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三角形常应变单元程序的编制与使用 有限元法是求解微分方程边值问题的一种通用数值方法，该方法是一种基于变分法（或变分里兹法）而发展起来的求解微分方程的数值计算方法，以计算机为手段，采用分片近似，进而逼近整体的研究思想求解物理问题。 有限元分析的基本步骤可归纳为三大步：结构离散、单元分析和整体分析。 对于平面问题，结构离散常用的网格形状有三角形、矩形、任意四边形，以三个顶点为节点的三角形单元是最简单的平面单元，它较矩形或四边形对曲边边界有更好的适应性，而矩形或四边形单元较三节点三角形有更高的计算精度。 Matlab语言是进行矩阵运算的强大工具，因此，用Matlab语言编写有限元中平面问题的程序有优越性。本章将详细介绍如何利用Matlab语言编制三角形常应变单元的计算程序，程序流程图见图1。 有限元法中三节点三角形分析结构的步骤如下： 1）整理原始数据，如材料性质、荷载条件、约束条件等，离散结构并进行单元编码、结点编码、结点位移编码、选取坐标系。 2）单元分析，建立单元刚度矩阵。 3）整体分析，建立总刚矩阵。 4）建立整体结构的等效节点荷载和总荷载矩阵 5）边界条件处理。 6）解方程，求出节点位移。 7）求出各单元的单元应力。 8）计算结果整理。计算结果整理包括位移和应力两个方面；位移计算结果一般不需要特别的处理，利用计算出的节点位移分量，就可画出结构任意方向的位移云图；而应力解的 误差表现在单元内部不满足平衡方程，单元 与单元边界处应力一般不连续，在边界上应 力解一般与力的边界条件不相符合。
图1 程序流程图
开始 输入初始数据 生成单刚集成总刚 施加约束信息 生成荷载向量 边界条件处理 计算结点位移 计算单元应力 计算结果整理 结束 - 2
1.1 程序说明 %******************************************************************* % 三角形常应变单元求解结构主程序 %******************************************************************* 功能：运用有限元法中三角形常应变单元解平面问题的计算主程序。 基本思想：单元结点按右手法则顺序编号。 荷载类型：可计算结点荷载。 说明：主程序的作用是通过赋值语句、读取和写入文件、函数调用等完成算法的全过程，即实现程序流程图的程序表达。 %----------------------------------------------------------------------------------------------------- 1 程序准备 format short e %设定输出类型 clear all %清除所有已定义变量 clc %清屏 说明： format short e － 设定计算过程中显示在屏幕上的数字类型为短格式、科学计数法； clear all － 清除所有已定义变量，目的是在本程序的运行过程中，不会发生变量名相同等可能使计算出错的情况； clc － 清屏，使屏幕在本程序运行开始时 %----------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 全局变量定义 global NNODE NPION NELEM NVFIX NFORCE COORD LNODS YOUNG POISS THICK global FORCE FIXED global BMATX DMATX SMATX AREA global ASTIF ASLOD ASDISP global FP1 说明： NNODE—单元结点数，NPION—总结点数， NELEM—单元数，NVFIX—受约束边界点数，NFORCE—结点力数，COORD—结构结点坐标数组，LNODS—单元定义数组，YOUNG—弹性模量，POISS—泊松比，THICK—厚度 - 3
FORCE —节点力数组(n,3) n:受力节点数目,(n,1):作用点,(n,2):x方向,(n,3):y方向； FIXED— 约束信息数组(n,3) n:受约束节点数目, (n,1):约束点 (n,2)与(n,3)分别为约束点x方向和y方向的约束情况,受约束为1否则为0 BMATX—单元应变矩阵(3*6)， DMATX—单元弹性矩阵(3*3)，SMATX—单元应力矩阵(3*6)，AREA—单元面积 ASTIF—总体刚度矩阵，ASLOD—总体荷载向量，ASDISP—结点位移向量 FP1—数据文件指针 3 打开文件 FP1=fopen('input.txt','rt'); %打开输入数据文件 存放初始数据 说明： FP1=fopen('input.txt','rt'); － 打开已存在的输入数据文件input.txt，且设置其为只读格式，使程序在执行过程中不能改变输入文件中的数值，并用文件句柄FP1来执行 FP2=fopen('output.txt','wt'); －打开输出数据文件，该文件不存在时，通过此命令创建新文件，该文件存在时则将原有内容全部删除。该文件设置为可写格式，可在程序执行过程中向输出文件写入数据。 %----------------------------------------------------------------------------------------------------- 4 读入程序控制信息 NPION=fscanf(FP1,'%d',1) %结点个数（结点编码总数） NELEM=fscanf(FP1,'%d',1) %单元个数（单元编码总数） NFORCE=fscanf(FP1,'%d',1) ％结点荷载个数 NVFIX=fscanf(FP1,'%d',1) ％受约束边界点数 YOUNG=fscanf(FP1,'%e',1) ％弹性模量 POISS=fscanf(FP1,'%f',1) ％泊松比 THICK=fscanf(FP1,'%d',1) %厚度 LNODS=fscanf(FP1,'%d',[3,NELEM])' %单元定义数组（单元结点号） 说明： 建立LNODS矩阵，该矩阵指出了每一单元的连接信息。 矩阵的每一行针对每一单元，共计 NELEM；每一列相应为单元结点号（编码）、按逆时针顺序输入。 命令中，[3,NELEM]’表示读取NELEM行3列数据赋值给LNODS矩阵。 显然，LNODS(i,1:3)依次表示i单元的i，j，k结点号。 COORD=fscanf(FP1,'%f',[2,NPION])' %结点坐标数组 说明： - 4
建立COORD矩阵，该矩阵用来存储各结点x，y方向的坐标值。 从FP1文件中读取全部结点个数NPOIN的坐标值，从1开始按顺序读取。 COORD(i，1：2)表示第i个结点的x，y坐标。 FORCE=fscanf(FP1,'%f',[3,NFORCE])' %结点力数组 说明： (n,3) n:受力结点数目,(n,1):作用点,(n,2):x方向,(n,3):y方向 FIXED=fscanf(FP1,'%d',[3,inf])' %约束信息数组 说明： (n,3) n:受约束节点数目, (n,1):约束点 (n,2)与(n,3)分别为约束点x方向和y 方向的约束情况,受约束为1否则为0 总体说明： 从输入文件FP1中读入结点个数，单元个数，结点荷载个数，受约束边界点数，弹性模量，泊松比，厚度，单元定义数组，结点坐标数组，结点力数组，约束信息数组； 程序中弹性模量仅输入了一个值，表明本程序仅能求解一种材料构成的结构，如：钢筋混凝土结构、钢结构，不能求解钢筋混凝土－钢组合结构。 采用了命令fscanf，其中：’%d’表示读入整数格式，’%f'’表示读入浮点数；1表示读取1个数，[A,B]形式表示读A行B列数组，[A,B]’表示将[A,B]转置，inf表示正无穷。 %----------------------------------------------------------------------------------------------------- 5 调用子程生成单刚，组成总刚并加入约束信息 function ASSEMBLE() %----------------------------------------------------------------------------------------------------- 6 调用子程生成荷载向量 function FORMLOAD() %----------------------------------------------------------------------------------------------------- 7 计算结点位移向量 ASDISP=ASTIF\ASLOD' %----------------------------------------------------------------------------------------------------- 8调用子程计算单元应力 function WRITESTRESS() %******************************************************************* 9 关闭输出数据文件 fclose(FP2);