解 如图建立坐标系，D为下半圆域， 水面高度 H=0，则由前面的公式， 水桶一端面所受的压力为：
y
P
g (0 y ) d
D
o
g
2 3
0
3
d r sin r d r
0
R
D
x
gR
同济六版290页，例4
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a b a
b
f (y) g(y)
( H y ) dx
O
x
g ( H y )[ f ( y ) g ( y )]d y P g ( H y )[ f ( y ) g ( y )] dy
a b
这就是计算水压力的定积分公式
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y
H
水面
b
x=g(y)
a
O

D
x=f(y)
x
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y
6.3 定积分的物理应用 9
则平板一侧所受的水压力
P
H
b
水面
g ( H y ) d
D
x=g(y)
a
D
x=f(y)
g dy
用二重积分来计算平板的水压力， 有时更方便。 最后，举例加以说明。

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6.3 定积分的物理应用 3
问题： 将一平板垂直地放入水中（如图）， 求平板一侧所受的水压力 P。 水面 水 平板

6.3 定积分的物理应用 10
下面举一个例子来说明以上公式的应用

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6.3 定积分的物理应用 11
例 一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶 水，设桶的底半径为 R ，水的密度为 ，计算 桶的一端面上所受的压力．
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6.3 定积分的物理应用 7
所以该面积元素所受到的水压力约为：
dP ( H y ) g d
（压力元素）
其中为水的密度，g为重力加速度。
于是整个平板一侧所受的水压力为：
水面 水 D
H

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6.3 定积分的物理应用 6
下面用元素法来建立水压力的二重积分公式。 在平板的(x,y)处取一个面积元素 d 它到水面的距离是 H y H 水面 水
d
( x, y )
D
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6.3 定积分的物理应用 4
下面用二重积分来计算平板所受水压力

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6.3 定积分的物理应用 5
如图建立坐标系。
设平板占据的区域为 D，水面高度为 H。
P
d P g ( H y ) d
D D
这就是计算水压力的二重积分公式
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6.3 定积分的物理应用 8
如果 D {( x , y ) | )}
6.3 定积分的物理应用 1
用二重积分推导水压力计算公式
King’s College
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6.3 定积分的物理应用 2
作为定积分的物理应用，平板所受 的水压力一般是用定积分来计算。
本课件用二重积分的元素法来推导 水压力的二重积分计算公式。