2009届高考数学快速提升成绩题型训练——抽象函数D7. 已知定义在R 上的偶函数y=f(x)的一个递增区间为（2，6），试判断（4，8）是y=f(2-x)的递增区间还是递减区间？8. 设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且对任意a ，b ，当a+b ≠0，都有ba b f a f ++)()(＞0（1）.若a ＞b ，试比较f （a ）与f （b ）的大小；（2）.若f （k )293()3--+⋅x x x f ＜0对x ∈[－1，1]恒成立，求实数k 的取值范围。

9.已知函数()f x 是定义在（-∞，3]上的减函数，已知22(sin )(1cos )f a x f a x -≤++对x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围。

10．已知函数(),f x 当,x y R ∈时，恒有()()()f x y f x f y +=+. (1)求证: ()f x 是奇函数; (2)若(3),(24)f a a f -=试用表示.11.已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意的,,a b R ∈都满足:()()()f a b af b bf a •=+.(1)求(0),(1)f f 的值;(2)判断()f x 的奇偶性,并证明你的结论;(3)若(2)2f =,*(2)()n n f u n N n-=∈,求数列{n u }的前n 项和n s .12.已知定义域为R 的函数()f x 满足22(()))()f f x x x f x x x -+=-+. (1)若(2)3,(1);(0),();f f f a f a ==求又求(2)设有且仅有一个实数0x ,使得00()f x x =,求函数()f x 的解析表达式.13.已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有1()()()2f m n f m f n +=++,且1()02f =,当12x >时, ()f x >0.(1)求(1)f ;(2)求和(1)(2)(3)...()f f f f n ++++*()n N ∈; (3)判断函数()f x 的单调性,并证明.14.函数()f x 的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x R ∈,有()f x >0;②对任意,x y R ∈,有()[()]y f xy f x =;③1()13f >.(1)求(0)f 的值;(2)求证: ()f x 在R 上是单调减函数;(3)若0a b c >>>且2b ac =,求证:()()2()f a f c f b +>.15.已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有()()()f m n f m f n +=•,且当0x >时,0()1f x <<.(1)证明:(0)1,0f x =<且时,f(x)>1; (2)证明: ()f x 在R 上单调递减;(3)设A=22{(,)()()(1)}x y f x f y f •>,B={(,)(2)1,x y f ax y a R -+=∈},若A B =Φ,试确定a 的取值范围.16.已知函数()f x 是定义在R 上的增函数,设F ()()()x f x f a x =--. (1)用函数单调性的定义证明:()F x 是R 上的增函数;(2)证明:函数y =()F x 的图象关于点(,0)2a成中心对称图形.17.已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数,且它的图象关于直线1x =对称. (1)求(0)f 的值;(2)证明: 函数()f x 是周期函数;(3)若()(01),f x x x =<≤求当x R ∈时,函数()f x 的解析式,并画出满足条件的函数()f x 至少一个周期的图象.18．函数()f x 对于x>0有意义，且满足条件(2)1,()()(),()f f xy f x f y f x ==+是减函数。

（1）证明：(1)0f =；（2）若()(3)2f x f x +-≥成立，求x 的取值范围。

19．设函数()f x 在(,)-∞+∞上满足(2)(2)f x f x -=+，(7)(7)f x f x -=+，且在闭区间［0，7］上，只有(1)(3)0f f ==． （1）试判断函数()y f x =的奇偶性；（2）试求方程()f x =0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论．20. 已知函数f（x）对任意实数x，y，均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（－1）＝－2，求f（x）在区间[－2，1]上的值域。

21. 已知函数f（x）对任意，满足条件f（x）＋f（y）＝2 +f（x＋y），且当x＞0时，f（x）＞2，f（3）＝5，求不等式的解。

22. 设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在，使得，对任何x和y，成立。

求：（1）f（0）；（2）对任意值x，判断f（x）值的正负。

23. 是否存在函数f（x），使下列三个条件：①f（x）＞0，x∈N；②；③f（2）＝4。

同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，如不存在，说明理由。

24. 设函数y＝f（x）的反函数是y＝g（x）。

如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g （a ＋b ）＝g （a ）·g （b ）是否正确，试说明理由。

25. 己知函数f （x ）的定义域关于原点对称，且满足以下三条件：①当是定义域中的数时，有；②f （a ）＝－1（a ＞0，a 是定义域中的一个数）； ③当0＜x ＜2a 时，f （x ）＜0。

答案：1. 解：令1x = -1，2x =x ，得f (-x )= f (-1)+ f (x ) ……①为了求f (-1)的值，令1x =1，2x =-1，则f (-1)=f (1)+f (-1),即f (1)=0,再令1x =2x =-1得f (1)=f (-1)+f (-1)=2f (-1) ∴f (-1)=0代入①式得 f (-x )=f (x ),可得f (x )是一个偶函数。

