对数平均不等式1.定义：设,0,,a b a b >≠则2ln ln a b a ba b+->>-ln ln a b a b --被称为对数平均数2.几何解释： 反比例函数()()10f x x x=>的图象，如图所示，AP BC TU KV ||||||，MN CD x ||||轴， (),0,A a 1,,P aa ⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,0,,Bb Q b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭,,T 作()f x 在点2,2a b K a b +⎛⎫⎪+⎝⎭处的切线分别与,AP BQ 交于,E F ，根据左图可知，因为ABNM ABQPABFES S S 矩形曲边梯形梯形，所以12ln ln ,b adx b ab a xab① 又1ln ln ab AUTPaS dx aba x曲边梯形，11ln ln 22ABQP b a S 曲边梯形， 11111222AUTPABCD b a S abaS aabab梯形梯形， 根据右图可知，AUTP AUTP S S 曲边梯形梯形 ，所以ln ln bab aab， ②另外，ABQXABYP ABQPABQPS S S S 矩形矩形曲边梯形梯形，可得：11111ln ln ,2b a bab ab a baba③综上，结合重要不等式可知：211111ln ln 2b a ba b ab ab ab aba ba baab ，即20112ln ln a bb a baba b a b aab. ④等价变形： )0.()(2ln ln >≥+-≥-b a ba b a b a)0.(ln ln >≥-≤-b a ab b a b a 3.典例剖析对数平均数的不等式链，提供了多种巧妙放缩的途径，可以用来证明含自然对数的不等式问题．对数平均数的不等式链包含多个不等式，我们可以根据证题需要合理选取其中一个达到不等式证明的目的． （一） 0ln ln b aba ab a的应用例1 （2014年陕西）设函数)1ln()(x x f +=，()()g x xf x '=其中()f x '是)(x f 的导函数．（1）（2）（略） （3）设+∈N n ，比较()()()12g g g n +++与()n f n -的大小，并加以证明．解析 （3）因为()1xgx x=+， 所以()()()1211112231231n gg g n n n n ⎛⎫+++=+++=-+++⎪++⎝⎭， 而()()ln 1n f n n n -=-+，因此，比较()()()12g g g n +++与()n f n -的大小，即只需比较113121++++n 与()ln 1n +的大小即可． 根据0b a 时，ln ln b abb a，即1ln ln ,b a b a b令,1,an b n 则1ln 1ln ,1n n n所以1ln 2ln1ln 22<-=，1ln 3ln 23<-，1,ln(1)ln 1n n n <+-+，将以上各不等式左右两边相加得：()111ln 1231n n +++<++， 故()()()()12gg g n n f n +++>-.评注 本题是高考试题的压轴题，难度较大，为了降低试题的难度采取多步设问，层层递进，上问结论，用于下问，其第二问是为第三问做铺垫的“梯子”，尽管如此，步骤依然繁琐，求解过程复杂，但我们这里应用对数平均数不等式链来证明，思路简捷，别具新意，易于学生理解、掌握． 当0ba 时，ln ln b a a b a，即1ln ln ,b ab a a令,1,a n bn则1ln 1ln ,n n n可得：111ln 1123n n. （二）2202ln ln b b abab a的应用例2 设数列{}n a 的通项n a =，其前n 项的和为n S ，证明：()ln 1nS n <+．解析 根据0b a 222ln ln b b ab a，即222ln ln b a b aab，令1,,b n an 则222ln 1ln 1n nnn 22221n n22222n a nn ，易证()ln 1n S n <+．（三）2ln ln a bb aba b a的应用例3. 设数列{}n a 的通项111123na n=++++，证明：()ln 21n a n <+． 解析 根据0ba 时，2ln ln a bb ab a，即2ln ln b a b aa b，令21,21,bn a n 则1ln 21ln 21n n n，易证()ln 21n a n <+． （四）2011ln ln b a b a b aab的应用例 4. （2010年湖北）已知函数b f x axc a x的图象在点1,1f 处的切线方程为1y x ．