专题8对数平均不等式的应用两个正数a 和b 的对数平均定义：(),(,)ln ln ().a ba b L a b a ba ab -⎧≠⎪=-⎨⎪=⎩对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：(,)2a bab L a b +≤≤（此式记为对数平均不等式）取等条件：当且仅当a b =时，等号成立．只证：当a b ≠时，(,)2a b ab L a b +<<，可设a b >.（I）先证：(,)ab L a b <……①不等式①1ln ln ln 2ln (1)a b a a b aa b x x x bbaxbab-⇔-<⇔<-⇔<-=>其中构造函数1()2ln (),(1)f x x x x x =-->，则22211()1(1)f x x x x'=--=--.因为1x >时，()0f x '<，所以函数()f x 在(1,)+∞上单调递减，故()(1)0f x f <=，从而不等式①成立；（II ）再证：(,)2a b L a b +<②不等式②2(1)2()2(1)ln ln ln ln (1)(1)(1)a a b a x a b a b x x a a b b x bb---⇔->⇔>⇔>=>+++其中构造函数2(1)()ln ,(1)(1)x g x x x x -=->+，则22214(1)()(1)(1)x g x x x x x -'=-=++.因为1x >时，()0g x '>，所以函数()g x 在(1,)+∞上单调递增，故()(1)0g x g <=，从而不等式②成立；综合（I ）（II ）知，对,a b R +∀∈，都有对数平均不等式(,)2a bab L a b +≤≤成立，当且仅当a b =时，等号成立．【例1】（2010•天津卷）已知函数x xe x f -=)(，如果21x x ≠且)()(21x f x f =，证明：221>+x x ．解：212121,00),()(x x x x x f x f ≠>>∴=， ，（请读者自己证明）秒杀秘籍利用定积分秒杀对数平均不等式证明如右图1所示，在反比例函数()xx f 1=上任取两点⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛b b B a a A 1,,1,，点⎪⎭⎫⎝⎛++b a b a C 2,2为AB 在双曲线上的中点，x AA ⊥1轴交其于1A ，x BB ⊥1轴交其于1B ，过C 作双曲线切线交1AA 和1BB 于E D ,两点，根据()a b b a dx x S S ba A DEB A ACBB -⋅+>⇒>⎰211111，即2ln ln ba ab a b +<--如右图2所示，在()x x f 1=上任取两点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛b b B a a A 1,,1,，x AA ⊥1轴交其于1A ，x BB ⊥1轴交其于1B ，根据1111A ABB A ABB S S 曲>()()aba b a b a b a b dx x b a2ln ln212111-<-⇒-⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛+<⎰，即abab ab >--ln ln22112121ln ln ln ln 2121x x x x e x e x e x e x x x x x -=-⇒=⇒=∴----，整理可得1ln ln 2121=--x x x x 2ln ln ba b a b a +<--，⇒+<=--∴21ln ln 212121x x x x x x 即221>+x x 【例2】已知21-=)(的两个零点，且210（1）求a 的取值范围；（2）求证：0212x x x <+；（3）求证：221>+x x ；（4）求证：121<⋅x x .解：（1）()()0ln 00>=⇒=-='a a x a e x f x ，故()x f 在区间()↓∞-a ln ,，在区间()↑+∞,ln a ，若ax e x f x -=)(有两个零点，则()1ln 0ln ln ln >⇒<-=a a a e a f a ，即e a >；（2）构造函数)2()()(0x x f x f x F --=，则2ln 0')'()'(2)2x a x F x f x f x x e e a -=+-=+-（，当a x ln <时，022)('ln 2=->a x F ea则()↑x F ；得()0ln )(=<a F x F ,()()()x x f x f a F x F -<∴=<02,0ln )(，其中0x x <；将1x 代入不等式得,2,,),2)(010*******x x x x x x x x x f x f >->>-=又（)(x f 在()+∞,0x 上↑，故1022x x x -<，即1202.x x x +<（3）（4）：又121200x x e ax e ax ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩1122(1)(2)x lna lnx x lna lnx =+⎧∴⎨=+⎩(1)(2)-得1212x x lnx lnx -=-1212121212x x x x x x lnx lnx +-∴>=>-122x x ∴+>，121x x <第（2）问也可以通过第（3）问结论用对数平均不等式秒杀，（1）+（2）得：12120222x x lna lnx x lna x +=+<=若出现a x x >+21或者b x x <⋅21时，属于正常的作差代换，构造出2ln ln 21212121x x m x x x x x x +<=--<，由模型一即可秒杀，遇到a x x <+21或者b x x >⋅21时，属于对数平均不等式反向，这就需要将两式相减先构造对数平均不等式，再相加实现和积互换，从而达到证明反向不等式．