第二学期期末考试试卷一、 填空题(每空 3 分，共 15 分)1. 已知向量()1,1,4ra =-,()3,4,0rb =,则以r a ,r b为边的平行四边形的面积等于.2. 曲面sin cos z x y =在点1,,442ππ⎛⎫⎪⎝⎭处的切平面方程是.3. 交换积分次序()220,x dx f x y dy =⎰⎰.4. 对于级数11n n a∞=∑（a ＞0），当a 满足条件时收敛. 5. 函数12y x=-展开成x 的幂级数为.二、 单项选择题 (每小题3分,共15分)1. 平面20x z -=的位置是 （ ） （A ）通过y 轴 （B ）通过x 轴 （C ）垂直于y 轴 （D ）平行于xoz 平面2. 函数(),z f x y =在点()00,x y 处具有偏导数()00,x f x y '，()00,y f x y ',是函数在该点可微分的（ ）（A ）充要条件 （B ）充分但非必要条件 （C ）必要但非充分条件 （D ）既非充分又非必要条件3. 设()cos sin x z e y x y =+，则10x y dz ===（ ）（A ）e （B ）()e dx dy +（C ）1()e dx dy -+ （D ）()x e dx dy + 4. 若级数()11nn n a x ∞=-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）（A ）敛散性不确定 （B ）发散 （C ）条件收敛 （D ）绝对收敛 5. 微分方程y xy x '-=的通解是（ ） （A ）2121x y e=- （B ）2121x y e-=- （C ）212x y Ce-= （D ）2121x y Ce=-三、(本题满分8分)设平面通过点()3,1,2-，而且通过直线43521x y z-+==， 求该平面方程． 四、(本题满分8分)设(),z f xy x y =+，其中(),f u v 具有二阶连续偏导数， 试求z x ∂∂和2zx y∂∂∂．五、(本题满分8分)计算三重积分y zdxdydz Ω=⎰⎰⎰，其中(){},,01,11,12x y z x y z ≤≤-≤≤≤≤．六、(本题满分8分)计算对弧长的曲线积分L ⎰，其中L 是圆周222x y R +=在第一象限的部分．七、(本题满分9分)计算曲面积分3Òxdydz zdzdx dxdy ∑++⎰⎰，其中∑是柱面221x y +=与平面0z =和1z =所围成的边界曲面外侧．八、(本题满分9分)求幂级数11n n nx ∞-=∑的收敛域及和函数．九、(本题满分9分)求微分方程4x y y e ''-=的通解．十、(本题满分11分)设L 是上半平面()0y >的有向分段光滑曲线， 其起点为()1,2，终点为()2,3， 记2221L x I xy dx x y dy y y ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰1．证明曲线积分I 与路径L 无关； 2．求I 的值．第二学期期末考试试卷及答案一、 填空题(每空 3 分，共 15 分)1. 已知向量()1,1,4ra =-,()3,4,0rb =,则以r a ,r b为边的平行四边形的面积等于.2. 曲面sin cos z x y =在点1,,442ππ⎛⎫⎪⎝⎭处的切平面方程是210x y z --+=.3. 交换积分次序()220,x dx f x y dy =⎰⎰()20,ydy f x y dx⎰⎰.4. 对于级数11n n a∞=∑（a ＞0），当a 满足条件1a >时收敛.5. 函数12y x=-展开成x 的幂级数为()10222n n n x x ∞+=-<<∑.二、 单项选择题 (每小题3分,共15分)1. 平面20x z -=的位置是 （ A ） （A ）通过y 轴 （B ）通过x 轴 （C ）垂直于y 轴 （D ）平行于xoz 平面2. 函数(),z f x y =在点()00,x y 处具有偏导数()00,x f x y '，()00,y f x y ',是函数在该点可微分的（ C ）（A ）充要条件 （B ）充分但非必要条件 （C ）必要但非充分条件 （D ）既非充分又非必要条件 3. 设()cos sin x z e y x y =+，则10x y dz ===（ B ）（A ）e （B ）()e dx dy + （C ）1()e dx dy -+ （D ）()x e dx dy + 4. 若级数()11nn n a x ∞=-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ D ）（A ）敛散性不确定 （B ）发散（C ）条件收敛 （D ）绝对收敛 5. 微分方程y xy x '-=的通解是（ D ） （A ）2121x y e=- （B ）2121x y e-=- （C ）212x y Ce-= （D ）2121x y Ce=-三、(本题满分8分)设平面通过点()3,1,2-，而且通过直线 43521x y z-+==，求该平面方程． 解: 由于平面通过点()3,1,2A -及直线上的点()4,3,0B -， 因而向量()1,4,2AB →=-平行于该平面。

