x , x , , x , y y f x , x D为 函 数
在D上 ） 的 图 形 （ 或 图 像 。 y f x（ ）
1 2 n
3.多元函数的极限
定 义 设 函 数 z f ( x, y) 的 定 义 域 为 D , P0 ( x 0 , y 0 ) 是其内点或边界点， 如果对于任意 ，使得对于适合不 给定的正数 ，总存在正数 2 2 等式 0 | PP0 | ( x x 0 ) ( y y 0 ) 的一 切点，都有| f ( x , y ) A | 成立，则称 A 为函 数 z f ( x , y ) 当 x x 0 ， y y 0 时的极限， lim f ( x , y ) A 记为 x x （或 f ( x , y ) A ( 0) 这里 | PP0 | ）.
多元函数 连续的概念
偏导数在 经济上的应用
全微分 概念
全微分 的应用 高阶偏导数
复合函数 求导法则
全微分形式 的不变性
偏导数 概念
多元函数的极值
隐函数 求导法则
1.区域
（1）邻域
设 P0 ( x 0 , y 0 ) 是 xoy 平面上的一个点， 是某 一正数，与点P0 ( x 0 , y 0 ) 距离小于 的点P ( x , y ) 邻域，记为U ( P0 , ) ， 的全体，称为点P0 的
7.偏导数概念
定义 设函数 z f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某一邻 x 在x0 处有增量 域内有定义，当y 固定在y0 而 x 时，相应地函数有增量 f ( x 0 x , y0 ) f ( x 0 , y0 ) ，
f ( x 0 x , y0 ) f ( x 0 , y0 ) 如果 lim 存在，则称 x 0 x x 的 此极限为函数 z f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 处对
设函数 z f x , y 在 x , y 处 偏 导 数 存 在,函 数 对 x的 相 对 改 变 量
x z f x x , y f x , y z f x, y
x 与自变量 x的 相 对 改 变 量 之 比 x
xz z x x
称为函数 f x, y 对x从x到x x两点间的弹性 .
dz z du z dv ． dt u dt v dt
dz 以上公式中的导数 称为全导数. dt
( x, y) 如果u ( x , y ) 及v ( x , y ) 都在点
具有对x 和y 的偏导数，且函数 z f ( u, v ) 在对应 点( u, v ) 具有连续偏导数，则复合函数
U ( P0 , ) P | PP0 |
( x , y ) | ( x x0 )2 ( y y0 )2 .


P0
（2）区域
连通的开集称为区域或开区域．
（3）n维空间
设 n 为取定的一个自然数，我们称 n 元数 n 组 ( x1 , x 2 , , x n ) 的全体为n 维空间，而每个 元数组 ( x 1 , x 2 , , x n ) 称为n 维空间中的一个 点，数 x i 称为该点的第 i 个坐标.
dy Fx . dx Fy
隐函数的求导公式
( 2) F ( x , y , z ) 0
yz
10.全微分概念
如果函数z f ( x , y ) 在点( x , y ) 的全增量 z f ( x x , y y ) f ( x , y ) 可以表示为 z Ax By o( ) ，其中 A,B 不依赖于 x , y 而仅与 x , y 有关， ( x )2 ( y )2 ， 则称函数z f ( x , y ) 在点( x , y ) 可微分， Ax By 称为函数z f ( x , y ) 在点 ( x, y) 的 全微分，记为dz ，即 dz = Ax By .
当x 0时,
的极限称为 f x , y 在 x , y 处对x的弹性 , 记作
xz z x x
xz Ez z x z x lim . x E x x 0 x z x
Ez x或 , 即 Ex
类似地可定义 f x, y 在 x, y 处对y的弹性
偏导数，记为
z f ， ，z x x0 x x0 x x x y y y y
0 0
x x0 或 y y0
f x ( x 0 , y0 ) .
