极坐标与参数方程一、教学目标本次课是一堂新课,通过本次课的学习,让学生理解极坐标和参数方程的概念等基础知识,掌握极坐标与直角坐标的相互转化,掌握一般常见曲线和直线的极坐标方程和参数方程。
深刻理解参数方程所代表的数学思想——换元思想。
二、考纲解读极坐标和参数方程是新课标考纲里的选考内容之一,只有理科生选学。
在每年的高考试卷中,极坐标和参数方程都是放在一道填空题中,与平面几何作为二选一的考题出现的。
由于极坐标是新添的内容,考纲要求比较简单,所以在考试中一般以基础题出现,不会有很难的题目。
三、知识点回顾(一)曲线的参数方程的定义:在取定的坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数,即⎩⎨⎧==)()(t f y t f x 并且对于t 每一个允许值,由方程组所确定的点M (x ,y )都在这条曲线上,那么方程组就叫做这条曲线的参数方程,联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数,简称参数. (二)常见曲线的参数方程如下:1.过定点(x 0,y 0),倾角为α的直线:ααsin cos 00t y y t x x +=+= (t 为参数)其中参数t 是以定点P (x 0,y 0)为起点,对应于t 点M (x ,y )为终点的有向线段PM 的数量,又称为点P 与点M 间的有向距离.根据t 的几何意义,有以下结论.○1.设A 、B 是直线上任意两点,它们对应的参数分别为t A 和t B ,则AB =A B t t -=B A A B t t t t ⋅--4)(2.○2.线段AB 的中点所对应的参数值等于2BA t t +. 2.中心在(x 0,y 0),半径等于r 的圆:θθsin cos 00r y y r x x +=+= (θ为参数)3.中心在原点,焦点在x 轴(或y 轴)上的椭圆:θθsin cos b y a x == (θ为参数) (或 θθsin cos a y b x ==)中心在点(x0,y0)焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程为参数)ααα(.sin ,cos 00⎩⎨⎧+=+=b y y a x x 4.中心在原点,焦点在x 轴(或y 轴)上的双曲线:θθtg sec b y a x == (θ为参数)(或 θθec a y b x s tg ==)5.顶点在原点,焦点在x 轴正半轴上的抛物线:pty pt x 222== (t 为参数,p >0)直线的参数方程和参数的几何意义过定点P (x 0,y 0),倾斜角为α的直线的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x (t 为参数). (三)极坐标系1、定义:在平面内取一个定点O ,叫做极点,引一条射线Ox ,叫做极轴,再选一个长度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向)。
对于平面内的任意一点M ,用ρ表示线段OM 的长度,θ表示从Ox 到OM 的角,ρ叫做点M 的极径,θ叫做点M 的极角,有序数对(ρ, θ)就叫做点M 的极坐标。
这样建立的坐标系叫做极坐标系。
2、极坐标有四个要素:①极点;②极轴;③长度单位;④角度单位及它的方向.极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点,在极坐标系下,一对有序实数ρ、θ对图1应惟一点P (ρ,θ),但平面内任一个点P 的极坐标不惟一.一个点可以有无数个坐标,这些坐标又有规律可循的,P (ρ,θ)(极点除外)的全部坐标为(ρ,θ+πk 2)或(ρ-,θ+π)12(+k ),(∈k Z ).极点的极径为0,而极角任意取.若对ρ、θ的取值范围加以限制.则除极点外,平面上点的极坐标就惟一了,如限定ρ>0,0≤θ<π2或ρ<0,π-<θ≤π等.极坐标与直角坐标的不同是,直角坐标系中,点与坐标是一一对应的,而极坐标系中,点与坐标是一多对应的.即一个点的极坐标是不惟一的.3、直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为: ⑴0ϕθ= ⑵θρcos a = ⑶θρcos a-= ⑷θρsin a =⑸θρsin a-= ⑹)cos(ϕθρ-=a4、圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为)0(>a :ϕθ=θρcos a =θρcos a -=θρsin a=图4θρsin a -=图5)cos(ϕθρ-=a⑴a =ρ ⑵θρcos 2a = ⑶θρcos 2a -= ⑷θρsin 2a = ⑸ θρsin 2a -= ⑹)cos(2ϕθρ-=a5、极坐标与直角坐标互化公式:四、例题讲解1、已知一条直线上两点()111,y x M 、()222,y x M ,以分点M (x ,y )分21M M 所成的比x⎩(直极互化 图)θρcos 2a =图2θρsin 2a =图4θρsin 2a -=图5θρcos 2a -=a=ρ图1)cos(2ϕθρ-=a 图6λ为参数,写出参数方程。