该平面的法向量为: (5,2,1)(1,4,2)(8,9,22).rn =⨯-=--则平面方程为: 8(4)9(3)22(0)0.x y z --+--= 或： 8(3)9(1)22(2)0.x y z ----+= 即： 8922590.x y z ---= 四、(本题满分8分)设(),z f xy x y =+，其中(),f u v 具有二阶连续偏导数， 试求z x ∂∂和2z x y∂∂∂．解: 12zf y f x∂=+∂, ()212z f y f x y y∂∂=+=∂∂∂()111212122f x f y f f x f =++++=()1112122xyf x y f f f =++++ 五、(本题满分8分)计算三重积分y zdxdydz Ω=⎰⎰⎰，其中(){},,01,11,12x y z x y z ≤≤-≤≤≤≤．解:221121111232g gzzdxdydz dx dyzdz -Ω===⎰⎰⎰⎰⎰⎰六、(本题满分8分)计算对弧长的曲线积分L ⎰，其中L 是圆周222x y R +=在第一象限的部分． 解法一:L =⎰0Re arcsin Re 2RRRRR Rx eR π===⎰解法二:L =⎰g RRLe ds e L ==⎰（L 的弧长）Re 2R π=解法三: 令cos x R θ=，sin y R θ=，02πθ≤≤，L =⎰2Re 2RR e Rd ππθ==⎰七、(本题满分9分)计算曲面积分3Òxdydz zdzdx dxdy ∑++⎰⎰，其中∑是柱面221x y +=与平面0z =和1z =所围成的边界曲面外侧．解: P x =,Q z =,3R =,由高斯公式：3Òxdydz zdzdx dxdy ∑++=⎰⎰P Q R dv dv x y z πΩΩ⎛⎫∂∂∂=++== ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰八、(本题满分9分)求幂级数11n n nx ∞-=∑的收敛域及和函数．解: 收敛半径：1lim1nn n a R a →∞+== 易判断当1x =±时，原级数发散。

于是收敛域为()1,1- ()()1211111n n n n x s x nxx x x ∞∞-==''⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭-∑∑九、(本题满分9分)求微分方程4x y y e ''-=的通解． 解:特征方程为：240r -=特征根为：2r =,2r =-40y y ''-=的通解为：2212x x Y C e C e -=+设原方程的一个特解为：x y Ae *=,()4xxA A e e -= 31A -= 13A =-∴原方程的一个特解为：13xy e *=-故原方程的一个通解为：221213xxxy Y y C eC ee *-=+=+- 十、(本题满分11分)设L 是上半平面()0y >的有向分段光滑曲线， 其起点为()1,2，终点为()2,3， 记2221L x I xy dx x y dy y y ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰1．证明曲线积分I 与路径L 无关； 2．求I 的值．证明1:因为上半平面G 是单连通域，在G ： ()21,P x y xy y =+，()22,x Q x y x y y=- 有连续偏导数，且：212P xy y y ∂=-∂，212Q xy x y∂=-∂，P Q y x ∂∂=∂∂。

所以曲线积分I 与路径L 无关。

解2: 设()1,2A ，()2,3B ，()2,2C ，由于曲线积分I 与路径L 无关，故可取折线路径：A C B →→。

2221L x I xy dx x y dy y y ⎛⎫⎛⎫=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰2221AC x xy dx x y dy y y ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰2221CB x xy dx x y dy y y ⎛⎫⎛⎫+++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰2321212974426x dx y dy y ⎛⎫⎛⎫=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰。