高中数学经典例题、错题详解【例1】设M=｛1、2、3｝，N=｛e、g、h｝，从M至N的四种对应方式，其中是从M到N的映射是（）M NA M NBM NCM ND映射的概念:设A、B是两个集合，如果按照某一个确定的对应关系f，是对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有一个确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射。
函数的概念：一般的设A、B是两个非空数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，这样的对应叫集合A到集合B的一个函数。
（函数的本质是建立在两个非空数集上的特殊对应）映射与函数的区别与联系：函数是建立在两个非空数集上的特殊对应；而映射是建立在两个任意集合上的特殊对应；函数是特殊的映射，是数集到数集的映射，映射是函数概念的扩展，映射不一定是函数，映射与函数都是特殊的对应。
映射与函数（特殊对应）的共同特点：○1可以是“一对一”；○2可以是“多对一”；○3不能“一对多”；○4A中不能有剩余元素；○5B中可以有剩余元素。
映射的特点：（1）多元性：映射中的两个非空集合A、B，可以是点集、数集或由图形组成的集合等；（2）方向性：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；（3）映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象，不要求B中的每一个元素都有原象；（4）唯一性：映射中集合A中的任一元素在集合B中的象都是唯一的；（5）一一映射是一种特殊的映射方向性上题答案应选 C【分析】根据映射的特点○3不能“一对多”，所以A、B、D都错误；只有C完全满足映射与函数（特殊对应）的全部5个特点。
本题是考查映射的概念和特点，应在完全掌握概念的基础上，灵活掌握变型题。
【例2】已知集合A=R，B={(x、y)︱x、y∈R},f是从A到B的映射fx：→（x+1、x2）,（1）求2在B 中的对应元素；（2）（2、1）在A中的对应元素【分析】（1）将x=2代入对应关系，可得其在B中的对应元素为（2+1、1）；（2）由题意得：x+1=2,x2=1 得出x=1，即（2、1）在A中的对应元素为1【例3】设集合A={a、b}，B={c、d、e}，求：（1）可建立从A到B的映射个数（）；（2）可建立从B到A的映射个数（）【分析】如果集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则集合A到集合B的映射共有n m 个；集合B到集合A的映射共有m n个，所以答案为23=9；32=8【例4】若函数f(x)为奇函数，且当x﹥0时，f(x)=x-1,则当x﹤0时，有（）A、f(x) ﹥0B、f(x) ﹤0C、f(x)·f(-x)≤0D、f(x)-f(-x) ﹥0奇函数性质：1、图象关于原点对称；?2、满足f(-x) = - f(x)?；3、关于原点对称的区间上单调性一致；?4、如果奇函数在x=0上有定义,那么有f(0)=0；?5、定义域关于原点对称（奇偶函数共有的）偶函数性质：1、 图象关于y 轴对称；?2、满足f(-x) = f(x)?；3、关于原点对称的区间上单调性相反；?4、如果一个函数既是奇函数有是偶函数,那么有f(x)=0；5、定义域关于原点对称（奇偶函数共有的） 基本性质：唯一一个同时为奇函数及偶函数的函数为其值为0的常数函数(即对所有x ，f(x)=0)。
通常，一个偶函数和一个奇函数的相加不会是奇函数也不会是偶函数；如x + x 2。
两个偶函数的相加为偶函数，且一个偶函数的任意常数倍亦为偶函数。
两个奇函数的相加为奇函数，且一个奇函数的任意常数倍亦为奇函数。
两个偶函数的乘积为一个偶函数。
两个奇函数的乘积为一个偶函数。
一个偶函数和一个奇函数的乘积为一个奇函数。
两个偶函数的商为一个偶函数。
两个奇函数的商为一个偶函数。
一个偶函数和一个奇函数的商为一个奇函数。
一个偶函数的导数为一个奇函数。
一个奇函数的导数为一个偶函数。
两个奇函数的复合为一个奇函数，而两个偶函数的复合为一个偶函数。
一个偶函数和一个奇函数的复合为一个偶函数 【分析】 f(x)为奇函数，则f(-x) = -f(x)，当X ﹤0时，f(x) = -f(-x) = -[-(-x) – 1] = -x+1>0,所以A 正确，B 错误； f(x)·f(-x)=（x-1）（-x+1）﹤0，故C 错误； f(x)-f(-x)= （x-1）-（-x+1）﹤0,故D 错误【例5】 已知函数f(x)是偶函数，且x ≤0时，f(x)=xx-+11，求：（1）f(5)的值； （2）f(x)=0时x 的值；（3）当x ＞0时，f(x)的解析式【考点】 函数奇偶性的性质 【专题】计算题，函数的性质及应用 【分析及解答】（1）根据题意，由偶函数的性质f(x)= f(-x)，可得f(5)= f(-5)=）（）（5--15-1+=—32（2）当x ≤0时，f(x)=0 可求x ，然后结合f(x)= f(-x)，即可求解满足条件的x ， 即当x ≤0时，xx-+11=0 可得x=—1；又f(1)= f(-1)，所以当f(x)=0时，x=±1 （3）当x ＞0时，根据偶函数性质f(x)= f(-x)=)(1)(1x x ---+=xx+-11【例6】 若f(x)=e x +ae -x 为偶函数，则f(x-1)＜ee 12+的解集为（ ）A.（2，+∞）B.（0,2）C.（-∞，2）D.（-∞，0）∪（2，+∞） 【考点】 函数奇偶性的性质 【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用 【分析及解答】根据函数奇偶性的性质先求出a 值，结合函数单调性的性质求解即可∵f(x)=e x +ae -x 为偶函数，∴f(-x)=e -x +ae x = f(x)= e x +ae -x ，∴a=1， ∴f(x)=e x +e -x 在（0，+∞）上单调递增，在（-∞，0）上单调递减，则由f(x-1)＜ee 12+=e+e 1， ∴ -1 ＜x-1＜1， 求得 0 ＜x ＜2 故B 正确【点评】 本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性的性质先求出a 值是解题关键 【例7】 函数f(x)=21xb ax ++是定义在(-1,1)上的奇函数，且f(21)=52，（1）确定函数f(x)的解析式；（2）证明f(x)在(-1,1)上为增函数；（3）解不等式f(2x-1)+ f(x) ＜0【考点】 函数奇偶性与单调性的综合 【专题】函数的性质及应用 【分析及解答】（1） 因为f(x)为（-1,1）上的奇函数，所以f(0)=0，可得b=0，由f(21)=52，所以2)21(121+a=52，得出a=1，所以f(x)= 21x x + （2） 根据函数单调性的定义即可证明任取-1 ＜x 1＜x 2＜1，f(x 1)—f(x 2)=2111x x +—2221x x +=)1)(1()1)((22212121x x x x x x ++--因为-1 ＜x 1＜x 2＜1，所以x 1-x 2＜0，1—x 1x 2＞0，所以f(x 1)—f(x 2) ＜0， 得出f(x 1) ＜f(x 2)，即f(x)在(-1,1)上为增函数（3） 根据函数的奇偶性、单调性可去掉不等式中的符号“f ”，再考虑到定义域可得一不等式组，解出即可：f(2x-1)+ f(x)= ＜0，f(2x-1) ＜—f(x)，由于f(x)为奇函数，所以f(2x-1) ＜f(—x)，因为f(x)在(-1,1)上为增函数，所以2x-1＜—x ○1， 因为-1 ＜2x-1＜1○2，-1 ＜x ＜1○3，联立○1○2○3得 0 ＜ x ＜31，所以解不等式f(2x-1)+ f(x) ＜0的解集为（0，31） 【点评】 本题考查函数的奇偶性、单调性及抽象不等式的求解，定义是解决函数单调性、奇偶性的常用方法，而抽象不等式常利用性质转化为具体不等式处理。
【例8】 定义在R 上的奇函数f(x)在（0，+∞）上是增函数， 又f(-3)=0，则不等式x f(x) ＜0的解集为（ ）【考点】 函数单调性的性质 【专题】综合题；函数的性质及应用【分析及解答】 易判断f(x)在（-∞，0）上的单调性及f(x)图像所过特殊点，作出f(x)草图，根据图像可解不等式。
解：∵ f(x)在R 上是奇函数，且f(x)在（0，+∞）上是增函数，∴ f(x)在（-∞，0）上也是增函数，由f(-3)=0，可得- f(3)=0，即f(3)=0，由f(-0)=-f(0)，得f(0)=0 作出f(x)的草图，如图所示： 由图像得：x f(x) ＜0⇔⎩⎨⎧〈〉0)(0x f x 或⎩⎨⎧〉〈0)(0x f x ⇔ 0﹤x ﹤3或-3﹤x ﹤0，∴ x f(x) ＜0的解集为：（-3，0）∪（0，3），故答案为：（-3，0）∪（0，3）【点评】 本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用，考查数形结合思想，灵活作出函数的草图是解题关键。
【例9】 已知f （x+1）的定义域为[-2,3]，则f （2x+1）的定义域为（ ）抽象函数定义域求法总结：（1）函数y=f[g(x)]的定义域是（a ，b ），求f （x ）的定义域：利用a ＜x ＜b ，求得g （x ）的范围就是f （x ）的定义域；（2）函数y=f （x ）的定义域是（a ，b ），求y=f[g(x)]的定义域：利用a ＜g(x)＜b ，求得x 的范围就是y=f[g(x)]的定义域。
【考点】 函数定义域极其求法【分析及解答】 由f （x+1）的定义域为[-2,3]，求出 f （x ）的定义域，再由2x+1在函数f （x ）的定义域内求解x 的取值集合，得到函数f （2x+1）的定义域。
解：由f （x+1）的定义域是[-2,3]，得-1≤x+1≤4 ；再由-1≤2x+1≤4 0≤x ≤25∴ f （2x+1）的定义域是[0，25]，故选A 【点评】 本题考查了复合函数定义域的求法，给出函数f[g(x)]的定义域是（a ，b ），求函数f （x ）的定义域，就是求x ∈（a ，b ）内的g(x)的值域；给出函数f （x ）的定义域是（a ，b ），只需由a ＜g(x) ＜b ，求解x 的取值集合即可。
【例10】 已知函数f(x)=x 7+ax 5+bx-5，且f(-3)= 5，则f(3)= （ ）A. -15B. 15C.10D.-10 【考点】 函数的值；奇函数【分析及解答】 令g(x)= x 75同样，若函数)(x f y =在区间（a ，b ）上有零点，且有)()(b f a f ⋅<0，函数的零点个数是否唯一呢？答案是否定的，不一定唯一，零点个数唯一存在的条件：⎪⎩⎪⎨⎧⇒=〈⋅=单调连续)(0)()()(x f y b f a f x f y 函数)(x f y =在（a ，b ）内存在唯一零点【例题】求函数)(x f =lnx+2x —6的零点个数。