2018全国高中数学联赛安徽省初赛试卷
一、填空题(每题8分，共64分，结果须化简)
1、设三个复数1, i, z在复平面上对应的三点共线，且|z|=5，则z=
2、设n是正整数，且满足n5=438427732293，则n=
3、函数f(x) =sin(2x) + sin(3x) + sin(4x)的最小正周期=
4.设点P,Q分别在函数y=2x和y=log2x的图象上，则|PQ|的最小
值=
5、从1,2,…，10中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差s2≤1的概率=
6、在边长为I的正方体ABCD-A1B1C1D1内部有一小球，该小球与正方体的对角线
段AC1相切，则小球半径的最大值=
7、设H是△ABC的垂心，且3450
HA HB HC，则cos∠AHB=
8、把1，2，…,n2按照顺时针螺旋方式排成n行n列的表格T n，第一行是1,2,…,n.
例如：
3123 894 765
T设2018在T100的第i行第j列，则(i,j)= ·
二、解答题(第9-10题每题21分，第11-12题每题22分，共86分)
9、如图所示，设ABCD是矩形，点E, F分别是线段AD, BC的中点，点G在线段EF上，点D, H关于线段AG的垂直平分线L对称.求证:∠HAB=3∠GAB.
10、设O是坐标原点，双曲线C:上动点M处的切线交C的两条渐近线于A,B两点。

（1）减B两点:`(1)求证：△AOB的面积S是定值。

（2）求△AOB的外心P 的轨迹方程.
11、（1）求证：对于任意实数x,y,z都有: 222
y z xy yz zx.
x233
（2）是否存在实数k>3，使得对于任意实数x.y,z下式恒成立？
222
y z k xy yz zx，试证明你的结论.
x23
12.在正2018边形的每两个顶点之间均连一条线段，并把每条线段染成红色或蓝色.求此图形中三边颜色都相同的三角形的最小个数.
2018全国高中数学联赛安徽省初赛试卷
考试时间:2019年6月30日上午9:00
1.设三个复数1,i,z 在复平面上对应的三点共线，且
5z ，则z 4-3i,34i . 2.设n 是正整数，且满足5438427732293n
,则n 213. 3.函数sin2sin3sin4f x x x x 的最小正周期=2.
4.设点,P Q 分别在函数2x y
和2log y x 的图象上,则PQ 的最小值=1ln ln 2
2ln 2.
5、从1,2,,10中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差21s 的概率=1
15.
6、在边长为1的正方体1111ABCD A BC D 内部有一小球，该小球与正方体的对角
线段1AC 相切，则小球半径的最大值=4
65.
7、设H 是ABC 的垂心，且3450HA HB
HC ，则cos AHB 66. 8、把21,2,,n 按照顺时针螺旋方式排成
n 行n 列的表格n T ，第一行是1,2,,n .例如：312
389
4765T 设2018在100T 的第i 行第j 列，则,i j 34,95.
9、如图所示，设ABCD 是矩形，点,E F 分别是线段,AD BC 的中点，点G 在线
段EF 上，点,D H 关于线段AG 的垂直平分线L 对称.求证:3HAB GAB .
10、设O 是坐标原点，双曲线:
C 22221x y a b 上动点M 处的切线交C 的两条渐近
线于,A B 两点. (1)求证：ABC 的面积S 是定值;
（2）求AOB 的外心P 的轨迹方程.
11.（1）求证：对于任意实数,,x y z 都有:222233x y z xy yz zx ..
k，使得对于任意实数,,
（2）是否存在实数3
x y z下式恒成立？
222
x y z k xy yz zx
23
试证明你的结论.
标答：
12.在正2018边形的每两个顶点之间均连一条线段，并把每条线段染成红色或蓝色.求此图形中三边颜色都相同的三角形的最小个数.。