜角)．
(1)当α＝2π
3
时，求圆上的点到直线l 距离的最小值；
(2)当直线l 与圆C 有公共点时，求α的取值范围．
28．参数方程cos (sin cos )
()sin (sin cos )
x y θθθθθθθ=+⎧⎨=+⎩为参数表示什么曲线？
21．点P 在椭圆
22
1169
x y +=上，求点P 到直线3424x y -=的最大距离和最小距离。

22．已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6
π
α=，
（1）写出直线l 的参数方程。

（2）设l 与圆42
2
=+y x 相交与两点,A B ，求点P 到,A B 两点的距离之积。