求分段函数的导数
例 求函数0,00,1sin)(2xxxxxf的导数
分析：当0x时因为)0(f存在，所以应当用导数定义求)0(f，当
0x
时，)(xf的关系式是初等函数xx1sin2，可以按各种求导法同求它
的导数．

解：当0x时，01sinlim1sinlim)0()(lim)0(0200xxxxxxfxffxxx
当0x时，
xxxxxxxxxxxxx
xxf1cos1sin2)1cos1(1sin2)1(sin1sin)()1sin()(22222

说明：如果一个函数)(xg在点0x连续，则有)(lim)(00xgxgxx，但如
果我们不能断定)(xf的导数)(xf是否在点00x连续，不能认为
)(lim)0(0xffx

．
指出函数的复合关系

例 指出下列函数的复合关系．
1．mnbxay)(；2．32lnxey；
3．)32(log322xxy；4．)1sin(xxy。
分析：由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的
结构，解决这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最
外层开始，由外及里，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常
见的基本函数，逐步确定复合过程．
解：函数的复合关系分别是
1．nmbxauuy,；
2．2,3,lnxevvuuy；
3．32,log,322xxvvuyu；
4．.1,sin,3xxvvuuy
说明：分不清复合函数的复合关系，忽视最外层和中间变量都是
基本函数的结构形式，而最内层可以是关于自变量x的基本函数，也
可以是关于自变量的基本函数经过有限次的四则运算而得到的函数，
导致陷入解题误区，达不到预期的效果．
求函数的导数

例 求下列函数的导数．
1．43)12(xxxy；2．2211xy；
3．)32(sin2xy；4．21xxy。
分析：选择中间变量是复合函数求导的关键．必须正确分析复合
函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合
关系．要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体，这个暂时的整体，
就是中间变量．求导时需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏，
而其中特别要注意中间变量的系数．求导数后，要把中间变量转换成
自变量的函数．
解：1．解法一：设43,12uyxxxu，则
).116()12(4)116(42233223xxxxxxxuuyy
xux

解法二：xxxxxxxxxy121241233343

.116124223xxxxx
2．解法一：设22121,xuuy，则





.21)21(2 212 42121 4212223223223xxxxxxxxuuyyxux＝

解法二：212221211xxy


.21)21(2)21(2)4()21(2121)21(21222322322232xxxxxxxxx










3．解法一：设32,sin,2xvvuuy，则
.324sin2 232cos32sin2 2cos2x
xx
vuvuyy
xvux
解法二：32sin32sin232sin2xxxy
.324sin2 232cos32sin2 3232cos32sin2 x
xx
xxx

4．解法一：.1422xxxxy设4221,xxuuy，则
.1211)21(2 )42()(21 )42(21222242332142321xxxxxxxxxxxxxxxxuuyyxux






解法二：)1(1)1(222xxxxxxy
.12111 22222xxxxx
说明：对于复合函数的求导，要注意分析问题的具体特征，灵活
恰当地选择中间变量，不可机械照搬某种固定的模式，否则会使确定
的复合关系不准确，不能有效地进行求导运算．学生易犯错误是混淆
变量或忘记中间变量对自变量求导．
求复合函数的导数

例 求下列函数的导数（其中)(xf是可导函数）
1．xfy1；2．).1(2xfy
分析：对于抽象函数的求导，一方面要从其形式上把握其结构特
征，另一方面要充分运用复合关系的求导法则。先设出中间变量，再
根据复合函数的导数运算法则进行求导运算。一般地，假设中间变量
以直接可对所设变量求导，不需要再次假设，如果所设中间变量可直
接求导，就不必再选中间变量。
解：1．解法一：设xuufy1),(，则

.111)(22xfxxufuyy
xux

解法二：.111112xfxxxfxfy
2．解法一：设1,),(2xvvuufy，则

).1(1 21121)1( 221)(222221xf
x

x

xxxxf
xvufvuyy
xuux

解法二：)1()1()1(222xxfxfy


).1(1.2)1()1()1()1(21)1(22212222122xf
x

x

xxxf

xxxf

说明：理解概念应准确全面，对抽象函数的概念认识不足，显示
了一种思维上的惰性，导致判断复合关系不准确，没有起到假设中间
变量的作用。其次应重视))((xf与))((xf的区别，前者是对中间变
量)(x的求导，后者表示对自变量x的求导．