y 同理可定义函数z f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 处对 的偏导数， 为
f ( x 0 , y0 y ) f ( x 0 , y0 ) lim y 0 y z f 记为 ， ， z y x x0 或 f y ( x 0 , y 0 ) . y y0 y x x 0 y x x 0
y 的偏导 同理可以定义函数z f ( x , y ) 对自变量
z f z y 或 f y ( x, y) . 数，记作 ， ， y y
８.高阶偏导数
函数 z f ( x , y ) 的二阶偏导数为
z 2 z z 2 z 2 f yy ( x , y ), 2 f xx ( x , y ), x x x y y y
2.多元函数概念 定义
设D是R n的 一 个 非 空 子 集 ， 从 D到 实 数 集 R 的任一映射 f称 为 定 义 在 D上 的 一 个 n元 （ 实 或y f x f x1 , x 2 , , x n , x D 其 中x1 , x 2 , , x n 称 为 自 变 量 ， y称 为 因 变 量 ， D称 为 函 数 f的 定 义 域 ， f D f x x D 称为函数 f的 值 域 ， 并 且 称 R n 1中 的 子 集 值）函数，记作 f : D Rn R
y y0
0
说明：
（1）定义中 P P0 的方式是任意的； （2）二元函数的极限也叫二重极限 lim f ( x , y );
x x0 y y0
（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．
4.极限的运算
设 P P0 时， f ( P ) A, f ( P ) B , 则 (1). f ( P ) g( P ) A B; ( 2). f ( P ) g( P ) A B; ( 3). f ( P ) g( P ) A B ( B 0).
5.多元函பைடு நூலகம்的连续性
定义 设 函 数 f ( x, y) 的 定 义 域 为 点 集
D , P0 ( x0 , y0 ) 是D 的内点或边界点且P0 D ， P0 f ( P ) f ( P0 ) 则称函数 f ( x , y ) 在点 如果 lim PP
0
处连续. 如果 f ( x , y ) 在点 P0 ( x 0 , y0 ) 处不连续， 则称
(8) 理解二重积分的概念,了解二重积分的 性质; (9) 掌握二重积分(直角坐标,极坐标)的计 算方法; (10) 了解广义二重积分的概念和计算方 法.
偏 导 数 的 应 用 多 元 函 数 积 分 学
二、主要内容
平面点集 和区域
极 限 运 算 多元连续函数 的性质 多元函数概念
多元函数 的极限
多元函数连续、可导、可微的关系 函数连续 函数可导
函数可微 偏导数连续
11.全微分的应用
主要方面:近似计算与误差估计.
当 x , y 很小时, 有
Z dz f x ( x, y )x f y ( x, y )y,
f ( x x , y y ) f ( x , y ) f x ( x , y ) x f y ( x , y ) y.
Ez z y z y lim . y E y y 0 y z y
特别地 , 如 果z f x , y 中z表 示 需 求 量 , x表 示 价 格 , y表 示 消 费 者 收 入 , 则 x 表 示 需求对价格的弹性 , y 表 示 需 求 对 收 入 的 弹 . 性
(4) 掌握复合函数的一阶和二阶偏导数的 求法; (5) 会求隐函数的偏导数;
(6) 掌握高阶偏导数与高阶微分的概念,
掌握二阶偏导数的计算
多 元 函 数 的 偏 导 数 及 全 微 分
(7) 正确理解多元函数极值的概念,极值存 在的必要条件和判断极值的充分条件;会 求一般函数的极值,会利用拉格朗日乘数 法求多元函数的条件极值.
P0 是函数 f ( x , y ) 的间断点.
6.闭区域上连续函数的性质
（1）有界性定理 有界闭区域D上的多元连续函数是D上的 有界函数． （2）最大值和最小值定理
在有界闭区域D上的多元连续函数，在D 上一定有最大值和最小值．
（3）介值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数，如果 在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取 得介于这两值之间的任何值至少一次．
z f [ ( x , y ), ( x , y )]在对应点( x , y ) 的两个偏
导数存在，且可用下列公式计算
z z u z v ， x u x v x z z u z v . y u y v y
13.全微分形式不变性
无论 z是自变量 u、v的函数或中间变量 u、v 的函数，它的全微分形式是一样的.
多元函数习题课
一 学习要求
(1) 理解多元函数的概念,理解二元函数的 几何意义; (2) 理解二元函数的极限与连续性的概念, 以及有界闭域上连续函数的性质; 极多 限元 及函 连数 续的 概 念
(3) 理解偏导数和全微分的概念,会求全微 分,了解全微分存在的必要和充分条件,了 解全微分形式不变性;