（1）用a 表示出,b c ；（2）（略）（3）证明：1111ln 11.2321nn nnn解析 （1）1,12b a c a ；（3）当0b a 时，211ln ln b a b aab，即111ln ln 2b ab aa b，令,1,a n b n 则111ln 1ln ,21n nn n所以111ln 2ln1,212111ln 3ln 2,223，111ln 1ln ,21n nnn 将以上各不等式左右两边分别相加得：111111ln 1,223421n n n即111111ln11,234212n nn 故1111ln 1.2321nn nn（五）ln ln b a ab b a b a的应用例5. （2014福建预赛）已知1()ln(1)311f x a x x x =+++-+． （1）（略） （2）求证：()222223411ln 21411421431414n n n +++++>+⨯-⨯-⨯-⨯-对一切正整数n 均成立．解析 （2）根据0ba 时，ln ln b a ab b a，即ln ln ,b ab aab 令21,21,b n a n 则22ln 21ln 21,41n n n变形可得：2222111142ln 21ln 21,4414141n n n n n n n 则 212ln 3ln1,4411213ln 5ln 3,,4421211ln 21ln 21,441n n n n 将以上各不等式左右两边相加得： 222223411ln(21)411421431414n n n +++++>+⨯-⨯-⨯-⨯-对一切正整数n 均成立． 评注 本题提供标准答案是借助于第一问的a的最小值2a =-时，12ln(1)3101x x x -+++->+,即()1312ln 11x x x +->++，结合待证不等式的特征， 令()2*21x k N k =∈-，得122312ln(1)22121121k k k +⨯->+--+-， 整理得：288212ln 4121k k k k ++>--，即()()211ln 21ln 21414k k k k +>+--⎡⎤⎣⎦-,借此作为放缩的途径达到证明的目的．你能注意到两种方法的区别吗？对数平均数的不等式链的运用是近几年数学竞赛、名校模拟数学试题、高考数学真题的理论背景，正如罗增儒教授指出：通过有限的典型考题的学习去领悟那种解无限道题的数学机智.这里的领悟解题的数学机智从某种意义上说就是对问题本质的理解，而对问题本质的发现还在于我们对问题信息的审视和挖掘，水有源，题有根，茫茫题海，寻觅其根源，领悟其通性通法方是提升数学素养的途径. 强化训练1. （2012年天津）已知函数()()()ln 0f x x x a a =-+>的最小值为0．（1）（2）（略）（3）证明：()()12ln 212*.21ni n n N i =-+<∈-∑解析 （3）易求1a=，待证不等式等价于()2222ln 2135721n n ++++<+-．根据0b a 时，ln ln b abb a ，即1ln ln ,b a b a b令21,21,a n b n 则22ln 21ln 21,21121n n n n2ln 3ln1,32ln 5ln 3,52ln 7ln 5,,72ln 21ln 21,211n n n 将以上各不等式左右两边分别相加得：()22222ln 213572121n n n +++++<+-+，()122ln 21222121ni n i n =-+<-<-+∑.得证. 2.（2013年新课标Ⅰ）已知函数()()()1ln 11x x f x x xλ+=+-+．（1）若0x ≥时, ()0,f x ≤求λ的最小值；（2）设数列{}n a 的通项111123na n =++++，证明：21ln 24n na a n-+>． 解析 （1）易得()()()221200,(1)x x f f x x λλ--'==+．令()0,f x '=则120,,x x λλ-==若0λ<，则当0x >时，()()0,f x f x '>是增函数，()()00,f x f >=不符合题意；若102λ≤<，则当120x λλ-≤<时，()()0,fx f x '>是增函数，()()00,f x f >=不符合题意；若12λ≥，则当0x >时，()()0,f x f x '<是减函数，()()00,f x f ≤=符合题意；综上，λ的最小值是12． （2) 当0b a时，211ln ln b ab aab，即111ln ln 2bab aa b，令,1,a n b n 则111ln 1ln ,21n n nn所以111ln 1ln ,21n n nn 111ln 2ln 1,212n n n n111ln 3ln 2,223n n n n111ln 2ln 21,2212n n n n 将以上各不等式左右两边分别相加得： 1122221ln 2ln ,2123212n nn n nn n n即111111ln 2,2123214nn nn n n故1111ln 21224n n n n++++>++． 评注 本题提供标准答案是借助于第一问的λ的最小值12λ=时，()()()2ln 1022x x x x x++<≥+加以赋值，并进行变形，令1x k=，有()121111ln 12121k k k k k k +⎛⎫⎛⎫+<=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，亦即()111ln 1ln 21k k k k ⎛⎫+-<+ ⎪+⎝⎭达到放缩的目的.两者相比较，自然是运用对数平均值的不等式链的方法简捷.。