解：（1）先求
显然
随机变量 的可能取值只有0，1两种可能，于是
所以
再求F（x,1）
显然
所以
(2)计算
于是
3．设随机过程 共有三条样本曲线
且 试求随机过程 数学期望EX(t)和相关函数Rx(t1,t2)。
解：数学期望
相关函数
4．设随机过程
其中X是具有分布密度f(x)的随机变量。试求X(t)的一维分布密度。
因此 的数字期望为：
当 时
求其协方差函数：
当 且 时
当 且 时
当 但 即 时
类上当 时
当 时
当 时
13．设随机过程 （随机变量），向 ， ，试求 的数字期望和协方差。
解：
14．设随机过程 ，向随机矢量 的协方差阵为 ，试求 的协方程函数。
解：
而
15．设随机过程 其中X，Y，Z只是相互独立的随机变量，各自的数学期望的0，方差为1，试求 的协方差函数。
（4）Yn的相关函数RY（n, m）。
解：（1）∵Y1=X1故概率分布则为
（2）∵ 可能的取值为0或2，-2
=
（3） 的数字期望为
（4）自样关函数
当m≥n时
∵ （ 相互独立）
∵
∴
∴ 当m≥n时
8．设随机过程 的数字期望为 协方差为 ，而 是一个函数。试求随机过程 的数字期望和协方差函数。
解：随机过程 的数字期望为
（1）
证明：
（2）若 是常数，则
证明：
=
20．设 是均方可导的随机过程，试证
这里 是区间 上的连续函数
证明：只要证
由于
即 [证毕]
其中0<p<1。试求X(t)的一维和二维分布，并求x(t)的数学期望和自相关函数
解：一维分布
二维分布：
X(t)的数字期望
随机过程X(t)的自相关函数为
且 ； 且 ； 且
7．设 是独立同分布的随机序列，其中 的分布列为
Xj
J=1，2，…
P
定义 。试对随机序列 求
（1）Y1的概率分布列；（2）Y2的概率分布列；（3）Yn的数字期望；
解：对于任意t>0因为
∴当x>0时
∴
当 时
∴ 随机过程 的一维分布密度为
5．在题4中，假定随机变量X具有在区间（0，T）中的均匀分布，试求随机过程的数字期望 和自相关函数
解：∵ 随机变量X的概率密度函数为
因此：
6．设随机过程 在每一时刻t的状态只能取0或1的数值，而在不同时刻的状态是相互独立的，且对于任意固定的t有
第一章随机过程的基本概念
1．设随机过程 ，其中 是正常数，而 是标准正态变量。试求 （t）的一维概率分布
解：∵当 即 即 时
若 即 时
当 时
此时
若 时
同理有
综上当： 即 时
2．利用投掷一枚硬币的试验，定义随机过程为
假定“出现正面”和“出现反面”的概率各为 。试确定 的一维分布函数 和 ，以及二维分布函数
解：根据定义
11．设随机过程 ，其中 是正常数，A和Ф是相互独立的随机变量，且A服从在区间[0，1]上的均匀分布，而 服从在区间[0，2π]上的均匀分布，试求 的数字期望和相关函数。
解：
12．设随机过程 ，其中 在区间 中均匀分布的随机变量。试求 的数字期望和协方差函数。
解：∵ 是区间 上均匀分布的随机变量，于是 的概率密度为
的协方差函数为
而
∴
思考：有没有更为简单的方法呢？
9．给定随机过程 ，对于任意一个数 ，定义另一个随机过程
试证： 的数字期望和相关函数分别为随机过程 的一维和二维分布函数。
证明：设 的一维和二维概率密度分加别为 和
则
若考虑到对任意的 是离散型随机变量，则有：
10．给定一个随机过程 和常数a，试用 的相关函数表示随机过程 的相关函数。
解：
16．设随机过程 的均方导数存在，试证
证明：
证毕
17．设 是相互独立分别服从正态分布 的随机变量，作随机过程 。试求下则随机变量的数学期望。
解：
18．试证明均方导数的下列性质。
（1）
证明：
（2）若a,b为常数，则
证明：
（3）若 为可微函数，则ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
证明：定义范数： ，易证
又
19．试证明均方极限的下列性质。