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高中数学经典例题、错题详解

【例1】设M={1、2、3},N={e、g、h},从M至N的四种对应方式,其中是从M 到N的映射是()M NA M NBM NCM ND1 2 3egh123egh123egh123egh 映射的概念:设A、B是两个集合,如果按照某一个确定的对应关系f,是对于集合A中的每一个元素x,在集合B中都有一个确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个映射。

函数的概念:一般的设A、B是两个非空数集,如果按照某种对应法则f,对于集合A中的每一个元素x,在集合B中都有唯一的元素y和它对应,这样的对应叫集合A 到集合B的一个函数。

(函数的本质是建立在两个非空数集上的特殊对应)映射与函数的区别与联系:函数是建立在两个非空数集上的特殊对应;而映射是建立在两个任意集合上的特殊对应;函数是特殊的映射,是数集到数集的映射,映射是函数概念的扩展,映射不一定是函数,映射与函数都是特殊的对应。

映射与函数(特殊对应)的共同特点:○1可以是“一对一”;○2可以是“多对一”;○3不能“一对多”;○4A中不能有剩余元素;○5B中可以有剩余元素。

映射的特点:(1)多元性:映射中的两个非空集合A、B,可以是点集、数集或由图形组成的集合等;(2)方向性:映射是有方向的,A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射;(3)映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象,不要求B中的每一个元素都有原象;(4)唯一性:映射中集合A中的任一元素在集合B中的象都是唯一的;(5)一一映射是一种特殊的映射方向性上题答案应选C【分析】根据映射的特点○3不能“一对多”,所以A、B、D都错误;只有C完全满足映射与函数(特殊对应)的全部5个特点。

本题是考查映射的概念和特点,应在完全掌握概念的基础上,灵活掌握变型题。

【例2】已知集合A=R,B={(x、y)︱x、y∈R},f是从A到B的映射fx:→(x+1、x2),(1)求2在B中的对应元素;(2)(2、1)在A中的对应元素【分析】(1)将x=2代入对应关系,可得其在B中的对应元素为(2+1、1);(2)由题意得:x+1=2,x2=1得出x=1,即(2、1)在A中的对应元素为1【例3】设集合A={a、b},B={c、d、e},求:(1)可建立从A到B的映射个数();(2)可建立从B到A的映射个数()高中数学经典例题、错题详解【分析】如果集合A 中有m 个元素,集合B 中有n 个元素,则集合A 到集合B 的映射共有n m 个;集合B 到集合A 的映射共有m n 个,所以答案为23=9;32=8【例4】若函数f(x)为奇函数,且当x ﹥0时,f(x)=x-1,则当x ﹤0时,有()A 、f(x)﹥0B 、f(x)﹤0C 、f(x)·f(-x)≤0D 、f(x)-f(-x)﹥0奇函数性质:1、图象关于原点对称;2、满足f(-x)=-f(x);3、关于原点对称的区间上单调性一致;4、如果奇函数在x=0上有定义,那么有f(0)=0;5、定义域关于原点对称(奇偶函数共有的)偶函数性质:1、图象关于y 轴对称;2、满足f(-x)=f(x);3、关于原点对称的区间上单调性相反;4、如果一个函数既是奇函数有是偶函数,那么有f(x)=0;5、定义域关于原点对称(奇偶函数共有的)基本性质:唯一一个同时为奇函数及偶函数的函数为其值为0的常数函数(即对所有x ,f(x)=0)。

