2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至5页.2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效.4. 考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限,则实数m 的取值范围是(A )()31-,(B )()13-,(C )()1,∞+(D )()3∞--,(2)已知集合{1,23}A =,,{|(1)(2)0}B x x x x =+-<∈Z ,,则AB =(A ){}1(B ){12},(C ){}0123,,,(D ){10123}-,,,, (3)已知向量(1,)(3,2)a m b =-,=,且()a b b +⊥,则m = (A )8- (B )6- (C )6 (D )8(4)圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-= 的距离为1,则a=(A )43- (B )34- (C )3 (D )2(5)如图,小明从街道的E 处出发,先到F 处与小红会合,再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(A )24 (B )18 (C )12 (D )9(6)右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为(A )20π (B )24π (C )28π (D )32π(7)若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度,则平移后图象的对称轴为 (A )()ππ26k x k =-∈Z (B )()ππ26k x k =+∈Z (C )()ππ212Z k x k =-∈ (D )()ππ212Z k x k =+∈ (8)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的2x =,2n =,依次输入的a 为2,2,5,则输出的s =(A )7 (B )12 (C )17 (D )34 (9)若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则sin 2α=(A )725(B )15(C )15-(D )725-(10)从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ,…,n x ,1y ,2y ,…,n y ,构成n 个数对()11,x y ,()22,x y ,…,(),n n x y ,其中两数的平方和小于1的数对共有m 个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π 的近似值为(A )4n m (B )2n m (C )4m n (D )2m n(11)已知1F ,2F 是双曲线E :22221x y a b-=的左,右焦点,点M 在E 上,1MF 与x 轴垂直,sin 2113MF F ∠= ,则E 的离心率为 (A(B )32(C(D )2 (12)已知函数()()R f x x ∈满足()()2f x f x -=-,若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点 为()11x y ,,()22x y ,,⋯,()m m x y ,,则()1mi i i x y =+=∑( )(A )0 (B )m (C )2m (D )4m第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22~24题为选考题,考生根据要求作答.(13)ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若4cos 5A =,5cos 13C =,1a =,则b = .(14)α,β是两个平面,m ,n 是两条线,有下列四个命题:①如果m n ⊥,m α⊥,n β∥,那么αβ⊥. ②如果m α⊥,n α∥,那么m n ⊥. ③如果a β∥,m α⊂,那么m β∥.④如果m n ∥,αβ∥,那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.(15)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是(16)若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线,也是曲线()ln 1y x =+的切线,b = .三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分12分)n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,且11a =,728S =.记[]lg n n b a =,其中[]x 表示不超过x 的最大整数,如[]0.90=,[]lg991=.(Ⅰ)求1b ,11b ,101b ;(Ⅱ)求数列{}n b 的前1000项和.(18)(本小题满分12分)某险种的基本保费为a (单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:(Ⅰ)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;(Ⅱ)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率; (Ⅲ)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.(19)(本小题满分12分)如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ,5AB =,6AC =,点E ,F 分别在AD ,CD 上,54AE CF ==,EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D EF '的位置OD '=(I )证明:D H '⊥平面ABCD ; (II )求二面角B D A C '--的正弦值.