装
1 4

B、
1 4
C、
1 3
D、 ）
1 3
（3） f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处两个偏导数存在 （4） f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处两个偏导数连续 ）
5.幂级数 A.
( x 5)2 n1 2n 4n 的收敛域（ n 1
B. (7, 3)
xydx （
L
）
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课号： 080J02G 课名： 高等数学 A2 阅卷教师： 成绩
2. 已知 z f ( y sin x, ex y ) ，其中 f 具有二阶连续偏导数，求
2 z 。 x y
4. 有 一 曲 面 : z x 2 y 2 在 介 于 0 z 1 之 间 的 侧 面 分 布 有 质量， 设面 密 度 为

2
y 2 z 2 )dxdydz 其中 是 x2 y 2 z 2 2z 所
d
2sin
f ( cos , sin ) d


2 0
d
0
4、已知函数 du( x, y) (3x2 2xy)dx ( x2 2 y)dy ，则 u ( x, y ) 5、函数 f ( x, y) x3 y3 3x2 3 y 2 9x 的极大值为
由实际问题，所以最大距离为 30 ，最小距离为 ……2 分 4. 有 一 曲 面 : z
2 145 . 9
…………8 分
可取
n s1 且 n s2 i j k n s1 s2 1 0 1 1, 3, 1 , 2 1 1
2, 2
C. (7,3]
D.
(9, 1)
若用 " P "Q 表示由性质 P 推出 Q ，则有（ A． （2） （1） （3） C． （2） （3） （1） 2.、累次积分 dy
0 2 2 y y2
二、
填空题（每小题 3 分，共 15 分）
学号
B. （4） （2） （3） D. （4） （3） （1） ） B. D.
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一、
单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）
A、
1.二元函数 z f ( x, y) 的下面四条性质： （1） f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处连续 （2） f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处可微
3、下列判断正确的是： （

）

A、 若 vn un , n N , 且 u n 收敛，则 vn 一定收敛。
n 1 n 1
B、 若 lim un 0 ，则 u n 一定收敛。
n

n 1
三．计算下列各题（每小题 8 分，共 64 分） 1 已知两条直线方程为 x 1 y 2 z 3 x 2 y 1 z L1 : , L2 : , 1 0 1 2 1 1 求过 L1 且平行于 L2 的平面方程。
解： 首先， 所给的函数满足收敛定理的条件， 它在点 x (2k 1) 因此 f ( x ) 的傅里叶级数在点 x (2k 1) 处收敛于
(k 0 , 1 ,处不连续， , 2 )
6.求流体的流速为 v x3 i y3 j xyzk ，求它单位时间内通过闭曲面 的由内向外的流量，其中 线
……8 分
3.抛物面 z x 2 y 2 被平面 x 2 y 3z 10 截成一椭圆， 求这椭圆上的点到原点的距离的最大 最小值。
x 3 y 4 z 5 4 3 0
2、3
3、

2
0
d 2 d
0

2 c s o
0
f (r 2 )r 2 sin dr
1、求在球面 x2 y 2 z 2 50 与锥面 x2 y 2 z 2 的交线上点 P(3, 4,5) 处的切线
0
f ( x, y)dx 可写成 （
2、求函数 f ( x, y) 75 x2 y 2 xy 在点 P(1, 2) 的方向导数最大值
2cos
A. C.



有柱体 x 2 y 2 1及 xoy 坐标面和 z 2 围成。 （提示：应用高斯公式和柱面坐标计算） 3 3 解： vd s x dydz y dzdx xyzdxdy ---------2 分
L 的方向为逆时针方向。
线
姓名
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6.计算 x3dydz y3dzdx xyzdxdy ， 其中 为由柱体 x2 y 2 1 及 xoy 坐标面和
装 记 L 所围成的闭区域为 D 。 ---------2 分
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
7.将函数 f ( x) 解：因为
x 展开成 ( x 1) 的幂级数。 x 5x 6
2
f ( x)
x x 3 2 x 5 x 6 ( x 2)( x 3) x 3 x 2
2
---------2 分
五、计算下列各题（每小题 8 分，共 64 分） 1 已知两条直线方程为
L L L 2 x 2 x 0 2 z 2 3 0 2 y 2 y 2 0 x z y
以及 z x 2 y 2 , x 2 y 3z 10 0 解得： x 1, y 2, z 5 或者

2 2 3
---------------------------------8 分
姓名
5. 计算

L
xdy ydx , 其中 L 为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线， L 的方向 x2 y 2
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为逆时针方向。
y x 解 令 P 2 ,Q 2 . 则当 x2 y 2 0 时，有 2 x y x y2
由柱面坐标

2
0
d d 3 2 dz 3 .
0 0
1
2
---------8 分
Q y2 x2 P . 2 x x 2 y 2 y
学号
当 (0,0) D 时，由格林公式便得

xdy ydx 0. L x2 y 2
---------4 分
而
3 3 1 3 ( x 1) n x 3 2 1 x 1 2 n 0 2n 2
1 x 3
当 (0,0) D 时，选取适当小的 r 0, 作位于 D 内的圆周 l : x2 y 2 r 2 . 记 L 和 l 所围成的闭区 域为 D1 。对复连通区域 D1 应用格林公式，得 订
订


2 0

2 0
d
0
2sin
0
f ( cos , sin )d


2 0
d
0 2cos
f ( cos , sin ) d f ( cos , sin )d
3、用球面坐标表示三重积分 围成的闭区域
f ( x
于是所求的平面方程为 线
x 3 y z 2 0 . ……8 分

x 2 y 2 1

x 2 y 2 2dxdy
---------5 分
2. 已知 z f ( y sin x, e
x y
) ，其中 f 具有二阶连续偏导数，求
2 z 。 x y
……3 分
z y cos xf1' e x y f 2' 解： x
0 x 2.
---------8 分
8.设 f ( x ) 在 [0, ] 上定义，其表达式为 f ( x) x ，将 f ( x ) 展开成正弦级数。
2 2 2 2


3 r cos r sin xdy ydx xdy ydx 2 d 2 . ---------8 分 2 2 l x y 2 0 L x y r2
线
C、 若 lim
n
un 1 1, 则级数 u n 可能条件收敛。 un n 1 un 1 1, 则级数 u n 一定收敛。 un n 1
D、 若 lim
n
4. 设 L 是抛物线 y x2 上从点 A(1,1) 到点 O(0, 0) 的一段弧，则 姓名
2 1 2 2 ( x 1)n x2 1 ( x 1) n 0
0 x2
---------6 分
xdy ydx xdy ydx L x2 y 2 l x2 y 2 0.
其中 l 的方向取逆时针方向。于是
所以 f ( x)
x 3 n = ( n 1 2)( x 1) 2 x 5x 6 n 0 2
(1 y )dx (2x y)dy 的值最小。
3 L
线
姓名
8.设 f ( x) 在 [0, ] 上定义，其表达式为 f ( x) x ，将 f ( x) 展开成正弦级数。 第3页 共6页