通常,一个偶函数和一个奇函数的相加不会是奇函数也不会是偶函数;如x +x 2。

两个偶函数的相加为偶函数,且一个偶函数的任意常数倍亦为偶函数。

两个奇函数的相加为奇函数,且一个奇函数的任意常数倍亦为奇函数。

两个偶函数的乘积为一个偶函数。

两个奇函数的乘积为一个偶函数。

一个偶函数和一个奇函数的乘积为一个奇函数。

两个偶函数的商为一个偶函数。

两个奇函数的商为一个偶函数。

一个偶函数和一个奇函数的商为一个奇函数。

一个偶函数的导数为一个奇函数。

一个奇函数的导数为一个偶函数。

两个奇函数的复合为一个奇函数,而两个偶函数的复合为一个偶函数。

一个偶函数和一个奇函数的复合为一个偶函数【分析】f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x),当X ﹤0时,f(x)=-f(-x)=-[-(-x)–1]=-x+1>0,所以A 正确,B 错误;f(x)·f(-x)=(x-1)(-x+1)﹤0,故C 错误;f(x)-f(-x)=(x-1)-(-x+1)﹤0,故D 错误【例5】已知函数f(x)是偶函数,且x ≤0时,f(x)=xx-+11,求:(1)f(5)的值;(2)f(x)=0时x 的值;(3)当x >0时,f(x)的解析式【考点】函数奇偶性的性质【专题】计算题,函数的性质及应用【分析及解答】(1)根据题意,由偶函数的性质f(x)=f(-x),可得f(5)=f(-5)=)()(5--15-1+=—32(2)当x ≤0时,f(x)=0可求x ,然后结合f(x)=f(-x),即可求解满足条件的x ,即当x ≤0时,xx-+11=0可得x=—1;又f(1)=f(-1),所以当f(x)=0时,x=±1(3)当x >0时,根据偶函数性质f(x)=f(-x)=)(1)(1x x ---+=xx+-11【例6】若f(x)=e x +ae -x 为偶函数,则f(x-1)<ee 12+的解集为()A.(2,+∞)B.(0,2)C.(-∞,2)D.(-∞,0)∪(2,+∞)【考点】函数奇偶性的性质【专题】转化思想;综合法;函数的性质及应用【分析及解答】根据函数奇偶性的性质先求出a 值,结合函数单调性的性质求解即可∵f(x)=e x +ae -x 为偶函数,∴f(-x)=e -x +ae x =f(x)=e x +ae -x ,∴a=1,∴f(x)=e x +e -x 在(0,+∞)上单调递增,在(-∞,0)上单调递减,则由f(x-1)<e e 12+=e+e1,∴-1<x-1<1,求得0<x <2故B 正确【点评】本题主要考查不等式的求解,根据函数奇偶性的性质先求出a 值是解题关键【例7】函数f(x)=21xb ax ++是定义在(-1,1)上的奇函数,且f(21)=52,(1)确定函数f(x)的解析式;(2)证明f(x)在(-1,1)上为增函数;(3)解不等式f(2x-1)+f(x)<0【考点】函数奇偶性与单调性的综合【专题】函数的性质及应用【分析及解答】(1)因为f(x)为(-1,1)上的奇函数,所以f(0)=0,可得b=0,由f(21)=52,所以2)21(121+a=52,得出a=1,所以f(x)=21x x +(2)根据函数单调性的定义即可证明任取-1<x 1<x 2<1,f(x 1)—f(x 2)=2111x x +—2221x x +=)1)(1()1)((22212121x x x x x x ++--因为-1<x 1<x 2<1,所以x 1-x 2<0,1—x 1x 2>0,所以f(x 1)—f(x 2)<0,得出f(x 1)<f(x 2),即f(x)在(-1,1)上为增函数(3)根据函数的奇偶性、单调性可去掉不等式中的符号“f ”,再考虑到定义域可得一不等式组,解出即可:f(2x-1)+f(x)=<0,f(2x-1)<—f(x),由于f(x)为奇函数,所以f(2x-1)<f(—x),因为f(x)在(-1,1)上为增函数,所以2x-1<—x ○1,因为-1<2x-1<1○2,-1<x <1○3,联立○1○2○3得0<x <31,所以解不等式f(2x-1)+f(x)<0的解集为(0,31)【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性及抽象不等式的求解,定义是解决函数单调性、奇偶性的常用方法,而抽象不等式常利用性质转化为具体不等式处理。

【例8】定义在R 上的奇函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,又f(-3)=0,则不等式x f(x)<0的解集为()【考点】函数单调性的性质【专题】综合题;函数的性质及应用【分析及解答】易判断f(x)在(-∞,0)上的单调性及f(x)图像所过特殊点,作出f(x)草图,根据图像可解不等式。

解:∵f(x)在R 上是奇函数,且f(x)在(0,+∞)上是增函数,∴f(x)在(-∞,0)上也是增函数,由f(-3)=0,可得-f(3)=0,即f(3)=0,由f(-0)=-f(0),得f(0)=0作出f(x)的草图,如图所示:xy30-3由图像得:x f(x)<0⇔⎩⎨⎧〈〉0)(0x f x 或⎩⎨⎧〉〈0)(0x f x ⇔0﹤x ﹤3或-3﹤x ﹤0,∴x f(x)<0的解集为:(-3,0)∪(0,3),故答案为:(-3,0)∪(0,3)【点评】本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用,考查数形结合思想,灵活作出函数的草图是解题关键。