【例3】已知函数ln ()f x x=，如果12x x <且12()()f x f x =，求证：212x x e ⋅>．证明：因为12()()f x f x =，所以可设1212ln ln x x m x x ==∴1112ln ln (1)(2)x m x m x x =⎧⎨=⎩ （1）+（2）得1212ln ln ()(3)x x m x x +=+ ；（1）-（2）得1212ln ln ()x x m x x -=-1212ln ln x x m x x -∴=-，代入（3）得mx x x x m x x x x 2ln ln 21ln ln 21212121+=+<=--，2ln ,2ln ln 12121>∴+<∴x x m x x m ，综上212x x e ⋅>．1，2，求证：120x x +<．证明：令11ln()mx x m =+（1）22ln()mx x m =+（2）12121212(+)1ln()ln()ln()ln()x x x m x m m x m x m x m x m -+-∴==+-++-+）（121()(+)x m x m m∴>+，1221()(+)x m x m m ∴+<再由1212121212121ln()ln()ln()ln()ln()ln()x x x x x x x m x m x m x m x m x m m+-====++++++-+得：121212ln()ln()ln()(+)x m x m x m x m x x m m+++++==21lnln 20m m m m<=-<，（m >1）∴120x x +<题型三中点导数问题点差法题目给到()122102x x x x x >+=，涉及证明()00<'x f 或者()00>'x f 时，利用分析法执果索因，将式子证明最后转交给对数平均不等式，方法类似圆锥曲线点差法（作差，同除()12x x -，取中点）；当出现03221<⎪⎭⎫⎝⎛+'x x f 、()⎪⎭⎫ ⎝⎛<<<⎪⎭⎫ ⎝⎛-+'12103121αααx x f 之类题型时，要转化为02322121<⎪⎭⎫ ⎝⎛+'<⎪⎭⎫ ⎝⎛+'x x f x x f ，也属于对数点差法系列．【例5】（2011•辽宁卷）已知函数2()ln (2)f x x ax a x =-+-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若函数()y f x =的图像与x 轴交于,A B 两点，线段AB 的中点的横坐标为0x ，证明：0()0f x '<．解：（1）略．（2）()()000122f x ax a x '=-+-，由12()()0f x f x ==21112222ln (2)0(1)ln (2)0(2)x ax a x x ax a x ⎧-+-=⎪⇔⎨-+-=⎪⎩()22121212(1)(2):ln ln ()2()x x a x x a x x --=-+--，同除以()12x x -得，()()121212ln ln 20x x a x x a x x --++-=-要证0()0f x '<，只需证()()()012012122220ax a a x x a x x x -+-=-++-<+；只需证()()()()1121221122ln ln 222a x x a a x x a x x x x x x --++-<-++--+；根据对数平均不等式1212122x x x xlnx lnx +->-，故原命题得证．【例6】（2018•全国卷I ）已知函数()1ln f x x a x x=-+.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：()()12122f x f x a x x -<--．解：（1）略。

（2）()2221110a x ax f x x x x-+-'=--+==，即210x ax -+-=，故1212,1x x a x x +==；要证()()12122f x f x a x x -<--，只需证1122121211ln ln 2x a x x a x x x a x x -+-+-<--，只需证1212121211ln ln 12x x a x a x a x x x x ---+<---，只需证()121212ln ln 112a x x a x x x x ---+<--，只需证1212ln ln 1x x x x -<-，由于1212121ln ln x x x x x x ->=-，故命题得证．题型四作差求和取对数三板斧非一次函数的形式，由x e 与二次函数2ax bx c ++混合的函数，先作差得出()1212b a x x x x a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，再两边取对数，构造对数平均不等式，在证明12b x x a +>-或者12b x x a+<-，往往用反证法减少运算；对于ln x x 这类不好分离的式子，又要和差齐下。