第一章 随机过程的基本概念1．设随机过程 +∞<<-∞=t t X t X ,cos )(0ω，其中0ω是正常数，而X 是标准正态变量。

试求X （t ）的一维概率分布解：∵ 当0cos 0=t ω 即 πω)21(0+=k t 即 πω)21(10+=k t 时 {}10)(==t x p若 0cos 0≠t ω 即 πω)21(10+≠k t 时 {}{}x t X P x x X P t x F ≤=≤=0cos )(),(ω当 0cos 0>t ω时ξπωωξd et x X P t x F t x⎰-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=02cos 02021cos ),(此时 ()te xt x F t x f tx 0cos 2cos 121,),(022ωπω⋅=∂∂=-若 0cos 0<t ω时⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥=t x x P t x X P t x F 00cos 1cos ),(ωωξπωξd et x⎰--=02cos 02211同理有 tet x f tx 0cos 2cos 121),(022ωπω⋅-=-综上当：0cos 0≠t ω 即 πω)21(10+≠k t 时 tx et x f 022cos 20|t cos |121),(ωωπ-=2．利用投掷一枚硬币的试验，定义随机过程为⎩⎨⎧=,2,cos )(出现反面出现正面t t t X π 假定“出现正面”和“出现反面”的概率各为21。

试确定)(t X 的一维分布函数)21,(x F 和)1,(x F ，以及二维分布函数)1,21;,(21x x F解：（1）先求)21,(x F显然⎩⎨⎧=⎪⎩⎪⎨⎧-=⎪⎭⎫ ⎝⎛出现反面出现正面出现反面出现正面10,212,2cos 21πX随机变量⎪⎭⎫⎝⎛21X 的可能取值只有0，1两种可能，于是21021=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛X P 21121=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛X P 所以⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=⎪⎭⎫ ⎝⎛1110210021,x x x x F再求F （x ,1）显然⎩⎨⎧-=⎩⎨⎧=出现反面出现正面出现反面出现正面 2 1 2cos (1)πX{}{}212)1(-1(1)====X p X p 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<=2121- 21-10,1)(x x x x F(2) 计算)1,21;,(21x x F⎩⎨⎧-=⎩⎨⎧=出现反面出现正面出现反面出现正面21)1(, 1 0)21( X X于是2 ,1 121 ,12 ,10 211 ,00 )1(;211,21;,21212121212121⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥><≤->≤<≤-<≥+∞<<∞-<=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x x x x x x x x x X x X p x x F x 或或3．设随机过程(){}+∞<<-∞t t X ,共有三条样本曲线t X t X X cos )t,( ,sin )t,( ,1)t,(321===ϖϖϖ且,31)p()p()p(321===ϖϖϖ试求随机过程()t X 数学期望EX(t)和相关函数R x (t 1,t 2)。

解： 数学期望)cos (sin 313131cos 31sin 311)()(t t t t t EX t m X ++=⋅+⋅+⋅==)cos sin 1(31t t ++=相关函数21212121cos cos 3131sin sin 311)]()([),(t t t t t X t X F t t R X +⋅⋅+⋅==)]cos(1[3121t t -+=4．设随机过程 )0( )(>=-t et X Xt其中X 是具有分布密度f (x )的随机变量。

试求X (t )的一维分布密度。

解：对于任意 t >0 因为))((),(x t x P t x F X ≤=∴ 当x >0时{}{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥=≤-=≤=-t x X P x Xt P x e P t x F Xt X ln ln ),(⎰-∞--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<-=t xd f t x X p ln )(1ln 1ξξ∴ xtt x f t x F xt x f X X 1ln ),(),(⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂=当0≤x 时 {}0),(=≤=-x ep t x F XtX∴ 随机过程)(t X 的一维分布密度为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t x f xt t x f X ln 1),( 5．在题4中，假定随机变量X 具有在区间（0，T ）中的均匀分布，试求随机过程的数字期望)(t EX 和自相关函数),(21t t R x解：∵ 随机变量X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧∈=其它),0(1)(T x Tx f X因此：TT T xt xt Txt X xt e t T dx e T dx T e dx x f e t EX 00 0)1(111)()(⎰⎰⎰-----==⋅== []0 t 11>-=-tT e Tt[][][])(21212121)()(),(t t X Xt Xt X e E e e E t X t X E t t R +---===()⎰+-+--+==Tt t T X t t x e t t T dx x f e 0)(21)(21211)(1)(6．设随机过程{}+∞<<-∞t t X ),(在每一时刻t 的状态只能取0或1的数值，而在不同时刻的状态是相互独立的，且对于作意固定的t 有{}p t X P ==1)( {}p t X P -==10)(其中0<p <1。

