对数平均数不等式链的几何证明及变式探究
中学数学教育专家安振平在剖析2013年陕西高考数学压轴题时指出，其理论背景是： 设0b
a
，则2112
ln ln a b
b
a b
ab
a b a
a
b
，其中
ln ln a b
a b
--被称为“对数
平均数”.
安振平老师通过构造函数，借助导数，证明了上述对数平均数不等式链，难度较大.基于此，笔者进行了深入的探讨，给出对数平均数不等式链的几何证明，形象直观，易于理解.
1 对数平均数不等式链的几何证明
如图，先画反比例函数()()1
0f x x x
=
>的图象，再画其他的辅助线，其中AP BC TU KV ||||||，MN CD x ||||轴，(),0,A a 1,,P a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,0,,B b Q b b ⎛⎫
⎪⎝⎭,,T ab ab ⎛ ⎪
⎭.设函数()f x 在点2,2a b K a b +⎛⎫
⎪+⎝⎭
处的切线分别与直线,AP BQ 交于点,E F ，则根据左图可知：
因为ABNM ABQP
ABFE
S S S 矩形曲边梯形梯形，
所以
1
2ln ln b
a
dx b
a
b
a
x
a
b . ①
因为1ln ln ab AUTP
a
S dx ab a x 曲边梯形1
1
ln ln 2
2
ABQP b a S 曲边梯形， 1111222AUTP
ABCD
S ab
a
S a
ab
ab
梯形梯形，
而根据右图可知：AUTP AUTP S S 曲边梯形梯形，所以ln ln b a
ab
. ② 另外，根据ABQX
ABYP ABQP
ABQP
S S S S 矩形矩形曲边梯形梯形，可得：
11111ln ln 2b a b a
b a
b a b
a
b
a
. ③
综上，结合重要不等式可知：
211111ln ln 2b a b a
b a
b a
b a b
a b
a b
a
ab ，
即20112
ln ln a b
b a b
ab
a b a b a
a
b
. ④
2 对数平均数不等式链的变式探究
近年来，以对数平均数不等式链为落点的压轴试题层出不穷，如2010年湖北卷、2012年天津、2013年新课标Ⅰ、2014年陕西卷、2014福建预赛、2014年绵阳一、三诊、2015合肥最后一卷等等，因此关注对数平均数不等式链的变式探究是十分必要的.
为了行文叙述的方便，将对数平均数不等式链中的不等式
2
ln ln a b
b a
b a
，记为①式；将ln ln b a ab b a
，记为②式；将211ln ln b a b
b a
a
b
，记为③式.
变式探究1：取12,a x b x ==，则由①知：
1221
21
2ln ln +->-x x x x x x .于是，可编制如下试题：已知210>>x x
，求证：212112
2()ln ln -->
+x x x x x x .
变式探究2：取12,a x b x =
=，则由②知：
21
21
ln ln ->-x x x x 于是，可编制如下试题：已知
210>>x x ，求证：21ln ln -<
x x 变式探究3：取12,a x b x ==，则由③知：2122112
2
11
ln ln ->
>
-+x x x x x x x .于是，可编制如下试题：已知210>>x x ，求证：22
12121212
1ln ln 2--<-<
x x x x x x x x .
变式探究4：取121,1a x b x =+=+，则由①知：
122121(1)(1)(1)(1)
2ln(1)ln(1)
++++-+>
+-+x x x x x x .于是，可编制如下试题：对任意12,(1,)x x ∈-+∞，且12x x ≠，求证：
2112211ln(1)ln(1)2
-+<++-+x x x x
x x .
变式探究5：取121,1a x b x =+=+
，则由②知：
2121(1)(1)
ln(1)ln(1)
+-+>+-+x x x x 于是，可
编制如下试题：对任意12,(1,)x x ∈-+∞，且12x x ≠
，求证：
21
21ln(1)ln(1)
->+-+x x x x .
变式探究6：取121,1a x b x =+=+，则由③知：2122112(1)(1)
2111
ln(1)ln(1)
11
+-++>
>
+-++
++x x x x x x x .于
是，可编制如下试题：对任意12,(1,)x x ∈-+∞，且12x x ≠，求证：
2112221122(1)(1)
1ln(1)ln(1)2
-+++>
>+-+++x x x x x x x x x .
变式探究7：取121,1a x b x =-=-，则由①知：
122121(1)(1)(1)(1)
2ln(1)ln(1)
-+---->---x x x x x x .于是，可
编制如下试题：对任意12,(1,)x x ∈+∞，且12x x ≠，求证：
2112211ln(1)ln(1)2
-+<----x x x x
x x .
变式探究8：取121,1a x b x =-=-
，则由②知：
2121(1)(1)
ln(1)ln(1)
--->---x x x x 于是，可
编制如下试题：对任意12,(1,)x x ∈+∞，且12x x ≠
，求证：
21
21ln(1)ln(1)
->---x x x x 变式探究9：取121,1a x b x =-=-，则由③知：2122112(1)(1)
2111ln(1)ln(1)
11
---->
>
---+
--x x x x x x x .于是，
可编制如下试题：对任意12,(1,)x x ∈+∞，且12x x ≠，求证：
211222112(1)(1)2(1)(1)
1ln(1)ln(1)2
------>
>---+-x x x x x x x x x .
变式探究10：取1
2
,x x a e b e ==，则由①知：1221
21
2+->
-x x x x e e e e x x .于是，可编制如下试题：对任意
12,x x ∈R ，且21>x x ，求证：21
12
212-->+x x x x x x e e e e
. 变式探究11：取1
2
,x x a e b e ==
，则由②知：21
21
->-x x e e x x 于是，可编制如下试题：对任意
12,x x ∈R ，且21>x x ，求证：()()12212
2
21+-<-x x x x x x e e e .
变式探究12：取1
2
,x x a e b e ==，则由③知：212
12
21
2
11->>-+x x x x x e e e x x e e .于是，可编制如下试题：对任意12,x x ∈R ，且21>x x ，求证：2112112
2
12122121
2211+--->>⇔<<-++-x x x x x x x x x x x x e e e e e e x x e e e e x x .
…… ……
总之，对数平均数不等式链的运用是近几年数学竞赛、名校模拟数学试题、高考数学真题的理论背景，正如陕西师范大学罗增儒教授所言：我们可以通过有限的典型考题的学习，去领悟那种解无限道题的数学机智.这里的领悟解题的数学机智从某种意义上说就是对问题本质的理解，而对问题本质的发现还在于我们对问题信息的审视和挖掘.水有源，题有根，茫茫题海，寻觅其根源，领悟其通性通法，方是提升数学思维素养的有效途径.。