2、直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 211233(t 为参数)的倾斜角是3、方程⎩⎨⎧+=+-=ααsin 3cos 1t y t x (t 为非零常数,α为参数)表示的曲线是( )4、已知椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin 4cos 5y x (θ为参数),则椭圆上一点 P (25,32-)的离心角可以是 A .3π B .32π C .34π D .35π5、把弹道曲线的参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-⋅=⋅=,21sin ,cos 200gt t v y t v x αα )2()1(化成普通方程. 6、将下列数方程化成普通方程.①⎩⎨⎧==t y t x 222,②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=221212t t y t x ,③⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=2221211t t y t t x ,④⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=)1()1(t t b y t t a x ,⑤⎩⎨⎧+=+-=11mx y my x . ○6)0,(.sin ,cos >>⎩⎨⎧==b a b y a x 为参数ααα ○7⎩⎨⎧==θθsin cos 2y x7、直线3x -2y +6=0,令y = tx +6(t 为参数).求直线的参数方程.8、已知圆锥曲线方程是⎩⎨⎧-+-=++=5sin 461cos 532ϕϕt y t x (1) 若t 为参数,ϕ为常数,求该曲线的普通方程,并求出焦点到准线的距离; (2) 若ϕ为参数,t 为常数,求这圆锥曲线的普通方程并求它的离心率。
9、在圆x 2+2x +y 2=0上求一点,使它到直线2x +3y -5=0的距离最大.10、在椭圆4x 2+9y 2=36上求一点P ,使它到直线x +2y +18=0的距离最短(或最长).11、已知直线;l :⎩⎨⎧+=--=t y t x 4231与双曲线(y-2)2-x 2=1相交于A 、B 两点,P 点坐标P(-1,2)。
求:(1)|PA|.|PB|的值; (2)弦长|AB|; 弦AB 中点M 与点P 的距离。
12、已知A (2,0),点B,C 在圆x 2+y 2=4上移动,且有π32=∠BAC 求ABC ∆重心G 的轨迹方程。
13、已知椭圆183222=+y x 和圆x 2+(y-6)2=5,在椭圆上求一点P 1,在圆上求一点 P 2,使|P 1P 2|达到最大值,并求出此最大值。
14、已知直线l 过定点P(-2,0),与抛物线C: x 2+ y-8=0相交于A 、B 两点。
(1)若P 为线段AB 的中点,求直线l 的方程;(2)若l 绕P 点转动,求AB 的中点M 的方程.15、椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上是否存在点P ,使得由P 点向圆x 2+y 2=b 2所引的两条切线互相垂直?若存在,求出P 点的坐标;若不存在,说明理由。
16、在同一极坐标系中与极坐标M (-2, 40°)表示同一点的极坐标是( )(A )(-2, 220°) (B )(-2, 140°) (C )(2,-140°) (D )(2,-40°)17、已知△ABC 的三个顶点的极坐标分别为A (4,0°), B (-4,-120°), C (23+2,30°),则△ABC 为( )。
(A )正三角形 (B )等腰直角三角形 (C )直角非等腰三角形 (D )等腰非直角三角形18、在直角坐标系中,已知点M (-2,1),以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,当极角在(-π,π] 内时,M 点的极坐标为( )(A )(5,π-argtg(-21)) (B )(-5,argtg(-21) (C )(-5,π-argtg 21) (D )(5,-π+argtg 21)19、把点)4,3(),6,5(ππ--B A 的极坐标化为直角坐标。
20、把点)0,2(),3,0(),1,3(P N M ---的直角坐标化为极坐标。
21、已知正三角形ABC 中,顶点A 、B 的极坐标分别为)2,3(),0,1(πB A ,试求顶点C 的极坐标。
22、化圆的直角方程x 2+y 2-2ax=0为极坐标方程。
23、化圆锥曲线的极坐标方程θρcos e i ep-=为直角坐标方程。
24、讨论下列问题:(1)在极坐标系里,过点M (4,30°)而平行于极轴的直线 的方程是( ) (A )θρsin =2 (B )θρsin =-2 (C )2cos =θρ (D )2cos -=θρ(2)在极坐标系中,已知两点M 1(4,arcsin31),M 2(-6,-π-arccos(-322)),则线段M 1M 2的中点极坐标为( ) (A )(-1,arccos 322) (B )(1, arcsin 31)(C )(-1,arccos(-322)) (D )(1,-arcsin 31) (3)已知P 点的极坐标是(1,π),则过点P 且垂直于极轴的直线的极坐标方程是( )。
(A )ρ=1 (B )ρ=cos θ (C )ρcos θ=-1 (D )ρcos θ=1 (4)若ρ>0,则下列极坐标方程中,表示直线的是( )。
(A )θ=3π(B )cos θ=23 (0≤θ≤π) (C )tg θ=1 (D )sin θ=1(0≤θ≤π)(5) 若点A (-4, 67π)与B 关于直线θ=3π对称,在ρ>0, -π≤θ<π条件下,B 的极坐标是 。
(6)直线ρcos(θ-4π)=1与极轴所成的角是 。
(7)直线ρcos(θ-α)=1与直线ρsin(θ-α)=1的位置关系是 。
(8)直线y =kx +1 (k <0且k ≠-21)与曲线ρ2sin θ-ρsin2θ=0的公共点的个数是( )。