中国矿业大学徐海学院2008－2009学年第二学期 《高等数学》试卷（B ）卷（较高要求层次） 考试时间：120分钟 考试方式：闭卷班级： 姓名： 学号：一、选择题（每小题3分，共计15分）1.函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=⎧⎨⎪⎩⎪222222000，下面说法正确的是____________.AA .处处连续B .处处有极限，但不连续C .仅在（0,0）点连续D .除（0,0）点外处处连续2. 曲线x t y t z t ===,,42在点(,,)4816处的法平面方程为_____________. BA .x y z --=-8132B .x y z ++=8140C .1248=+-z y xD .x y z +-=81163. 已知曲线)(x y y =经过原点，且在原点处的切线与直线062=++y x 平行，而)(x y 满足微分方程052=+'-''y y y，则曲线的方程为=y _____________.AA .x e x 2sin -B .)2cos 2(sin x x e x -C .)2sin 2(cos x x e x -D .x e x 2sin4. 若区域D 为222x y x +≤，则二重积分(Dx y +⎰⎰化成累次积分为__________. DA.2cos 202(cos sin d πθπθθθ-+⎰⎰;B.2cos 30(cos sin )d r dr πθθθθ+⎰⎰;C. 2cos 3202(cos sin )d r dr πθθθθ+⎰⎰;D.2cos 3202(cos sin )d r dr πθπθθθ-+⎰⎰.5、设0lim =∞→n n nu , 则∑∞=1n n u _____________.CA .收敛；B .发散；C .不一定；D .绝对收敛。

二、填空题（每小题3分，共计15分）1．设f x y x y (,)=+22，则f y (,)01=____________ .12．设⎰⎰=202),(x xdy y x f dx I ，交换积分次序后，=I 。

（⎰⎰⎰⎰+202/4222/),(),(y y y dx y x f dy dx y x f dy ）3. 曲线x e y t z t t ===22,ln ,在对应于t =2点处的切线方程是____________.x eey z +=+-=442122124ln4. 若区域D 为20,2y x x ≤≤≤, 则2Dxy dxdy =⎰⎰__________.0 5.设函数z z x y =(,)由方程xy z x y z 2=++所确定，则∂∂zy = ____________.2112xyz xy -- 三、计算题（共46分）1.（6分）设z f x u v u x y v xy f ==+=(,,),,,2具有一阶连续偏导数，求∂∂∂∂z x z y, ()1232zf f yf x∂'''=++∂……………….（3） ()23zf xf y∂''=+∂……………….（3） 2. 判别下列级数的敛散性.1211(1) (2)(1)(1)!n n n n n ∞∞==+-∑∑解（1）()2341ln ln ln ln123(ln 2ln1)(ln 3ln 2)ln(1)ln ....................ln(1)(..................n n S nn n n n +=++++=-+-+++-=+→∞→∞ （2分））（2分）所以级数发散。

（2）由比值审敛法111!0(..................1(1)!n nu n n u n n +==→→∞-）（4分）所以级数收敛。

3. （8分）计算⎰ABxdy ,其中曲线AB 是半径为r 的圆在第一象限部分.解 引入辅助曲线L , BO AB OA L ++=，……………….（2） 应用格林公式, x Q P ==,0 有⎰⎰⎰=-LDxdy dxdy ,⎰⎰⎰++=BOABOAxdy xdy xdy (3),0,0==⎰⎰BO OAxdy xdy 由于 .412r d x d y x d y DAB π-=-=∴⎰⎰⎰ ……………….（3） 4. （8分）计算二重积分⎰⎰=Dyd x I σ2，其中D 为直线x y =与抛物线2x y =所围成的区域。

解 x y =与2x y =的两个交点是（0，0），（1，1），画出区域D 的图形，区域D 可表示成x y x x ≤≤≤≤2,10， (3)因而⎰⎰⎰==10102222221dx y x ydy x dx I x x x x ……………….（3） 351)7151(21)(2110751064=-=-=⎰x x dx x x ……………….（2） D5. （8分）计算二重积分22d d ,xy De x y --⎰⎰其中222:.D x y a +≤解: 在极坐标系下，0:,02r aD θπ≤≤⎧⎨≤≤⎩故………………（1分） 2d d ...................r De r r θ-=⎰⎰原式（2分）222200d d ...................12.........................2(1)....................ar ar a re r e eπθππ---=-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦=-⎰⎰（2分）（2分）（1分）6.求微分方程1'''2+=+x y y 的通解.解. 特征方程为 02=+λλ, 1021-==λλ，……………….（2） 齐次方程通解为 21c e c y x +=-非齐次方程特解为 )(*2C Bx Ax x y ++= (1)代入原方程解得3131=-==C B A ，，. (2)所以 x x x y 331*23+-= (2)非齐次方程通解为 *y y y +=21c e c x +=-x x x 33123+-+ (1)四、综合题（共24分）1.（12分）在第一卦限内作椭球面2222221x y z a b c++=的切平面使与三坐标面围成的四面体体积最小,并求此体积. 解：设000(,,)P x y z 为椭, 令222222(,,)1x y z F x y z a b c=++-,则022|x P x F a '=，022|y P y F b '=，022|z P z F c'=………………（2分） 过000(,,)P x y z 的切平面方程为002()x x x a -+002()y y y b -+002()0z z z c-= 化简为 0002221x x y y z z a b c⋅⋅⋅++=……（2分） 该切平面在三个轴上的截距各为 20a x x =，20b y y =，2c z z =,所围四面体的体积 222000166a b cV xyz x y z==…（2分）在条件2220002221x y z a b c++=下求V 的最小值,令 000ln ln ln ,u x y z =++000(,,)G x y z 000ln ln ln x y z =+++222000222(1)x y z a b cλ++-,…（2分）由0002220002220,0,010x y z G G G x y y ab c '''===⎧⎪⎨++-=⎪⎩, 0202002022200022221021021010x x a y y b z z c x y z a b c λλλ⎧+=⎪⎪⎪+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎪⎪++-=⎪⎩0x =，0y =，0z =…（3分）当切点坐标为)时,四面体的体积最小min 2V =.…………（1分） 2.（12分）设(),f x y 为连续函数且()(),,Df x y xy f u v d σ=+⎰⎰， 其中D ：20,,1y y x x ===所围闭区域，证明：()1,8Df x y dxdy =⎰⎰ 解：(1)画出积分区域D (3)(2) 二重积分是一个确定常数(,)Df x y dxdy A =⎰⎰f xy A =+故有（x,y ）……………….（4） (3)A ＝21()()x Dxy A d dx xy A dy σσ+=+⎰⎰⎰⎰＝22212x x Dy x dx A ydx σ⋅+⎰⎰⎰＝5311123123x x Adx A +=+⎰⎰移项 得 A ＝18 故()1,8Df x y dxdy =⎰⎰ (5)。