一•数列通项公式求法总结：
1•定义法一一直接利用等差或等比数列的定义求通项。
特征：适应于已知数列类型（等差或者等比）.
例］.等差数列｛%｝是递增数列,前n项和为S”,且也,％5成等比数列,S5=a;.求数列｛%｝的通项公式.
变式练习：
1.等差数列｛陽｝中,吗=4,如=2為,求匕｝的通项公式
2.在等比数列｛%｝中<2-4 =2,且2勺为3纠和他的等差中项,求数列｝的首项、公比及前"项和.
2 •公式法
求数列｛a…｝的通项①可用公式= 5,................ ""求解。
①-昭......... n>2
特征：已知数列的前"项和s“与％的关系
例2•已知下列两数列｛色｝的前n项和S“的公式，求｛©｝的通项公式。
变式练习：
1.已知数列｛%｝的前n项和为且S产2n2+m n GN*,数列｛"｝满足山=41。
审化+3, n^N*.求色，b「
2.已知数列｛©｝的前门项和S”= —丄“2+如(2皿)，且久的最大值为8,试确泄常数k并求0”。
2
3.已知数列仏｝的前"项和$“=伫卩，心".求数列仏｝的通项公式。
2
3 •由递推式求数列通项法
类型1特征：递推公式为如="”+/(")
对策：把原递推公式转化为a n+1-a…= f(n),利用累加法求解。
例3.已知数列｛«… ｝满足a｛=~, % = a n + -J—,求
a”。
2 ir +n
变式练习：
1.已知数列｛色｝满足a^=a n+2n + \9 q=l,求数列｛色｝的通项公式。
2•已知数列:® =皿 =5 +漆通项公式
类型2特征：递推公式为勺屮=/（〃）© 对策：把原递推公式转化为组 = /（〃），利用累乘法求解。
例4.已知数列仏｝满足=-, a n^=—a n9求％
3 ” + 1
变式练习：
1•已知数列｛%｝中,q=2, a n¥l=3n a n9求通项公式©。
2•设仏｝是首项为1的正项数列,且S + 1）心一碣+如陽=0 （n=l92, 3,…），求数列的通项公式是％
类型3特征：递推公式为a^=pa tl+q（其中p, q均为常数）
对策：（利用构造法消去q）把原递推公式转化为由a,^=pa n+q得"”=皿灯+处亠2）两式相减并整理得"‘小一""=〃，构成数列｛。
”+| —d”｝以"2 -«!为首项，以P为公比的等比数列•求岀｛S+| —％｝的通项再转化a n "" Cl n-\
为类型1 （累加法）便可求出5・
例5•已知数列仏｝中，q=l, a n^ = 2a n + 3,求〜.
变式练习：
1•数列｛心｝满足«!=1, 3% +%_7 = 0,求数列｛仏｝的通项公式。
2.已知数列｛©｝满足"严1, %=3©+1.证明｛"”+寻是等比数列，并求｛“”｝的通项公式。
类型4特征：递推公式为a^ = pa n + f（n）（英中p为常数）对策：（利用构造法消去p）两边同时除以可得到銅■二予+样，令卡=6,则!治=叽+牛工,再转
化为类型1 （累加法），求出4之后得山=叫
例6・已知数列｛©｝满足%=2色+4・3心,q=l,求数列｛©｝的通项公式。
变式练习：已知数列仏｝满足q=l,山=3〃+2仏| （n > 2）.求心.
二•数列的前n项和的求法总结丄•公式法
（1）等差数列前n项和：S” =
川他+丝）=加+川"+ 1）〃
2 2
（2）等比数列前n项和：
q=l 时，S n = na x
a\
g H 1, S” = _
例1・已知log3X = ----- ,求x +疋+F +…+ x" +…的前n项和.
log? 3
变式练习：
1.设等比数列｛“”｝的前II项和为S” •已知勺=6, 6q + @ = 30,求和S“.
2•设｛勺｝是等差数列，｛—｝是各项均为正数的等比数列,且勺=勺=1,偽+代=21，他+$T3o （1）求％b沁
（2）求数列｛如｝的前n项和S八
i_q
2.错位相减法
①若数列｛《｝为等差数列，数列｛〃”｝为等比数列，则数列｛%-b｝的求和就要采用此法.
②将数列｛a^b n｝的每一项分别乘以｛亿｝的公比，然后在错位相减，进而可得到数列｛①也｝的前”项和. 例2.求1 + 2乂+ 3乂2+4兀3 + ..... +的和
变式练习：
1.已知数列｛©｝的前n项和为S“,且S” = 2n2 +n z neN*，数列｛b n｝满足a…=4log? + 3 n丘N * .
⑴求％心；
（2）求数列仏心｝的前n项和7；•
2.若公比为c的等比数列｛©｝的首项为® = 1 ,且满足=
(72 = 3,4,・・・)©
（1）求C的值；（2）求数列｛〃©｝的前门项和»
3 •倒序相加法
如果一个数列{d”},与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写与倒着写的两个和式相加, 就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法。
特征：4+5 =©+©-] =・・・
把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。
+ a 2 +a)
2S n =(a 1+a n ) + (a 2+a n _1) + 例 3.已知f(x) = ,贝ljf(l) + f(2) + fg) + f(3) +
+ f(4) + 石| = ________
变式练习：
4 r l 2 22 32 IO 2 .z ni
1. :k ---- r ---- r s --- r + • • ； - r 丨丨寸彳卄
12 + 102 22 +92 32 +82 102 + 12
2.求sin 2 f+sin 2 2° +sin 2 3° + …+ sii? 88° +sin 2 89° 的值。
S n =»! +a 2 + + a n-i +a
+
(a i +a n)
4 •裂项相消法
一般地，当数列的通项©=-------------------- a»b“c为常数)时，往往可将％变成两项的差，采用裂项
(an + by)(an + b 2)
相消法求和.
可用待圧系数法进行裂项：
设©二 ---- -- ----- ,通分整理后与原式相比较，根据对应项系数相等得2 = —^—,从而可得
an + % an + b2b2 -
--------------- = --------- ( ---------- !一).
(an + b^ian+b2) (b’_b) an + b{ an +b2常用裂项形式有：
1 , 1 1 • n{n +1) n n + \'
1 1 l z 1 11 1
k2/一1 2 k_\ k + \ k k + \伙
+ 1> k1伙一1冰k_\ k
1 1 r 1 1
变式练习:
1 =丄(丄__L).
n(n + k) k S? n + k 八
1 1 1 1 1
—< — < ―——= 7——-一T
-[ --- ---------- ----- 1 :
n{n +1)(/? + 2) 2n{n +1) (n +1)(/? + 2)
2( J" + ] -\[n) = —7=_已----------------- ，< -4= < —j=―2] = 2(肩-yJn-\)
例4.求数列而
1 1
2?4 ' 3^5
------- ,…的前n项和S・
n(n + 2)
1.在数列｛“｝中,
2
H ----
77 + 1 n +
十,又"”=」一
求数列｛bn｝的前n项的和.
2.等比数列｛©｝的％项均为正数，且2q +3勺==%2绻・
(I)求数列｛"“｝的通项公式.
(II)设b n = log3a x + log3 + • •• + log3a n,求数列 < 丄 > 的前项和.
IA J
5•分组求和法
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列, 然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：①找通向项公式②由通项公式确定如何分组.
例5•求数列2丄,4丄6丄,・・・2? +丄，…的前"项和S卄
4 8 16 2/|+,
变式练习: 】•求数叫，2討寻4茶•的前〃项和
2•若数列｛qj 的通项公式％ = 2a l +3na-l(a HO),求｛马?｝的前n 项和 6 •记住常见数列的前〃项和：
① 1 + 2 + 3 + ... + 〃 = ^2;
2
② 1 + 3 + 5 +・・・+ (2川一1)=沪;
③ 1~ +2~+3- +・・・ + /厂= —〃(" +1)(2/? +1).
6
变式练习:求数列｛n(n +1)(277 +1))的前n 项和. 7 12+22+32 2n +1
------------ 12 + 22+-..
〒(〃
wN")的和.。