试求X (t)的一维和二维分布，并求x (t)的数学期望和自相关函数解：一维分布{}p t x P ==1)( {}p t x P -==10)(二维分布：{}2211)(,1)(p t X t X P ==={})1(0)(,1)(21p p t X t X p -=== {}p p t X t X p )1(1)(,0)(21-=== {}221)1(0)(,0)(p t X t X p -===X (t )的数字期望{}{}p t X p t X p t EX t m X ==⋅+=⋅==0)(01)(1)()(随机过程X (t )的自相关函数为[]{}+==⋅==1)(,1)(1)()(),(212121t X t X p t X t X E t t R X(){}101=⋅t X P 且0)(2=t X ；0)(1=t X 且1)(2=t X ；0)(1=t X 且}0)(2=t X {}{}2211)( 1)(p t X P t X P ==⋅== 7．设{}1,≥n X n 是独立同分布的随机序列，其中j X 的分布列为J=1，2，…定义∑==nj jn XY 1。

试对随机序列{}1,≥n Y n 求 （1）Y 1的概率分布列；（2）Y 2的概率分布列；（3）Y n 的数字期望；（4）Y n 的相关函数R Y （n, m ）。

解：（1）∵ Y 1=X 1 故概率分布则为{}{}211 21111=-===Y P Y P （2）∵ 212X X Y += 2Y 可能的取值为0或2，-2{}{}{}{}1,11,1002121212=-=+-====+==X X P X X P X X P Y P={}{}{}{}21414111112121=+==-=+-==X P X P X P X P {}{}{}411,12221212=====+==X X P X X P Y P {}{}{}411,12221212=-=-==-=+=-=X X P X X P Y P （3）∑==nj jn XY 1的数字期望为∑∑∑====⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n j n j j n j j n EX X E EY 111021)1(211 （4）自样关函数 []⎥⎦⎤⎢⎣⎡==∑∑==m k k m j j Y X X E n Y m Y E n m R 11)()(),(当m ≥n 时⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∑∑∑∑∑∑=+===+==nk k mn j j n j j n k k m n j j nj j Y X X X E X X X E n m R 1121111),(⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∑∑∑=+==n k k m n j j n j j X E X E X E 1121[]n n n n n m n j j nDY EY DY EY Y E X E EY =+==⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=∑+=2212)(∵ ∑∑===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nj j n j j n DX X D DY 11 （j X 相互独立）()[]∑=-=n j j j EX XE 122)(∵ 021)1(211=⋅-+⋅=j EX 1)(2=j X E ∴ []∑==-=nj n n DY 101∴ 当m ≥n 时 n DY n m R n Y ==),(8．设随机过程{}+∞<<-∞t t X ),(的数字期望为)(t m X 协方差为),(21t t C X ，而)(t ϕ是一个函数。

试求随机过程)()()(t t X t Y ϕ+=的数字期望和协方差函数。

解：随机过程)(t Y 的数字期望为[])()()()()()()()()(t Y t t m t E t EX t t X E t EY t m X Y ϕϕϕ+=+=+==的协方差函数为[][][])()()()(),(212121t Y E t Y E t Y t Y E t t C Y -=而 []()()[])()()()()()(221121t t X t t X E t Y t Y E ϕϕ++=()[])()()()()()()()(21211221t t t X t t X t t X t X E ϕϕϕϕ+++= [])()()()()()()()(21211221t t t EX t t EX t t X t X E ϕϕϕϕ+++=[][]()())()()()()()(221121t t EX t t EX t Y E t Y E ϕϕ++=[][])()()()()()()()(21211221t t t EX t t EX t t X E t X E ϕϕϕϕ++++= ∴ []),()()()()(),(21212121t t C t EX t EX t X t X E t t Cov X Y =-=思考：有没有更为简单的方法呢？9．给定随机过程{}+∞<<-∞t t X ),(，对于任意一个数x ，定义另一个随机过程⎩⎨⎧>≤=xt X xt X t Y )(0)(,1)( 试证：)(t Y 的数字期望和相关函数分别为随机过程)(t X 的一维和二维分布函数。