(20)(本小题满分12分)已知椭圆E :2213x y t +=的焦点在x 轴上,A 是E 的左顶点,斜率为(0)k k >的直线交E 于A ,M 两点,点N 在E 上,MA ⊥NA.(I )当4t =,AM AN =时,求△AMN 的面积; (II )当2AM AN =时,求k 的取值范围.(21)(本小题满分12分) (I)讨论函数2(x)e 2xx f x -=+的单调性,并证明当0x >时,(2)e 20;x x x -++> (II)证明:当[0,1)a ∈ 时,函数()2e =(0)x ax ag x x x--> 有最小值.设()g x 的最小值为()h a ,求函数()h a 的值域.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号 (22)(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图,在正方形ABCD ,E ,G 分别在边DA ,DC 上(不与端点重合),且DE =DG ,过D 点作DF ⊥CE ,垂足为F .(I) 证明:B ,C ,G ,F 四点共圆;(II)若1AB =,E 为DA 的中点,求四边形BCGF 的面积.(23)(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程 在直线坐标系xOy 中,圆C 的方程为()22625x y ++=.(I )以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C 的极坐标方程;(II )直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩(t 为参数),l 与C 交于A 、B 两点,10AB =l 的斜率.(24)(本小题满分10分),选修4—5:不等式选讲 已知函数()1122f x x x =-++,M 为不等式()2f x <的解集. (I )求M ;(II )证明:当a ,b M ∈时,1a b ab +<+.参考答案:1、解析:∴m+3>0,m –1<0,∴–3<m<1,故选A .2、解析:B={x|(x+1)(x –2)<0,x ∈Z}={x|–1<x<2,x ∈Z},∴B={0,1},∴A ∪B={0,1,2,3},故选C .3、解析: 向量a +b =(4,m –2),∵(a +b )⊥b ,∴(a +b )·b =10–2(m –2)=0,解得m=8,故选D .4、解析:圆x 2+y 2–2x –8y+13=0化为标准方程为:(x –1)2+(y –4)2=4,故圆心为(1,4),d=|a+4–1|a 2+1=1,解得a=–43,故选A .5、解析一:E→F 有6种走法,F→G 有3种走法,由乘法原理知,共6×3=18种走法,故选B .解析二:由题意,小明从街道的E 处出发到F 处最短有C 24条路,再从F 处到G 处最短共有C 13条路,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为C 24·C 13=18条,故选B 。
6、解析:几何体是圆锥与圆柱的组合体,设圆柱底面圆半径为r ,周长为c ,圆锥母线长为l ,圆柱高为h .由图得r=2,c=2πr=4π,由勾股定理得:l =22+(23)2=4,S 表=πr 2+ch+12c l =4π+16π+8π=28π,故选C .7、解析:由题意,将函数y=2sin2x 的图像向左平移π12个单位得y=2sin2(x+π12)=2sin(2x+π6),则平移后函数的对称轴为2x+π6=π2+kπ,k ∈Z ,即x=π6+kπ2,k ∈Z ,故选B 。
8、解析:第一次运算:s=0×2+2=2,第二次运算:s=2×2+2=6,第三次运算:s=6×2+5=17,故选C .9、解析:∵cos(π4–α)=35,sin2α=cos(π2–2α)=2cos 2(π4–α)–1=725,故选D .解法二:对cos(π4–α)=35展开后直接平方解法三:换元法10、解析:由题意得:(x i ,y i )(i=1,2,3,...,n)在如图所示方格中,而平方和小于1的点均在如图的阴影中由几何概型概率计算公式知π/41=m n ,∴π=4mn ,故选C .11、解析: 离心率e=F 1F 2MF 2–MF 1,由正弦定理得e=F 1F 2MF 2–MF 1=sinMsinF 1–sinF 2=2231–13=2.故选A .12、解析:由f(–x)=2–f(x)得f(x)关于(0,1)对称,而y=x+1x =1+1x 也关于(0,1)对称,∴对于每一组对称点x i +x'i =0,y i +y'i =2, ∴()111022m m mi i i i i i i mx y x y m ===+=+=+⋅=∑∑∑,故选B .13、解析:∵cosA=45,cosC=513,sinA=35,sinC=1213,∴sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=6365,由正弦定理:b sinB =a sinA ,解得b=2113.14、解析:对于①,m ⊥n ,m ⊥α,n ∥β,则α,β的位置关系无法确定,故错误;对于②,因为//n α,所以过直线n 作平面γ与平面β相交于直线c ,则n ∥c ,因为m ⊥α,∴m ⊥c ,∴m ⊥n ,故②正确;对于③,由两个平面平行的性质可知正确;对于④,由线面所成角的定义和等角定理可知其正确,故正确的有②③④.15、解析:由题意得:丙不拿(2,3),若丙(1,2),则乙(2,3),甲(1,3)满足;若丙(1,3),则乙(2,3),甲(1,2)不满足;故甲(1,3),16、解析:y=lnx+2的切线为:y=1x 1·x+lnx 1+1(设切点横坐标为x 1)y=ln(x+1)的切线为:y=1x 2+1·x+ln(x 2+1)–x 2x 2+1,∴⎩⎨⎧1x 1=1x 2+1lnx 1+1=ln(x 2+1)–x 2x 2+1解得x 1=12,x 2=–12。