2. 分析：根据函数的定义域，-m ，m ∈[-2,2]，但是1- m 和m 分别在[-2，0]和[0，2]的哪个区间内呢？如果就此讨论，将十分复杂，如果注意到偶函数，则f (x )有性质f （-x )= f (x )=f ( |x | )，就可避免一场大规模讨论。

解：∵f (x )是偶函数， f (1-m )<f (m ) 可得)()1(m f m f <-，∴f (x )在[0，2]上是单调递减的，于是 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-≤>-202101m m m m ，即⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤-≤->+-222122122m m m m m 化简得-1≤m <21。

3. 解：因为f(x+3) =-f(x)，所以f(x+6)=f((x+3)+3) =-f(x+3)=f(x)，故6是函数f(x)的一个周期。

又f(x)是奇函数，且在x ＝0处有定义，所以f(x)=0从而f(1998)=f(6×333)=f(0)=0。

4. 解：由f （)21x x +=f （)()21x f x ⋅，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,0,21x x 知 f （x ）=f （)2()2xf x ⋅≥0，x []1,0∈2)]21([)21()21()2121()1(f f f f f =⋅=+= ， f （1）=2，.2)21(21=∴f 同理可得412)41(=f5.解：从自变量值2001和1进行比较及根据已知条件来看，易联想到函数f （x ）是周期函数。

由条件得f （x ）≠1，故f （x+2）=,)(1)(1x f x f -+f （x+4）=)(1)(1)(11)(1)(11x f x f x f x f x f -=-+--++. 所以f （x+8）=)()4(1x f x f =+-.所以f （x ）是以8为周期的周期函数， 从而f （2001）=f （1）=1997说明：这类问题出现应紧扣已知条件，需用数值或变量来迭代变换，经过有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解。

6.证明：（1）问题为求函数值，只需令x=y=0即可得。

（2）问题中令x=0即得f （y ）+f （- y ）=2f （0）f （y ）， 且f （0）=1.所以f （y ）+f （-y ）=2f （y ），因此y=f （x ）为偶函数.说明：这类问题应抓住f （x ）与f （-x ）的关系，通过已知条件中等式进行变量赋值。

7. 解：由y=f(x)是偶函数且在（2，6）上递增可知，y=f(x)在（－6，－2）上递减。

令u=2-x ，则当x ∈(4,8)时，u 是减函数且u ∈(-6,-2)，而f(u)在（－6，－2）上递减，故y=f(2-x)在（4，8）上递增。

所以（4，8）是y=f(2-x)的单调递增区间。

8. 解：（1）.因为a ＞b ，所以a-b ＞0，由题意得ba b f a f --+)()(＞0，所以f （a ）+f （－b ）＞0，又f （x ）是定义在R 上的奇函数，所以f （－b ）=－f （b ）， f （a ）－f （b ）＞0，即f （a ）＞f （b ）（2）.由（1）知f （x ）在R 上是单调递增函数，又f )3(x k ⋅＋f )293(--x x ＜0，得f )3(x k ⋅＜f )239(+-x x ，故x k 3⋅＜239+-x x ，所以k ＜1323-+xx 令t ＝]3,31[3∈x,所以k ＜t+12-t ，而t+t2≥22，即k ＜22－19.解：22(sin )(1cos )f a x f a x -≤++等价于2222222222sin 33sin 311cos 32cos 205sin 1cos 1cos sin 14a x a x a a x a x a a x a x a a x x a a ⎧⎧⎧-≤-≤⎪-≤-⎪⎪⎪++≤⇒-≤-⇒-≤⎨⎨⎨⎪⎪⎪-≥++--≥+⎩⎩⎪--≥⎩⇒2a a a a a ⎧⎪≤⎪⎪≤⇒≤≤⎨⎪⎪≤≥⎪⎩10.（1）证明：令y x =-，得()()()f x x f x f x -=+-⇒()()(0)f x f x f +-= 令0x y ==，则(0)2(0)f f =()00f ⇒=∴()()0f x f x +-=()()f x f x -=- ∴()f x 是奇函数。

（2）∵(24)(3)(21)2(3)(18)...8(3)f f f f f f =+=+== 又∵(3)(3)f a f a -=⇒=-⇒(24)8f a =- 11.（1）解：令0a b ==，则(0)0f = 令1a b ==，则(1)2(1)(1)0f f f =⇒=（2）证明：令1a b ==-，则(1)2(1)f f =-，∵(1)0f =，∴(1)0f -= 令,1a x b ==-，则()(1)()()f x xf f x f x -=--=- ∴()f x 是奇函数。