【例9】已知f (x+1)的定义域为[-2,3],则f (2x+1)的定义域为()抽象函数定义域求法总结:(1)函数y=f[g(x)]的定义域是(a ,b ),求f (x )的定义域:利用a <x <b ,求得g (x )的范围就是f (x )的定义域;(2)函数y=f (x )的定义域是(a ,b ),求y=f[g(x)]的定义域:利用a <g(x)<b ,求得x 的范围就是y=f[g(x)]的定义域。

【考点】函数定义域极其求法【分析及解答】由f (x+1)的定义域为[-2,3],求出f (x )的定义域,再由2x+1在函数f (x )的定义域内求解x 的取值集合,得到函数f (2x+1)的定义域。

解:由f (x+1)的定义域是[-2,3],得-1≤x+1≤4;再由-1≤2x+1≤4⇒0≤x ≤25∴f (2x+1)的定义域是[0,25],故选A 【点评】本题考查了复合函数定义域的求法,给出函数f[g(x)]的定义域是(a ,b ),求函数f (x )的定义域,就是求x ∈(a ,b )内的g(x)的值域;给出函数f (x )的定义域是(a ,b ),只需由a <g(x)<b ,求解x 的取值集合即可。

【例10】已知函数f(x)=x 7+ax 5+bx-5,且f(-3)=5,则f(3)=()A.-15B.15C.10D.-10【考点】函数的值;奇函数【分析及解答】令g(x)=x 7+ax 5+bx ,则g(-3)=解法1:f(-3)=(-3)7+a(-3)5+b(-3)-5=-(37+a35+3b-5)-10=-f(3)-10=5,∴f(3)=-15解法2:设g(x)=x7+ax5+bx ,则g(x)为奇函数,f(-3)=g(-3)-5=-g(3)-5∴g(3)=-10,∴f(3)=g(3)-5=-15【例11】已知二次函数f (x )=x 2+x+a (a ﹥0),若f (m )﹤0,则f (m+1)的值为()A.正数B.负数C.零D.符号与a 有关解法1:因为f(m)<0所以m2+m+a<0,因为a>0.所以m2+m<0,所以-1<m<0f(m+1)=m2+3m+2+a=(m+23)2-41+a.因为-1<m<0所以(m+23)2>41,所以f(m+1)>0答案为A解法2:f(x)=x²+x+a=x(x+1)+a∵f(m)=m(m+1)+a <0∴m(m+1)<-a ,∵a >0,且m <m+1∴m <0,m+1>0∵(m+1)²≥0即:f(m+1)=(m+1)²+(m+1)+a >0∴f(m+1)>0选A【例12】函数f(x)=︱x 2-2x ︱—m 有两个零点,m 的取值范围()解:令f(x)=︱x 2-2x ︱—m=0,则︱x 2-2x ︱=m ,作y=︱x 2-2x ︱和y=m 的图像要使f(x)=︱x 2-2x ︱—m 有两个零点,则图像y=︱x 2-2x ︱和y=m 有两个交点【例13】已知函数f(x)和g(x)均为奇函数,F(x)=a f(x)+b g(x)+2在区间(0,+∞)上有最大值5,那么F(x)在区间(-∞,0)上的最小值为()解法1:根据题意,得a·f(x)+b·g(x)在(0,+∞)上有最大值3,所以,a·f(x)+b·g(x)在(-∞,0)上有最小值-3,故F(x)=a·f(x)+b·g(x)+2在(-∞,0)上有最小值-1.解法2:F(x)=a f(x)+b g(x)+2是由G(x)=a f(x)+b g(x)向上平移2个单位得到,由题意G(x)=a f(x)+b g(x)在(-∞,0),(0,+∞)上是奇函数,在(0,+∞)上有最大值3,那么在(-∞,0)上有最小值-3,那么F(x)=a·f(x)+b·g(x)+2在(-∞,0)上有最小值-1.【例14】对于每个实数x ,设f(x)取y=x+1,y=2x+1,y=-21x 三个函数中的最大值,用分段函数的形式写出f(x)的解析式,求出f(x)的最小值为()【例15】已知函数f(x)=x 2+ax+3,(1)当x ∈R 时,f(x)≥a 恒成立,求a 的取值范围;(2)当x ∈[-2,2]时,f(x)≥a 恒成立,求a 的取值范围解(2)函数f(x)=x^2+ax+3对称轴x=-a/2,依题意得①当-a/2≤-2时,当x∈[-2,2]时,f(x)最小值≥a 即:f(-2)=4-2a+3≥a,无解②当-2<-a/2<2,当x∈[-2,2]时,f(x)最小值≥a 即:f(-a/2)≥a,得-4<a≤2③当-a/2≥2时,当x∈[-2,2]时,f(x)最小值≥a 即:f(2)=4+2a+3≥a,得-7≤a≤-4综上所述得:-7≤a≤2解法2:【例16】下列各组函数表示相等函数的是()A.y=39x 2--x 与y=x+3B.y=12-x 与y=x-1C.y=x 0(x ≠0)与y=1(x ≠0)D.y=2x+1(x ∈Z )与y=2x-1(x ∈Z )解:A.y=392--x x =x+3(x≠3)与y=x+3定义域不同,不是相等的函数;B.y=2x -1=|x|-1与y=x-1对应关系不同,不是相等的函数;C.y=x 0=1(x≠0)与y=1(x≠0)是相等函数;正确D.y=2x+1,x∈Z与y=2x-1,x∈Z 对应关系不同,不是相等函数.【例17】函数y=4x 2-mx+5在区间[-2,+∞)上时增函数,在区间(-∞,2]上是减函数,则f(1)=() A.-7 B.1 C.17 D.25解:由已知中函数的单调区间,可得函数y=4x 2-mx+5的图像关于直线x=-2对称,因为函数y=4x 2-mx+5在区间[-2,+∞)上时增函数,在区间(-∞,2]上是减函数,故函数y=4x 2-mx+5的图像关于直线x=-2对称,故28-=m,m=-16,y=4x 2+16x+5,f(1)=25【例18】判断下列各组中的两个函数是同一函数的为:_________(1)、3)5)(3()(+-+=x x x x f ,5)(-=x x g (2)、11)(-+=x x x f (3)、x x f =)(,2)(x x g =(4)、334)(x x x f -=,31)(-=x x x g (5)、2)52()(-=x x f ,52)(-=x x g 【例19】函数3)1(4)(2-++=x a ax x f 在区间[-2,+∞)上递增,则a 的取值范围______【例20】函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间(-∞,4]上是减函数,则实数a 的取值范围是()A.a ≤3B.a ≥3C.a ≥-3D.a ≤5E.a ≤-3【例21】已知)(x f 是定义在(-2,2)上的减函数,并且)21()1(m f m f --->0,求实数m 的取值范围【例22】若集合}{Rx x x A ∈≤=,12,}{R x x y yB ∈≤=,22,则A ∩B=()A.{x ∣-1≤x ≤1}B.{x ∣0≤x ≤1}C.{x ∣x ≥0}D.Φ设)(x f 是定义在R 上的奇函数,当x ≤0时,)(x f =2x 2-x,则)1(f =()A.-3B.-1C.1D.3函数)(x f =⎩⎨⎧〉--≤-1,31,122x x x x x 则⎪⎪⎭⎫⎝⎛)3(1f f 的值为()【例23】已知)0(1)12(22≠-=-x xx x f ,那么)0(f 等于()【例24】已知集合}{322=--=x x x A ,φ=B ,若B ∩A=B ,实数a 的值为()(3,0)(-1,0)0yxA.3B.6C.8D.10【例25】函数x x x y +-=)1(的定义域为()A.{x ∣x ≥0}B.{x ∣x ≥1}C.{x ∣x ≥1}∪{0}D.{x ∣0≤x ≤1}【例26】下列判断正确的是()A.函数22)(2--=x xx x f 是奇函数B.函数1)(2-+=x x x f 是非奇函数C.函数xxx x f -+-=11)1()(是偶函数 D.函数)(x f =1即是奇函数又是偶函数【例27】432+--=x x y 的单调区间是()A.(-∞,-32] B.[-32,+∞) C.[-4,-32] D.[-32,1]【例28】设)(x f 是奇函数,且在区间(0,+∞)内是增函数,又)3(-f =0,则)(x f ﹤0的解集是()A.{x ∣-3﹤x ﹤0或x>3} B.{x ∣0﹤x﹤3或x ﹤-3}C.{x ∣x ﹤-3或x>3}D.{x ∣-3﹤x ﹤0或0﹤x ﹤}【例29】函数3)(35-+-=cx bx ax x f ,)3(-f =7,则)3(f =_________【思考】1、已知二次函数y=x 2-2x-3,试问x 取哪些值时y=0?代数法:求方程x 2-2x-3=0的根,x 1=-1x 2=3几何法:求函数函数y=x 2-2x-3的图象与x 轴的交点的横坐标(-1,3),此时,-1与3也称为函数y=x 2-2x-3的零点[零点的定义:对于函数)(x f y =,我们把使)(x f =0的实数x 叫做函数)(x f y =的零点。

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